(强烈推荐)2015高考数学：圆锥曲线专题.pdf

乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 1 2015 高考数学专项突破 圆锥曲线专题 目录 一 知识考点讲解 2 第一部分了解基本题型 3 第二部分掌握基本知识 5 第三部分掌握基本方法 7 二 知识考点深入透析 13 三 圆锥曲线之高考链接 15 四 基础知识专项训练 19 五 解答题专项训练 28 附录 圆锥曲线之高考链接参考答案 34 附录 基础知识专项训练参考答案 38 附录 解答题专项训练参考答案 40 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 2 一 知识考点讲解 一 圆锥曲线的考查重点 高考试卷对圆锥曲线的考查主要是 给出曲线方程 讨论曲线的基本元素和 简单的几何性质 或给出曲线满足的条件 判断 或求 其轨迹 或给出直线与 曲线 曲线与曲线的位置关系 讨论与其有联系的有关问题 如直线的方程 直 线的条数 弦长 曲线中参数的取值范围等 或讨论直线与曲线 曲线与曲线 的关系 或考查圆锥曲线与其它知识的综合 如与函数 数列 不等式 向量 导数等 等 二 圆锥曲线试题的特点 1 突出重点知识的考查 直线与圆的方程 圆锥曲线的定义 标准方程 几何性质等是圆锥曲线命题的根本 在对圆锥曲线的考查中 直线与圆锥曲线的 位置关系仍然是重点 2 注重数学思想与方法的考查 3 融合代数 三角 不等式 排列组合 向量和几何等知识 在知识网络 的交汇点处设计问题是高考的一大特点 由于向量具有代数和几何的双重身份 使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为高考命题的热点 导数知识的引入为我 们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法 三 命题重点趋势 直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线 1 高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线 直线与 圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题 压轴题出现 2 热点主要体现在 直线与圆锥曲线的基础题 涉及位置关系的判定 轨 迹问题 范围与位置问题 最值问题 存在性问题 弦长问题 对称问题 与平 面向量或导数相结合的问题 3 直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程 数形结合 分类讨论 化归 与转化等重要的数学思想方法 是高考必考内容之一 这类题型运算量比较大 思维层次较高 要求考生分析问题和解决问题的能力 计算能力较高 起到了拉 开考生 档次 有利于选拔的功能 对学生的能力要求也相对较高 是每年高 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 3 考中平面几何部分出题的重点内容 第一部分了解基本题型 一 高考中常见的圆锥曲线题型 1 直线与圆锥曲线结合的题型 1 求圆锥曲线的轨迹方程 广东卷常在第一问考查 这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质 要求较低 一是 出现在选择题 填空题或者解答题的第一问 较容易 2 求直线方程 斜率 线段长度相关问题 此类题目一般比较困难 不仅考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握 而且还 考查学生的综合处理问题的能力 还要求学生有较强的推算能力 这类题目容易 与向量 数列 三角函数等知识相结合 学生在解题时 可能会因为抓不住解题 要领而放弃 3 判断直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一 可从代数与几何两 个角度考虑 从代数角度看 可通过将表示直线的方程 代入圆锥曲线的方程 消元后所得的情况来判断 但要注意的是 对于椭圆方程来讲 所得一元方程必 是一元二次方程 而对双曲线方程来讲未必 例如 将ykxm代入 22 22 1 xy ab 中消 y 后整理得 222222222 20ba kxa kmxa ma b 当 b k a 时 该方程为一次方程 此时直线ykxm与双曲线的渐近线平行 当 b k a 时 该方程为二次方程 这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系 从几何角度看 可分为三类 无公共点 仅有一个公共点及两个相异的公 共点 具体如下 直线与圆锥曲线的相离关系 常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离 的最大值或最小值来解决 直线与圆锥曲线仅有一个公共点 对于椭圆 表示直线与其相切 对于双 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 4 曲线 表示与其相切或与双曲线的渐近线平行 对于抛物线 表示直线与其相切 或直线与其对称轴平行 直线与圆锥曲线有两个相异的公共点 表示直线与圆锥曲线相割 此时直 线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦 2 圆与圆锥曲线结合的题型 这类题目要求学生对圆锥曲线 圆以及直线的知识非常熟悉 并有较强的综 合能力 3 圆锥曲线与圆锥曲线结合的题型 这类题目在高考中并不是常考题型 但也是一个命题热点 题目中经常涉 及两种圆锥曲线 对这部份知识要求较高 必须熟练掌握才能进行解题 还有这 类题目看起来比较复杂 容易使人产生退却之心 所以面对这种题型 我们要克 服心理的恐惧 认真分析题意 结合学过的知识来解题 4 圆锥曲线与向量知识结合的题型 在解决解析几何问题时 