苏教版必修2 第一章 1．3　空间几何体的表面积和体积 教案.doc

第1课时空间几何体的表面积(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱(3)正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分.观察下列多面体：问题1：直棱柱的侧面展开图是什么？提示：以底面周长为长，高为宽的矩形问题2：正棱锥的侧面展开图是什么？提示：若干个全等的等腰三角形问题3：正棱台的侧面展开图是什么？提示：若干个全等的等腰梯形几个特殊的多面体的侧面积公式(1)s直棱柱侧ch(h为直棱柱的高)；(2)s正棱锥侧ch(h为斜高)；(3)s正棱台侧(cc)h(h为斜高).观察下列旋转体：问题1：圆柱的侧面展开图是什么？提示：以底面周长为长，高为宽的矩形问题2：圆锥的侧面展开图是什么？提示：扇形问题3：圆台的侧面展开图是什么？提示：扇环几种旋转体的侧面积公式(1)s圆柱侧cl2rl(2)s圆锥侧clrl(3)s圆台侧(cc)h(rr)l1柱、锥、台的表面积即全面积应为侧面积与底面积的和2柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特性，必要时要展开3柱、锥、台的侧面积之间的关系(1)正棱柱、正棱锥、正棱台侧面积之间的关系：.(2)圆柱、圆锥、圆台表面积之间的关系：.例1正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积思路点拨由s侧与s底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积精解详析如图，设po3，pe是斜高，s侧2s底，4bcpe2bc2.bcpe.在rtpoe中，po3，oebcpe.9()2pe2.pe2.s底bc2pe2(2)212.s侧2s底21224.s表s底s侧122436.一点通求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱求解时要注意直角三角形和梯形的应用1已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为_解析：三棱锥的每个面(正三角形)的面积都是，所以三棱锥 的表面积为4.答案：2底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是_解析：设直棱柱底面边长为a，高为h，则h2，a1，所以s棱柱侧4128.答案：83正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底面的边长解：如图，设上底面边长为x cm，则下底面边长为(x10)cm，在rte1fe中，ef5(cm)e1f12 cm，斜高e1e13 cm.s侧4(xx10)1352(x5)，s表52(x5)x2(x10)22x272x360.s表512 cm2，2x272x360512.解得x138(舍去)，x22.x21012.正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm、12 cm.例2圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积是多少？思路点拨解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积精解详析如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180，故csa210，所以sa20，同理可得sb40，所以absbsa20，s表面积s侧s上s下(r1r2)abrr(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为1 100 cm2.一点通(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面(2)对于与旋转体有关的组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的半径和母线长，注意方程思想的应用4若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是_解析：根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以sr2rl23.答案：35 如图所示，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积解：设圆柱的底面半径为x，圆锥高h2，画轴截面积图(如图)，则.故圆锥内接圆柱的底半径x1.则圆柱的表面积s21221(22).6一个直角梯形的上、下底的半径和高的比为12，求它绕垂直于上、下底的腰旋转后形成的圆台的上底面积、下底面积和侧面积的比解：如图所示，设上、下底的半径和高分别为x、2x、x，则母线长l2x，s上底x2，s下底(2x)24x2，s侧(x2x)2x6x2，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为146.1正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数2棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积可由大小棱锥侧面积作差得到3旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用课下能力提升(十)1一个圆锥的底面半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为_解析：s侧rl28.答案：82正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积为_解析：如图，在正三棱锥sabc中，过点s作so平面abc于o点，则o为abc的中心，连结ao并延长与bc相交于点m，连结sm，sm即为斜高h，在rtsmo中，ha，所以侧面积s3aaa2.答案：a23一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为_解析：设圆台的上、下底面半径分别为r、r，则母线l(rr)s侧(rr)l2ll2l232.l4.答案：44一个圆柱的底面面积是s，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为_解析：设圆柱的底面半径为r，则sr2，r，底面周长c2r.故圆柱的侧面积为s圆柱侧c2(2r)2424s.答案：4s5 如图，在正方体abcda1b1c1d1中，三棱锥d1ab1c的表面积与正方体的表面积的比为_解析：设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥d1ab1c为正四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为42，所以三棱锥d1ab1c的表面积与正方体的表面积的比为1.