人教A版选修45 1.2.1绝对值三角不等式 学案.doc

课堂导学三点剖析一、利用绝对值三角不等式证明不等式【例1】 已知|x-a|,0|y-b|,y(0,m),求证:|xy-ab|.思路分析:由于题设和结论相差很远,为了能整体运用上条件,应先对结论式的左端进行配凑.证明:|xy-ab|=|xy-ya+ya-ab|=|y(x-a)+a(y-b)|y|x-a|+|a|y-b|,左边=,|a+b|a|+|b|,.+1.从而有左边右边.温馨提示 先把右边放缩,再转化用绝对值三角不等式与左边“挂钩”.也可构造函数f(x)=在x0,+)上f(x)单调递增,从而证明之.各个击破类题演练1求证:c的充要条件是|a|c且|b|c.证明:先证必要性.|a|=|c,|a|c.|b|=|c,|b|c.再证充分性.(1)当|a|b|时,a2b2,即(a+b)(a-b)0,此时与同号或其中之一为0,则=|=|a|c.(2)当|a|b|时,a2b2,即(a+b)(a-b)0,即与异号,|+|=|-|=|b|c.当|a|c,|b|c时,|+|c.故|+|c|a|c且|b|c.变式提升1已知a、b、cr,求证:.证明:设f(x)=(x0),可知当x0时,f(x)为增函数.0|a+b+c|a|+|b|+|c|,f(|a|+|b|+|c|)f(|a+b+c|),得二、应用绝对值三角不等式等号成立的条件解题【例3】 (1)设a、br且|a+b+1|1,|a+2b+4|4,求|a|+|b|的最大值.解析：|a+b|=|(a+b+1)-1|a+b+1|+|-1|1+1=2,|a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5|3|a+b+1|+2|a+2b+4|+531+24+5=16.(1)当ab0时,|a|+|b|=|a+b|2;(2)当ab0,|a|+|b|=|a|+|-b|=|a+(-b)|16.总之,恒有|a|+|b|16.而a=8,b=-8时,满足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=16.因此|a|+|b|的最大值为16.(2)若f(x)=x2-2x+c,|x1-x2|2,|x2|1,求证:|f(x1)-f(x2)|12.证明:|f(x1)-f(x2)|=|x12-2x1+c-x22+2x2-c|=|(x1-x2)(x1+x2-2)|=|x1-x2|x1+x2-2|2|x1+x2-2|=2|(x1-x2)+(2x2-2)|2(|x1-x2|+|2x2-2|)4+2|2x2-2|4+2(|2x2|+|-2|)4+4+4=12.|f(x1)-f(x2)|12.类题演练2已知|a|1,|b|1,求证:|1.证明:由|a|1,|b|0,1b0,则|=1,从而|1.变式提升2证明对于任意实数t,复数z=+i的模r,适合不等式r.证明:r=,为证对于任意实数t有r,只要证|cost|+|sint|即可.(1)当ktk+(kz)时,则sintcost0,依推论1,|cost|+|sint|=|sint+cost|=|sin(t+)|(2)当k+t(k+1)(kz)时,sintcost0,依推论1,|cost|+|sint|=|-cost|+|sint|=|sint-cost|=|sin(t-)|.总之,对于任意实数t,有|cost|+|sint|成立,即有r成立.三、绝对值三角不等式的其他应用【例4】 (1)若不等式|x-4|+|x-3|a对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.解析：由|x-4|+|x-3|(x-4)-(x-3)|=1,得|x-4|+|x-3|min=1,故a的取值范围是a|a0且cosx0,则上式=|cosx-cosy|=cosy-cosx,故应选b.答案:b(3)解方程|x|+|logax|=|x+logax|(a1).解析:由当且仅当ab0,|a+b|=|a|+|b|知原方程等价于xlogax0,又x0,即logax0,解得x1.所以原方程的解集是x|x1.类题演练3(1)方程|2x-1|+|x-2|=|x+1|的实数解为_解析:原方程可化为|2x-1|+|2-x|=|(2x-1)+(2-x)|,依推论1,它等价于(2x-1)(2-x)0,x2.答案: x2(2)解不等式|x2-2x-3|+|x2-2x-8|5.解析:原不等式可化为|x2-2x-3|+|8+2x-x2|(x2-2x-3)+(8+2x-x2)|,依推论2,它等价于(x2-2x-3)(8+2x-x2)0.x-2或-1x4.变式提升3已知f(x)=x2+ax+b(a、br)的定义域为-1,1,且|f(x)|m成立,求m的最小值.解:由题意知m是|f(x)|在-1,1上的最大值.|f(0)|