平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征 而且又方便计算 把解析几何与平面向量综合在一起进行测试 可以有效地考查 考生的数形结合思想 因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合 高考对 解析几何与向量综合考查 采取了新旧结合 以旧带新 使新的内容和旧的内容 有机地结合在一起设问 就形成了新的高考命题的热点 二 常见的一些题型 题型一 数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二 弦的垂直平分线问题 题型三 动弦过定点的问题 题型四 过已知曲线上定点的弦的问题 题型五 共线向量问题 题型六 面积问题 题型七 弦或弦长为定值问题 题型八 角度问题 问题九 四点共线问题 问题十 范围问题 本质是函数问题 问题十一 存在性问题 存在点 存在直线ykxm 存在实数 存在图形 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 5 三角形 等比 等腰 直角 四边形 矩形 菱形 正方形 圆 三 热点问题 1 定义与轨迹方程问题 广东卷常在第一问考查 2 交点与中点弦问题 3 弦长及面积问题 4 对称问题 5 最值问题 6 范围问题 7 存在性问题 8 定值 定点 定直线问题 第二部分掌握基本知识 1 与一元二次方程 2 0 0 axbxca相关的知识 三个 二次 问题 1 判别式 2 4bac 2 韦达定理 若一元二次方程 2 0 0 axbxca有两个不同的根 12 x x 则 1212 bc xxx x aa 3 求根公式 若一元二次方程 2 0 0 axbxca有两个不同的根 12 x x 则 2 1 2 4 2 bbac x a 2 与直线相关的知识 1 直线方程的五种形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 2 与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率 tan 0 k 点到直线的距离公式 00 22 AxByC d AB 3 弦长公式 直线ykxb上两点 1122 A x yB xy间的距离 2 12 1ABkxx 22 1212 1 4 kxxx x 或 12 2 1 1AByy k 较少用 4 两条直线 111222 lyk xb lyk xb 的位置关系 1212 1llk k 212121 bbkkll且 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 6 5 中点坐标公式 已知两点 1122 A x yB xy 若点 M x y是线段 AB的中 点 则 1212 y 22 xxyy x 3 圆锥曲线的重要知识 考纲要求 对它们的定义 几何图形 标准方程及简单性质 文理科要求有所不 同 文科 掌握椭圆 了解双曲线及抛物线 理科 掌握椭圆及抛物线 了解双曲线 1 圆锥曲线的定义及几何图形 椭圆 双曲线及抛物线的定义及几何图形 2 圆锥曲线的标准方程 椭圆的标准方程 22 222 22 1 0 xy ababc ab 且或 22 1 0 0 xy mnmn mn 且 距离式方程 2222 2xcyxcya 双 曲 线 的 标 准 方 程 22 222 22 1 0 0 xy abcab ab 且或 22 1 0 xy m n mn 距离式方程 2222 2xcyxcya 抛物线的标准方程 2 2 0 ypx p 还有三类 3 圆锥曲线的基本性质 必须要熟透 特别是离心率 参数 a b c三者的关 系 p的几何意义等 4 圆锥曲线的其它知识 了解一下 能运用解题更好 通径 22 22 2 bb p aa 椭圆 双曲线 抛物线 焦点三角形面积公式 12 2 tan 2 F PF Pb在椭圆上时 S 12 2 1 tan 2 F PF Pb在双曲线上时 S 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 7 其中 22 12 121212 12 4 cos cos PFPFc F PFPFPFPFPF PFPF 焦半径公式 00 xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为 简记为 左加右减 上加下减 0 xe xa双曲线焦点在轴上时为 11 22 pp xxy抛物线焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为 4 常结合其它知识进行综合考查 1 圆的相关知识 两种方程 特别是直线与圆 两圆的位置关系 2 导数的相关知识 求导公式及运算法则 特别是与切线方程相关的知识 3 向量的相关知识 向量数量积的定义及坐标运算 两向量的平行与垂直的 判断条件等 4 三角函数的相关知识 各类公式及图象与性质等 5 不等式的相关知识 不等式的基本性质 不等式的证明方法 均值定理等 第三部分掌握基本方法 一 圆锥曲线题型的解题方法分析 高考圆锥曲线试题常用的数学方法有 配方法 换元法 待定系数法 数学 归纳法 参数法 消去法等 1 解题的通法分析 高考数学试题特别注重对中学数学通性通法的考查 这符合高考命题原则 考查基础知识 注重数学思想 培养实践能力 中学数学的通性通法是指数学教 材中蕴涵的基本数学思想 化归思想 转化思想 分类思想 函数方程的思想 数形结合的思想 和常用的数学方法 数形结合 配方法 换元法 消元法 待 定系数法等 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 8 解决圆锥曲线这部分知识有关的习题时 我们最常用的数学方法有数形结 合 待定系数法 化归转化等 在求解直线与圆锥曲线的问题时我们一般都可以 将直线方程与圆锥曲线方程联立 得到一个方程组 通过消元得到一个一元二次 方程再来求解 就是要利用已知条件找到参数与参数之间或是与已知量之间的关 系 这时一般会用到韦达定理进行转化 