答案：16以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径解：如图所示，设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则圆锥的底面半径为r，高为h，设圆锥母线长为l，则有l.依题意，得由，得r，即圆柱的底面半径为.7设正三棱锥sabc的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高so3，求此正三棱锥的全面积解：设正三棱锥底面边长为a，斜高为h，如图所示，过o作oeab，则seab，即seh.s侧2s底，3aha22，ah.sooe，so2oe2se2，32(h)2h2.h2，ah6.s底a2629，s侧2s底18.s全s侧s底18927.8.如图所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(取3.1)?解：圆柱形物体的侧面面积s13.1139.3(m2)，半球形物体的表面积为s223.1()21.6(m2)，所以s1s29.31.610.9(m2)1091501 635(朵)答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花第2课时空间几何体的体积观察下列几何体：问题1：你能否求出上述几何体的体积吗？提示：能问题2：要求上述几何体的体积，需要知道什么？提示：底面积和高柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体体积：v柱体sh其中s为柱体的底面积，h为高(2)锥体体积：v锥体sh其中s为锥体的底面积，h为高(3)台体体积：v台体h(ss)其中s，s分别为台体的两底面面积，h为台体的高.2009年12月4日，阿迪达斯和国际足联在开普敦共同发布2010年南非世界杯官方比赛用球“jabulani”，“jabulani”源于非洲祖鲁语，意为“普天同庆”，新的比赛用球在技术上取得历史性突破，设计上融入了南非元素问题1：根据球的形成定义，体育比赛中用到的足球与数学中的球有何不同？提示：比赛中的足球是空心的，而数学中的球是实体球问题2：给你一个足球能否计算出这个足球表皮面积和体积？提示：能，只要知道球的半径即可求出1球的表面积设球的半径为r，则球的表面积s4r2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍2球的体积设球的半径为r，则球的体积vr31求柱、锥、台的体积要注意底面积与高的确定，必要时注意分割2柱体、锥体、台体之间体积公式的关系3要求球的表面积，只需求出球的半径4球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体积是关于球的半径的增函数例1(1)底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2.且与该侧面内的底边所成的角为45，求此三棱柱的体积(2) 如图，四棱锥pabcd的底面是边长为1的正方形，pacd，pa1，pd.求此四棱锥的体积思路点拨(1)由条件求出高和底面边长，再利用公式求体积；(2)解本题的关键是求四棱锥的高，可证明pa底面abcd，再利用公式求体积精解详析(1)如图，由条件知此三棱柱为正三棱柱正三棱柱的面对角线ab12.b1ab45.ab2sin 45bb1.v三棱柱sabcbb1()2.(2)在pad中，paad1，pd，pa2ad2pd2.paad，又pacd，且adcdd，pa平面abcd，从而pa是底面abcd上的高，v四棱锥s正方形abcdpa121.一点通求柱体、锥体的体积，关键是求其高，对柱体而言，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角三角形，对棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度1一圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240，则该圆锥的体积为_解析：设圆锥侧面展开图的弧长为l，则l.设圆锥的底面半径为r，则2r，r.v .答案：2一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为_解析：设正方体棱长为1，则s正方体侧s圆柱侧4，设圆柱的底面半径为r，则2r14，r，v正方体1，v圆柱1.v正方体v圆柱4.答案：4例2圆台上底的面积为16 cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？思路点拨解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题精解详析如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm，于是s圆台侧(rr)l100(cm2)圆台的高hbc4(cm)，v圆台h(ss)4(1636)(cm3)一点通求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形3正四棱台两底面边长为20 cm和10 cm，侧面积为780 cm2，求其体积解：如图所示，正四棱台abcda1b1c1d1中，a1b110 cm，ab20 cm.取a1b1的中点e1，ab的中点e，连结e1e，则e1e是侧面abb1a1的高设o1，o分别是上，下底面的中心，则四边形eoo1e1是直角梯形s侧4(1020)e1e，即78060e1e，解得e1e13 (cm)在直角梯形eoo1e1中，o1e1a1b15 (cm)，oeab10 (cm)，所以o1o12(cm)所以v12(102202)2 800(cm3).例3一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49 cm2和400 cm2.求球的表面积思路点拨由于题中没有说明截面的位置，故需分类讨论精解详析(1)当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面由球的截面性质知，ao1bo2，且o1，o2分别为两截面圆的圆心，则oo1ao1，oo2bo2.设球的半径为r.因为圆o2的面积为49，即o2b249，所以o2b7.同理，因为o1a2400，所以o1a20.设oo1x，则oo2(x9)在rtoo1a中，r2x2202，在rtoo2b中，r2(x9)272，所以，x2202(x9)272，解得x15.即r2x2202252.故s球4r22 500.所以，球的表面积为2 500 cm2.(2) 当截面位于球心o的两侧时，如图所示为球的轴截面由球的截面性质知，o1ao2b，且o1，o2分别为两截面圆的圆心，则oo1ao1，oo2o2b.