人教A版选修21 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 教案.docx

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标 1.知识与技能理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量2过程与方法通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。3情感、态度与价值观通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质教学重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握用基底表示已知空间向量教学难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量基本定理问题导思图31231如图3123所示平行六面体中，若a，b，c，能否用a，b，c表示向量？【答案】abc.2在图中任找一向量p，是否都能用a，b，c来表示？【答案】是如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间向量的正交分解及其坐标表示问题导思图31241如图3124正方体的棱长为3，向量如何用向量e1、e2、e3(e1、e2、e3为棱ab、ad、ad1上的单位向量)表示？【答案】3e13e23e3.2基底e1，e2，e3与图3123中的基底a，b，c有何不同？【答案】e1、e2、e3为单位向量且相互垂直1有公共起点o的三个两两垂直的单位向量e1、e2、e3称为单位正交基底2以e1，e2，e3的公共起点o为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系oxyz.3空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点o重合，得到向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得px e1y e2z e3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p(x，y，z).例题解析变式训练图3125如图3125所示，已知平行六面体abcda1b1c1d1，设a，b，aa1c，p是ca1的中点，m是cd1的中点用基底a，b，c表示如下向量：(1)；(2).解连结ac，ad1(1)()()(abc)(2)()(2)abc.课堂训练一、选择题1设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：a，b，c为空间的一个基底，则命题p是命题q的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【解析】由空间基底的概念知，pq，但qp，故p是q的必要不充分条件【答案】b2在空间直角坐标系oxyz中，下列说法正确的是()a向量的坐标与点b的坐标相同b向量的坐标与点a的坐标相同c向量与向量的坐标相同d向量与向量的坐标相同【解析】因为a点不一定为坐标原点，所以a不对，b、c都不对，由于，故d正确【答案】d3点a(1,2,1)在x轴上的投影点和在xoy平面上的投影点的坐标分别为()a(1,0,1)，(1,2,0)b(1,0,0)，(1,2,0)c(1,0,0)，(1,0,0)d(1,2,0)，(1,2,0)【解析】点a在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xoy面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选b.【答案】b图31294在空间四边形oabc中，g是abc的重心，若a，b，occ，则等于()a.abcb.abccabcd3a3b3c【解析】g是abc的重心，()(2)，()abc.【答案】a5正方体abcdabcd中，o1，o2，o3分别是ac，ab，ad的中点，以1，2，3为基底，x1yz3，则x，y，z的值是()axyz1bxyzcxyz dxyz2【解析】()()()，由空间向量的基本定理，xyz1.【答案】a二、填空题6设i，j，k是空间向量的单位正交基底，a3i2jk，b2i4j2k，则向量a与b的位置关系是_【解析】ab6i28j22k26820.ab.【答案】ab图31307如图3130, 在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为ac和bd的交点，若a，b，c，则_.【解析】()()abc.【答案】abc8已知点a在基底a，b，c下的坐标为(2,1,3)，其中a4i2j，b2j3k，c3kj，则点a在基底i，j，k下的坐标为_【解析】由题意知点a对应向量为2ab3c2(4i2j)(2j3k)3(3kj)8i3j12k，点a在基底i，j，k下的坐标为(8,3,12)【答案】(8,3,12)三、解答题9已知e1，e2，e3为空间一基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，能否以，作为空间的一个基底？解假设，共面，根据向量共面的充要条件有：xy，即e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.此方程组无解，不共面，可作为空间的一个基底图313110如图3131，在平行六面体abcda1b1c1d1中，设a，b，c，试用a，b，c表示.解连结an，则.由已知可得abcd是平行四边形，从而可得ab，(ab)，又bc，故b(bc)，(ab)b(bc)(abc)11已知pa垂直于正方形abcd所在平面，m，n分别是ab、pc的中点，并且paad1，求向量、的坐标解如图所示，因为paadab1，且pa平面abcd，adab，所以可设e1，e2，e3.以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系axyz.因为()e2e3(e3e1e2)e1e3，(，0，)，(0,1,0)12.已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点e，f分别在线段a1d，ac上，且efa1d，efac，以点d为坐标原点，da，dc，dd1分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)(1)试求向量的坐标；(2)求证：efbd1.解(1)正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，根据题意知，为单位正交基底，设i，j，k，向量可用单位正交基底i，j，k表示，与共线，与共线，设，则()()()(1)()i(1)jk，efa1d，efac，即，0，0，又ik，ij，整理得即解得ijk，的坐