例如要判断直线与圆锥曲线的位置关系 我们就可以联立直线方程与圆锥曲线方程 消 y 得到一个关于 x 的一个一元二次 方程 然后我们就可以根据一个一元二次方程的 2 4bac的值来判断 直线与圆锥曲线的位置关系的判断 直线与圆锥曲线的位置关系有相交 相切 相离 设直线 L 的方程是 0AxByc 圆锥曲线的 C方程是 0fx y 则 由 0 0 AxByc f x y 消去 y 得 2 0 0 axbxca 设方程 的判别式是 2 4bac 则 1 若圆锥曲线 0f x y是椭圆 若 2 4bac 0方程 有两个不等实根直线 L 与椭圆 C相交直线与 椭圆 C有两个不同的公共点 若 2 4bac 0方程 有两个相等的实根直线 L 与椭圆 C相切直线 与椭圆 C只有一个公共点 若方程 2 4bac0方程 有两个不等实根直线 L 与双曲线 C相交直线 与双曲线 C有两个不同的公共点 若 2 4bac 0方程 有两个相等的实根直线 L 与双曲线 C相切直 线与双曲线 C只有一个公共点 若 2 4bac0方程 有两个不等实根直线 L 与抛物线 C相交直线 与抛物线 C有两个不同的公共点 若 2 4bac 0方程 有两个相等的实根直线 L 与抛物线 C相切直 线与抛物线 C只有一个公共点 若 2 4bac 0方程 无实根直线 L 与抛物线 C相离直线与抛物线 C无公共点 注意当直线 L 与抛物线的对称轴平行时 直线 L与抛物线 C只有一个公共点 此时直线 L 与抛物线 C相交 故直线 L 与抛物线 C只有一个公共点时可能相交也 可能相切 系统掌握求曲线 轨迹 方程的常用方法 直译法 定义法 待定系数法 动点转移法 参数法等 掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质 解答直线 与圆的位置关系的思想方法 熟练掌握圆锥曲线的标准方程 几何性质及其应用 掌握与圆锥曲线有关的参数讨论问题的解法 掌握解答解析几何综合问题的思想 方法 提高分析问题和解决问题的能力 2 合理选择适当方法优化解题过程 数学的解题过程一般是由理解问题开始 经过探讨思路 转化问题直至解决 问题题目的意思至为重要 然后我们才能分解问题 把一个复杂的问题转化成几 个简单的熟悉的问题 通过逐步分解 进而解决问题 所以在解题前 首先我们 应该从全方位 多角度的分析问题 根据自己的知识经验 适时的调整分析问题 的角度 再充分回忆与之相关的知识点把陌生的问题转化为一些熟悉的题型 找 到一个正确的简便的解题方法 合理选择方法 提高运算能力 解析几何问题的一般思路易于寻找 但运算 量大 所以合理选择运算方法可以优化解题过程 减少运算量 通常减少运算量 的方法有合理建立坐标系 充分利用定义 充分利用平面几何知识 整体消元法 等 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 10 对圆锥曲线的基础知识首先要扎实 关于解题技巧可以考虑下面几点 某些问题要注意运用圆锥曲线定义来解题 与弦有关问题多数要用韦达定理 与中点有关问题多数要用 点差法 计算能力一定要过硬 要有 不怕 麻烦的劲头 与角度 垂直有关问题 要恰当运用 向量 的知识 直线和圆锥曲线的问题是解析几何中的典型问题 也是考试中容易出大题的 考点 解决这类问题的关键就是要明白直线和圆锥曲线问题的本质 直线截圆锥 曲线就会在曲线内形成弦 这是一个最大的出题点 根据弦就可以涉及到弦长 另外直线和圆锥曲线有交点 涉及到交点就会涉及到坐标的一些问题 若是再和 交点 原点等一些特殊点构成一些关系还会涉及到角度问题 解析几何就是利用 代数方法解决几何问题 因此这些几何上的角度 弦长等一些关系都要转化成坐 标 以及方程的形式 但是问题的本质还是几何问题 因此更多的利用圆锥曲线 的几何性质可以化简计算 比如 在坐标法中向量是和几何问题结合最紧密的方 法 因此涉及到角度等一些问题可以用向量去做 这样会比直接利用直线的夹角 公式计算要稍简单一些 这类题的计算量一般会比较大 在解题时可以使用一些小技巧简化计算 比 如涉及到焦点的问题看看可不可以用圆锥曲线的第二定义转化 利用第二定义就 可以将点到点之间的距离转化为点到直线之间的距离 而且一般情况下直线还是 垂直于 x 轴或 y 轴的 这样直接就和坐标联系上了 这种方法在圆锥曲线中含有 参数的时候还是挺好使的 一般在答题中应用不多 小题中会有不少应用 因此 还是要掌握好第二定义 3 解题中应避免的误区 在 圆锥曲线 内容中 为了研究曲线与方程之间之间的各种关系 引进了 一些基本概念和数学方法 例如 圆锥曲线 曲线的方程 等概念 函数与 方程的数学思想 数形结合思想 回归定义等方法 对于这类特定的概念理解不 准确 对这些方法的掌握存在某些缺陷 解题时就容易进入误区 对圆锥曲线的两个定义在第一定义中要重视 括号 内的限制条件 椭圆 中 与两个定点 12 F F 的距离的和等于常数2a 且此常数一定要大于2a 当常数 等于 12 F F时 轨迹是线段 12 F F 当常数小于 12 F F时 无轨迹 双曲线中 与两定点 12 F F 的距离的差的绝对值等于常数2a 且此常数2a一定要小于 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 11 12 F F 定义中的 绝对值 与2a 12 F F 则轨迹不存在 若去掉定义中的绝对值 则轨迹仅示双曲线的一支 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线 且 点点距为分子 点线距为分母 其商即是离心率 圆锥曲线的第二定义 给出了圆锥曲线上 的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系 要善于运用第二定义对它们进 行相互转化 在求解椭圆 双曲线问题时 首先要判断焦点位置 焦点 12 F F 的位置 是 椭圆 双曲线的定位条件 它决定椭圆 双曲线标准方程的类型 而方程中的两 个参数 a b 确定椭圆 双曲线的形状和大小 是椭圆 双曲线的定形条件 