设球的半径为r.因为圆o2的面积为49，即o2b249，所以o2b7.同理，因为o1a2400，所以o1a20.设o1ox，则oo2(9x)在rtoo1a中，r2x2202，在rtoo2b中，r2(9x)272.所以x2400(9x)249，解得x15，不合题意，舍去综上所述，球的表面积为2 500 cm2.一点通球的截面性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面，本题利用球的截面将立体几何问题转化为平面几何问题，借助于直角三角形中的勾股定理解决问题4(新课标全国卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为_ cm3.解析：设球半径为r cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(r2) cm，所以由42(r2)2r2，得r5，所以球的体积vr353 cm3.答案：5过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为_解析：过球心作球的截面，如图所示，设球的半径为r，截面圆的半径为r，则有r r，则球的表面积为4r2，截面的面积为r2，所以截面的面积与球的表面积的比为.答案：6长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积和体积是多少？解：设球的半径为r，则由已知得(2r)2324252，故r2，r，s球4r250，v球r3()3.1求柱、锥、台体的体积时，由条件画出直观图，然后根据几何体的特点恰当进行割补，可能使复杂问题变得直观易求2求球与多面体的组合问题，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图3球的截面是一个圆面、圆心与球心的连线与截面圆垂直，且满足d(d为球心到截面圆的距离)课下能力提升(十一)1一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为_解析：设球的半径为r，则圆锥的底面半径是3r，设圆锥的高为h，则r3(3r)2h，解得hr，所以圆锥的高与底面半径之比为.答案：2如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于_解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得s圆柱侧2r2r4r24，所以r1，所以v圆柱r22r2r32.答案：23(福建高考)三棱锥pabc中，pa底面abc，pa3，底面abc是边长为2的正三角形，则三棱锥pabc的体积等于_解析：依题意有，三棱锥pabc的体积vsabc|pa|223.答案：4在abc中，ab2，bc1.5，abc120，若使abc绕直线bc旋转一周，则所形成的几何体的体积是_解析：vv大圆锥v小圆锥()2(11.51).答案：5(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为， 则正方体的棱长为_解析：设正方体的棱长为x，其外接球的半径为r，则由球的体积为，得r3，解得r.由2rx，得x.答案：6 如图所示，在多面体abcdef中，已知面abcd是边长为3的正方形，efab，ef，ef与平面ac的距离为2，求该多面体的体积解：如图，设g，h分别是ab，dc的中点，连结eg，eb，ec，eh，hg，hb，efab，efabgb，四边形gbfe为平行四边形，则egfb，同理可得ehfc，ghbc，得三棱柱eghfbc和棱锥eaghd.依题意veaghdsaghd2323，而veghfbc3vbegh3vebchgveaghd，v多面体veaghdveghfbc.7已知正四棱台两底面面积分别为80 cm2和245 cm2，截得这个正四棱台的原棱锥的高是35 cm，求正四棱台的体积解：如图，so35，ao2，ao，由，得so20.oo15.v正四棱台15(80245)2 325.即正四棱台的体积为2 325 cm3.8 如图，已知四棱锥pabcd的底面为等腰梯形，abcd，acbd，垂足为h，ph是四棱锥的高(1)证明：平面pac平面pbd；(2)若ab，apbadb60，求四棱锥pabcd的体积解：(1)证明：因为ph是四棱锥pabcd的高，所以acph.又acbd，ph，bd都在平面pbd内，且phbdh，所以ac平面pbd，故平面pac平面pbd.(2)因为abcd为等腰梯形，abcd，acbd，ab，所以hahb.因为apbadb60，所以papb，hdhc1，可得ph.等腰梯形abcd的面积为sacbd2.所以四棱锥的体积为v(2).一、空间几何体1多面体与旋转体(1)棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱”(2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥注意：一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体(3)棱台是利用棱锥来定义的，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个称之为棱台，截面叫做上底面，原棱锥的底面叫做下底面注意：解决台体常用“台还原成锥”的思想(4)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转一周而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线2直观图画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，最大区别是空间几何体的直观图有实线与虚线之分，而平面图形的直观图全为实线二、平面的基本性质1平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内a，bab公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线p，且pl，且pl公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面a，b，c三点不共线存在唯一的平面使a，b，c公理3的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2三个公理的主要作用(1)公理1的作用：判断直线是否在平面内，点是否在平面内用直线检验平面(2)公理2的作用：判定两个平面是否相交；证明点共线(3)公理3的作用：确定平面；证明点线共面三、空间直线与直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种注意：两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种1证明线线平行的方法(1)线线平行的定义；(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；(3)线面平行的性质定理：a，a，bab；(4)线面垂直的性质定理：a，bab；(5)面面平行的性质定理：，a，bab.2证明线线垂直的方法(1)线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；(2)线面垂直的性质：a，bab；(3)线面垂直的性质：a，bab.