在求解抛物线问题时 首先要判断开口方向 判断直线与圆锥曲线的位置关系时应该注意 直线与双曲线 抛物线只有一 个公共点时的位置关系有两种情形 相切和相交 如果直线与双曲线的渐近线平 行时 直线与双曲线相交 但只有一个交点 如果直线与抛物线的轴平行时 直线 与抛物线相交 也只有一个交点 二 圆锥曲线题型的常用解法 1 定义法 1 椭圆有两种定义 第一定义中 r1 r2 2a 第二定义中 r1 ed1 r2 ed2 2 双曲线有两种定义 第一定义中 arr2 21 当 r1 r2时 注意 r2的 最小值为 c a 第二定义中 r1 ed1 r2 ed2 尤其应注意第二定义的应用 常常 将半径与 点到准线的距离 互相转化 3 抛物线只有一种定义 而此定义的作用较椭圆 双曲线更大 很多抛 物线问题用定义解决更直接简明 2 韦达定理法 因直线的方程是一次的 圆锥曲线的方程是二次的 故直线与圆锥曲线的问 题常转化为方程组关系问题 最终转化为一元二次方程问题 故用韦达定理及判 别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一 尤其是弦中点问题 弦长问题 可用 韦达定理直接解决 但应注意不要忽视判别式的作用 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 12 3 设而不求法 解析几何的运算中 常设一些量而并不解解出这些量 利用这些量过渡使问 题得以解决 这种方法称为 设而不求法 设而不求法对于直线与圆锥曲线相 交而产生的 弦中点 问题 常用 点差法 即设弦的两个端点A x1 y1 B x2 y2 弦 AB中点为 M x0 y0 将点 A B坐标代入圆锥曲线方程 作差后 产生弦中点 与弦斜率的关系 这是一种常见的 设而不求 法 点差法 中点弦问题 设 11 y xA 22 y xB baM 为椭圆1 34 22 yx 的 弦AB中点 则有1 34 2 1 2 1 yx 1 34 2 2 2 2 yx 两式相减得0 34 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 34 21212121 yyyyxxxx AB k b a 4 3 1 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 与直线 l 相交于 A B 设弦 AB中点为 M x0 y0 则 有0 2 0 2 0 k b y a x 2 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 与直线 l 相交于 A B 设弦 AB中点为 M x0 y0 则 有0 2 0 2 0 k b y a x 3 y 2 2px p 0 与直线 l 相交于 A B设弦 AB中点为 M x 0 y0 则有 2y0k 2p 即 y0k p 4 数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一 常要将代数的运算推理与几何的论证说 明结合起来考虑问题 在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观 性 尤其是将某些代数式子利用其结构特征 想象为某些图形的几何意义而构图 用图形的性质来说明代数性质 如 2x y 令 2x y b 则 b表示斜率为 2 的直线在 y 轴上的截距 如 x 2 y2 令dyx 22 则 d 表示点 P x y 到原点的距离 又如 2 3 x y 令 2 3 x y k 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 13 则 k 表示点 P x y 与点 A 2 3 这两点连线的斜率 5 参数法 1 点参数 利用点在某曲线上设点 常设 主动点 以此点为参数 依次求出其他相关量 再列式求解 如x 轴上一动点 P 常设 P t 0 直线 x 2y 1 0 上一动点 P 除设 P x1 y1 外 也可直接设P 2y 1 y 1 2 斜 率 为 参 数 当 直 线 过 某 一 定 点 P x0 y0 时 常 设 此 直 线 为 y y0 k x x0 即以 k 为参数 再按命题要求依次列式求解等 3 角参数 当研究有关转动的问题时 常设某一个角为参数 尤其是圆 与椭圆上的动点问题 6 代入法 这里所讲的 代入法 主要是指条件的不同顺序的代入方法 如对于命题 已知条件 P1 P2求 或求证 目标Q 方法 1 是将条件 P1代入条件 P2 方法 2 可将条件 P2代入条件 P1 方法 3 可将目标 Q以待定的形式进行假设 代入 P1 P2 这就是待定法 不同的代入方法常会影响解题的难易程度 因此要学会分析 选 择简易的代入法 二 知识考点深入透析 一 近几年文科圆锥曲线试题 知识点及问题 分析 年份试题相关知识问题类型备注 2012年 20 椭圆 抛物线 直线 椭圆的标准方程 直线方程 1 求椭圆的标准方程 2 与直线 抛物线相结合 相切知识 求直线方程 2011年 21 轨迹方程 抛物线 求轨迹 最值问题 直线相关知识 解方程组 1 求轨迹方程 射线及抛物线方程 2 最值问题 求最小值 及此时点的 坐标 3 参数的取值范围 直线与抛物线结 合 求直线斜率的取值范围 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 14 2010年 21 曲线 2 ynx 即抛物线 切线方程 求导法 两种距离公式 分析法证明 裂项求和知识 1 求切线方程及特殊点的坐标 2 最值问题 最大值时 求某点的坐 标 3 证明不等式成立 2009年 19 椭圆 圆 点与圆的位置关系判断 1 求方程 椭圆的方程 2 求三角形的面积 3 存在性问题 是否存在圆包含椭圆 2008年 20 椭圆 抛物线 切线方程 求导法 向量的数量积 垂直问题 一元二次方程解的个数 判别式 1 求方程 椭圆及抛物线的方程 2 探究性问题 存在点P 使得三角形 为直角三角形 点P的个数 2007年 19 圆 椭圆及定义 两点间的距离公式 解方程组 1 求方程 圆的方程 2 存在性问题 存在点与距离相等问 题 二 圆锥曲线试题研究 1 曲线类型 以椭圆 抛物线为主 结合圆 直线或其它曲线进行综合考查 2 试题特点 1 综合性 2 抽象性 3 动态性 4 新颖性 5 问题的连惯性 6 含参数 3 试题中的问题类型 1 求方程或轨迹类型 常在第一问中设置 以圆及圆锥曲线的方程为主 2 与最值相关的类型 按题意要求 满足最大或最小值时 求某点或某知识 3 存在性类型 据题意 判断是否存在点或图形满足题意 要说明理由 4 探究性类型 根据题意 探究问题的多样性 5 证明类型 根据给定条件 证明不等式或等式成立 6 取值范围类型 设置参数 根据题意 求参数的取值范围或求其它的取值 范围 4 解题常用的知识要点 1 各圆锥曲线的知识 特别是椭圆 抛物线的定义 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 15 2 圆 直线的相关知识 特别是直线的斜率知识 3 求曲线轨迹的方法 4 与最值相关的两种距离 点到直线的距离及两点间的距离 5 一元二次方程 组 及不等式的相关知识 判别式 韦达定理 解方程组 均值定理等 6 与导数相关的知识 特别是求切线方程的知识 5 常用的数学思想 1 数形结合 2 分类讨论 三 圆锥曲线之高考链接 2012文 20 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆 1 C 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 为 1 1 0 F 且点 0 1 P在 1 C 上 1 求椭圆 1 C 的方程 2 设直线l同时与椭圆 1 C 和抛物线 2 C 2 4yx相切 求直线l的方程 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 16 2011文 21 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系xOy中 直线 2lx 交 x 轴于点 A 设 P是l上一点 M 是线段 OP的垂直平分线上一点 且满足MPOAOP 1 当点 P 在l上运动时 求点 M 的轨迹 E 的方程 2 已知 1 1 T 设 H 是 E 上动点 求 HOHT的最小值 并给出此时点 H 的坐标 3 过点 1 1 T且不平行于 y 轴的直线 1 l与轨迹 E 有且只有两个不同的交点 求直线1l 的斜率k的取值范围 2010文 21 本小题满分 14 分 已知曲线 2 n Cynx 点 0 0 nnnnn P x y xy是曲线 n C 上的点 1 2n 1 试写出曲线 n C 在点 n P 处的切线 n l 的方程 并求出 n l 与y轴的交点 n Q 的坐标 2 若原点 0 0 O到 n l 的距离与线段 nn PQ 的长度之比取得最大值 试求试点 n P 的坐标 nn xy 3 设m与k为两个给定的不同的正整数 n x 与 n y 是满足 2 中条件的点 n P 的 坐标 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 17 证明 1 1 1 2 s n n n mx kymsks 1 2 s 2009文 19 本小题满分 14 分 已知椭圆 G 的中心在坐标原点 长轴在 x 轴上 离心率为 2 3 两个焦点分别为 1 F和 2 F 椭 圆G上 一 点 到 1 F和 2 F的 距 离 之 和 为12 圆 k C 02142 22 ykxyx Rk的圆心为点 k A 1 求椭圆 G 的方程 2 求 21F FAk的面积 3 问是否存在圆 k C 包围椭圆 G 请说明理由 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 18 2008文 20 本小题满分 14 分 设0b 椭圆方程为 22 22 1 2 xy bb 抛物线方程为 2 8 xyb 如图 6 所 示 过点 02 Fb 作 x轴的平行线 与抛物线在第一象限的交点为G 已知抛 物线在点G的切线经过椭圆的右焦点 1 F 1 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程 2 设AB 分别是椭圆长轴的左 右端点 试探究在抛物 线上是否存在点P 使得ABP 为直角三角形 若存在 请 指出共有几个这样的点 并说明理由 不必具体求出这些点 的坐标 2007文19 本小题满分 14分 在平面直角坐标系 xOy中 已知圆心在第二象限 半径为2 2 的圆 C与直线 yx相切于坐标原点 0 椭圆 22 2 1 9 xy a 与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离 之和为 10 1 求圆C的方程 2 试探究圆 C上是否存在异于原点的点Q 使Q 到椭圆右焦点 F的距离等于线段 OF 的长 若存在 请求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 A y x O B G F F1 图 6 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 19 四 基础知识专项训练 1 圆锥曲线的定义 1 方程 2222 6 6 8xyxy表示的曲线是 2 已知点 0 22 Q及抛物线 4 2 x y上一动点 p x y 则 y PQ 的最小值 是 2 圆锥曲线的标准方程 1 方程 22 AxByC表示椭圆的充要条件是什么 2 已知方程1 23 22 k y k x 表示椭圆 则k的取值范围为 3 若Ryx 且623 22 yx 则yx的最大值是 22 yx的最小值 是 提示 应用线性规划方法解 4 方程 22 AxByC表示双曲线的充要条件是什么 5 设中心在坐标原点O 焦点 1 F 2 F 在坐标轴上 离心率2e的双曲线 C 过点 10 4 P 则 C的方程为 6 定长为 3 的线段 AB的两个端点在 y x 2 上移动 AB中点为 M 求点 M到 x 轴的最短距离 3 圆锥曲线焦点位置的判断 首先化成标准方程 然后再判断 已知方程1 21 22 m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆 则m 的取值范围 是 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 20 4 圆锥曲线的几何性质 1 若椭圆1 5 22 m yx 的离心率 5 10 e 则 m的值是 2 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时 则椭圆 长轴的最小值为 3 双曲线的渐近线方程是023yx 则该双曲线的离心率等于 4 双曲线 22 1axby的离心率为5 则 a b 提示 应用离心率的第二道公式 5 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 中 离心率 e 2 2 则两条渐近线夹 角 锐角或直角 的取值范围是 6 设Raa 0 则抛物线 2 4axy的焦点坐标为 5 直线与圆锥曲线的位置关系 1 若直线 y kx 2 与双曲线 x 2 y2 6 的右支有两个不同的交点 则 k 的取值范 围是 2 直线y kx 1 0 与椭圆 22 1 5 xy m 恒有公共点 则m 的取值范围 是 3 过双曲线1 21 22 yx 的右焦点直线交双曲线于A B两点 若 AB 4 则这样的直线有条 4 过点 4 2 作直线与抛物线xy8 2 只有一个公共点 这样的直线有条 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 21 5 过点 0 2 与双曲线1 169 22 yx 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范 围为 6 过双曲线1 2 2 2 y x的右焦点作直线l交双曲线于A B 两点 若 AB4 则满足条件的直线l有条 7 对于抛物线 C xy4 2 我们称满足 0 2 0 4xy的点 00 yxM在抛物线的内 部 若点 00 yxM在抛物线的内部 则直线l 2 00 xxyy与抛物线 C的位置 关系是 8 过抛物线xy4 2 的焦点F作一直线交抛物线于P Q两点 若线段 PF与 FQ 的长分别是p q 则 qp 11 9 设双曲线1 916 22 yx 的右焦点为F 右准线为l 设某直线 m交其左支 右支和右准线分别于RQP 则PFR和QFR的大小关系为 填大 于 小于或等于 10 求椭圆2847 22 yx上的点到直线 01623yx的最短距离 11 直线1axy与双曲线13 22 yx交于A B两点 当 a 为何值时 A B分别在双曲线的两支上 当 a 为何值时 以 AB为直径的圆过坐标原点 6 弦长公式 1 过抛物线 y 2 4x 的焦点作直线交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 两点 若 x1 x2 6 那么 AB 等于 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 22 2 过抛物线xy2 2 焦点的直线交抛物线于A B两点 已知 AB 10 O为坐 标原点 则 ABC 重心的横坐标为 3 已知抛物线 2 2 0 ypx p的焦点恰为双曲线 22 1243xy的右焦点 过 抛物线的焦点且倾斜角为 3 4 的直线交抛物线于 11 P x y 22 Q xy两点 则 12 yy的值为 A 2B 4C 4 2D 8 7 圆锥曲线的中点弦问 遇到中点弦问题常用 韦达定理 或 点差法 求解 在椭圆1 2 2 2 2 b y a x 中 以 00 P xy为中点的弦所在直线的斜率k 0 2 0 2 ya xb 在双 曲线 22 22 1 xy ab 中 以 00 P xy为中点的弦所在直线的斜率k 0 2 0 2 ya xb 在抛物线 2 2 0 ypx p中 以 00 P xy为中点的弦所在直线的斜率k 0 p y 1 如果椭圆 22 1 369 xy 弦被点A 4 2 平分 那么这条弦所在的直线方程 是 2 已知直线 y x 1 与椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 相交于 A B 两点 且线段 AB的中点在直线 L x 2y 0上 则此椭圆的离心率为 3 试确定m 的取值范围 使得椭圆1 34 22 yx 上有不同的两点关于直线 mxy4对称 4 抛物线y 2x 2 截一组斜率为2 的平行直线 所得弦中点的轨迹方程 是 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 23 特别提醒 因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件 故在求解 有关弦长 对称问题时 务必别忘了检验0 8 动点轨迹方程 1 求轨迹方程的步骤 建系 设点 列式 化简 确定点的范围 2 求轨迹方程的常用方法 直接法 直接利用条件建立 x y之间的关系 0F x y 已知动点 P 到定点 F 1 0 和直线3x的距离之和等于 4 求 P的轨迹方程 待定系数法 已知所求曲线的类型 求曲线方程 先根据条件设出所求曲线 的方程 再由条件确定其待定系数 线段 AB过 x 轴正半轴上一点 M m 0 0 m 端点 A B 到 x 轴距离之积 为 2m 以x 轴为对称轴 过A O B 三点作抛物线 则此抛物线方程 为 定义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写 出动点的轨迹方程 1 由动点 P向圆 22 1xy作两条切线 PA PB 切点分别为 A B APB 60 0 则动点 P的轨迹方程为 2 点 M与点 F 4 0 的距离比它到直线05xl 的距离小于 1 则点 M的轨 迹方程是 3 一动圆与两圆 M 1 22 yx和 N 0128 22 xyx都外切 则 动圆圆心的轨迹为 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 24 代入转移法 动点 P x y依赖于另一动点 00 Q x y的变化而变化 并且 00 Q xy又在某已知曲线上 则可先用 x y的代数式表示 00 xy 再将 00 xy 代入 已知曲线得要求的轨迹方程 动点 P是抛物线12 2 xy上任一点 定点为 1 0 A 点 M分PA所成的比为 2 则 M的轨迹方程为 参数法 当动点 P x y坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点 可用时 可考虑将 x y均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数 得普通方程 1 AB是圆 O的直径 且 AB 2 a M为圆上一动点 作 MN AB 垂足为 N 在 OM 上取点P 使 OPMN 求点P的轨迹 2 若点 11 yxP在圆1 22 yx上运动 则点 1111 yxyxQ的轨迹方程 是 3 过抛物线yx4 2 的焦点 F作直线l交抛物线于 A B两点 则弦 AB的 中点 M的轨迹方程是 9 与向量相关的题 1 已知双曲线 2 2 1 2 y x的焦点为 F1 F2 点 M在双曲线上且 12 0 MFMF则 点 M到 x 轴的距离为 A 4 3 B 5 3 C 2 3 3 D 3 2 已 知j i 是x y轴 正 方 向 的 单 位 向 量 设a j yix 3 b j yix 3 且满足 bi a 求点 P x y 的轨迹 3 已知 A B 为抛物线 x 2 2py p 0 上异于原点的两点 0OA OB 点 C坐标 为 0 2p 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 25 求证 A B C三点共线 若 AM BM R 且0OM AB试求点 M的轨迹方程 10 圆锥曲线中线段的最值 1 抛物线 C y 2 4x 上一点 P到点 A 3 4 2 与到准线的距离和最小 则点 P 的坐标为 2 抛物线 C y 2 4x 上一点 Q到点 B 4 1 与到焦点 F 的距离和最小 则点 Q 的坐标为 3 F 是椭圆1 34 22 yx 的右焦点 A 1 1 为椭圆内一定点 P为椭圆上一 动点 PFPA的 最 小 值 为 PFPA2的 最 小 值 为 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 26 11 焦半径题 圆锥曲线上的点P到焦点 F的距离 利用圆锥曲线的第二定义 转化到相应准线的距离 即焦半径red 其中d表示 P到与 F 所对应的准线的 距离 1 已知椭圆1 1625 22 yx 上一点 P到椭圆左焦点的距离为3 则点 P到右准线的 距离为 2 已知抛物线方程为xy8 2 若抛物线上一点到y轴的距离等于 5 则它到抛 物线的焦点的距离等于 3 若该抛物线上的点M到焦点的距离是 4 则点M的坐标为 4 点 P 在椭圆1 925 22 yx 上 它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍 则点 P的横坐标为 5 抛物线xy2 2 上的两点 A B到焦点的距离和是5 则线段 AB的中点到y轴 的距离为 6 椭圆1 34 22 yx 内有一点 1 1 P F 为右焦点 在椭圆上有一点M 使 MFMP2之值最小 则点 M的坐标为 12 焦点三角形题 椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形 对于椭圆 2 0 tan 2 Sbc y 当 0 yb 即P为短轴端点时 max S的最大值 为 bc 对于双曲线 2 tan 2 b S 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 27 1 短轴长为5 离心率 3 2 e的椭圆的两焦点为 1 F 2 F 过 1 F作直线交椭圆 于 A B两点 则 2 ABF 的周长为 2 设 P 是等轴双曲线 0 222 aayx右支上一点 F1 F2是左右焦点 若 0 212 FFPF PF1 6 则该双曲线的方程为 3 椭圆 22 1 94 xy 的焦点为 F1 F2 点 P为椭圆上的动点 当PF2 PF1 0 时 点 P的横坐标的取值范围是 4 双曲线的虚轴长为4 离心率 e 2 6 F1 F2是它的左右焦点 若过F1的 直线与双曲线的左支交于A B 两点 且 AB 是 2 AF与 2 BF 等差中项 则AB 5 已知双曲线的离心率为2 F1 F2是左右焦点 P 为双曲线上一点 且 60 21PF F 312 21F PF S 求该双曲线的标准方程 13 了解其它结论 1 双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为 0 2 2 2 2 b y a x 2 以x a b y为渐近线 即与双曲线1 2 2 2 2 b y a x 共渐近线 的双曲线方程 为 2 2 2 2 b y a x 为参数 0 3 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲线方程可设为 22 1mxny 4 椭圆 双曲线的通径 过焦点且垂直于对称轴的弦 为 2 2b a 焦准距 焦点到相应准线的距离 为 2 b c 抛物线的通径为2 p 焦准距为p 5 通径是所有焦点弦 过焦点的弦 中最短的弦 6 若抛物线 2 2 0 ypx p的焦点弦为 AB 1122 A x yB xy 则 12 ABxxp 2 2 1212 4 p x xy yp 7 若 OA OB 是过抛物线 2 2 0 ypx p顶点 O 的两条互相垂直的弦 则直线AB 恒 经 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 28 五 解答题专项训练 常用方法 直接法和定义法 1 已知点 P是圆 x 2 y 2 4上一个动点 定点 Q的坐标为 4 0 求线段 PQ的中 点的轨迹方程 2 以抛物线 2 8yx上的点 M与定点 6 0 A为端点的线段MA的中点为 P 求 P 点的轨迹方程 3 在面积为 1 的PMN中 2 1 tan M 2tanN 建立适当的坐标系 求出 以M N为焦点且过P点的椭圆方程 4 已知动圆过定点1 0 且与直线1x相切 求动圆的圆心轨迹C的方程 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 29 5 已知 直线 L 过原点 抛物线 C 的顶点在原点 焦点在x 轴正半轴上 若点 A 1 0 和点 B 0 8 关于 L 的对称点都在 C上 求直线 L 和抛物线 C的方 程 6 设抛物线 2 xyC的焦点为 F 动点 P在直线02 yxl上运动 过 P作 抛物线 C的两条切线 PA PB 且与抛物线 C分别相切于 A B两点 1 求 APB 的重心 G的轨迹方程 7 动圆 M与圆 C1 x 1 2 y2 36内切 与圆 C 2 x 1 2 y2 4外切 求圆心 M的轨迹 方程 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 30 8 已知平面内一动点P到点 1 0 F的距离与点P到y轴的距离的差等于1 1 求动点P的轨迹C的方程 9 已知圆C方程为 22 4xy 1 直线l过点1 2P 且与圆C交于A B两点 若 23AB 求直线 l的 方程 10 已知椭圆 C 2 2 2 2 b y a x 1 a b 0 的离心率为 3 5 短轴一个端点到右焦点 的距离为 3 1 求椭圆 C的方程 11 已知椭圆以坐标原点为中心 坐标轴为对称轴 且该椭圆以抛物线xy16 2 的焦点P为其一个焦点 以双曲线1 916 22 yx 的焦点Q为顶点 1 求椭圆的标 准方程 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 31 12 已知椭圆 C的中心在坐标原点 焦点在x轴上 它的一个顶点恰好是抛物线 21 4 yx的焦点 离心率为 2 5 5 1 求椭圆 C 的标准方程 13 已 知 椭 圆的 一 个 顶 点 为0 1A 焦点 在x轴 上 若 右焦 点 到 直线 022yx的距离为 3 求椭圆的标准方程 14 已知椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 6 3 椭圆短轴的一个端点与两 个焦点构成的三角形的面积为 5 2 3 求椭圆 C的方程 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 32 15 已 知 椭 圆E 22 22 10 xy ab ab 的 一 个 焦 点 为 1 3 0F 而且 过 点 1 3 2 H 求椭圆 E的方程 16 已知椭圆C 1 2 2 2 2 b y a x 0ba 的离心率 2 1 e 且经过点 3 2 A 1 求椭圆C的方程 17 已知双曲线 22 1 0 Cxym m与椭圆 22 222 1 xy C ab 有公共焦点 12 F F 点 2 1 N是它们的一个公共点 1 求 12 C C 的方程 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 33 18 已 知 椭 圆 1 C 22 2 1 02 4 xy b b 的离 心 率 等 于 3 2 抛 物 线 2 C 2 20 xpy p的焦点在椭圆的顶点上 1 求抛物线 2 C 的方程 19 已知椭圆 1 C 22 22 1 xy ab 0ab 的离心率为 3 3 直线 2Lyx与以原 点为圆心 以椭圆 1 C的短半轴长为半径的圆相切 1 求椭圆 1 C的方程 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 34 附录 圆锥曲线之高考链接参考答案 2012文 20 解 1 因为椭圆 1 C 的左焦点为 1 1 0 F 所以1c 点 0 1 P代入椭圆 22 22 1 xy ab 得 2 1 1 b 即1b 所以 222 2abc 所以椭圆 1 C 的方程为 2 2 1 2 x y 2 直线l的斜率显然存在 设直线l的方程为ykxm 2 2 1 2 x y ykxm 消去y并整理得 222 1 2 4220kxkmxm 因为直线l与 椭圆 1 C 相切 所以 2222 164 1 2 22 0k mkm 整理得 22 210km 2 4yx ykxm 消去y并整理得 222 24 0k xkmxm 因为直线l与抛物线 2 C 相切 所以 222 24 40kmk m 整理得1km 综合 解得 2 2 2 k m 或 2 2 2 k m 所以直线l的方程为 2 2 2 yx或 2 2 2 yx 2011文 21 解 1 如图 1 符合 MPOAOP 的点 M 可以在 PO 的左侧和 右侧 当 M 在 PO 左侧时 显然点 M 是 PO 垂直平分线与 X 轴的交点 所以易得 M 的轨迹方程为 y 0 x 1 当 M 在 PO 右侧时 MPOAOP 所以 PM x 轴 设 M x y 则 P 2 y 因 为M在PO的 垂 直 平 分 线 上 所 以MPMO 即 222 2 4 1 xxyxy得 x1 综上所述 当点 P 在l上运动时 点 M 的轨迹 E 的方程为 乘风破浪会有时 直挂云帆济沧海 35 y 0 x 1 和 2 44xy x1 如图 X 2 P y x M M AO 2 当 H 在方程 y 0 x 1 运动时 显然HOHTCOCT 当 H 在方程 2 44xy x1 上运动时 HOHTHPHT 由图知当 P H T 三 点 共 线 时 HPHTHOHT取得最小值 即取 得 最小 值 显然 此时 HOHTCOCT 当 PT 直线与 x 轴平行时 PT直线与曲线 E 的交点即为所求的H 设 H x 1 因为 H 在 2 4