四、空间直线与平面的位置关系空间中直线与平面有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行注意：直线在平面外包括平行和相交两种关系1证明线面平行的方法(1)线面平行的定义；(2)判定定理：a，b，aba；(3)平面与平面平行的性质：，aa.2证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理：l；(3)面面平行的性质：，ll；(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala .五、空间平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系有且只有平行和相交两种1证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：a，b，a，b，aba；(3)线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面平行2证明面面垂直的方法(1)面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；(2)面面垂直的判定定理：a，a.3证明空间线面平行或垂直需注意三点(1)由已知想性质，由求证想判定；(2)适当添加辅助线(面)；(3)用定理时先明确条件，再由定理得出相应结论六、空间几何体的表面积和体积1棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系2圆锥、圆台、圆柱的侧面积公式间的联系3锥、台、柱的体积之间的联系v台体(s上s下)h4球的表面积与体积设球的半径为r，则球的表面积s4r2，体积v r3.一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1下列几何体是旋转体的是_圆柱；六棱锥；正方体；球体；四面体答案：2若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线_解析：由于直线分别位于两平行平面内，因此它们无公共点，因此它们平行或异面答案：平行或异面3圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长l3，侧面积为84，则圆台较小底面的半径为_解析：设圆台较小底面半径为r，则s侧面积(r3r)l84，r7.答案：74已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为_解析：设正方体的棱长为a，则6a224，解得a2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长2等于球的直径，则球的半径是，则此球的体积为()3.答案：5一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是_解析：如图所示，将abc还原后为abc，由于occd1，所以co2oc.sabc1.答案：6如图，如果mc菱形abcd所在的平面，那么ma与bd的位置关系是_解析：连结ac，由于四边形abcd是菱形，所以acbd，又mc平面abcd，所以mcbd，又mcacc，所以bd平面amc，所以mabd.答案：垂直7已知直线a平面，平面平面，则直线a与平面的位置关系为_解析：a，a或a.答案：a或a8圆锥侧面展开图的扇形周长为2m，则全面积的最大值为_解析：设圆锥底面半径为r，母线为l，则有2l2r2m.s全r2rlr2r(mr)(2)r2rm.当r时，s全有最大值.答案：9已知圆o和圆k是球o的大圆和小圆，其公共弦长等于球o的半径，ok，且圆o与圆k所在的平面所成的一个二面角为60，则球o的表面积等于_解析：如图设点a为圆o和圆k公共弦的中点，则在rtoak中，oak为圆o和圆k所在的平面所成的二面角的一个平面角，即oak60.由ok，可得oa，设球的半径为r，则()2r2，解得r2，因此球的表面积为4r216.答案：1610 如图，二面角l的大小是60，线段ab，bl，ab与l所成的角为30，则ab与平面所成的角的正弦值是_解析：如图，作ao于o，acl于c，连结ob，oc，则ocl.设ab与所成角为，则abo，由图得sin sin 30sin 60.答案：11已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中错误的是_若m，n，则mn；若，则；若m，m，则；若m，n，则mn.解析：对于，m，n均为直线，其中m，n平行于，则m，n可以相交也可以异面，故不正确；对于，还可能相交，故，错；对于，m，n，则同垂直于一个平面的两条直线平行，故正确答案：12若一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比是_解析：设球的半径为r，圆柱、圆锥的底面半径为r，高为h，则rr，h2r，v圆柱r22r2r3，v球r3，v圆锥r22rr3，所以v圆柱v球v圆锥2r3r3r3321.答案：32113. 如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，底面是以abc为直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，d是a1c1的中点，点f在线段aa1上，当af_时，cf平面b1df.解析：由题意易知，b1d平面acc1a1，所以b1dcf.要使cf平面b1df，只需cfdf即可令cfdf，设afx，则a1f3ax，由rtcafrtfa1d，得，即.整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.答案：a或2a14球o的球面上有四点s，a，b，c，其中o，a，b，c四点共面，abc是边长为2的正三角形，平面sab平面abc，则三棱锥sabc的体积的最大值为_解析：记球o的半径为r，作sdab于d，连线od、os，易求r，又sd平面abc，注意到sd，因此要使sd最大，则需od最小，而od的最小值为，因此高sd的最大值是 1，又三棱锥sabc的体积为sabcsd22sdsd，因此三棱锥sabc的体积的最大值是1.答案：二、解答题(本大题共6小题，共90分)15(14分)圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形abcd，圆柱侧面上从a到c的最短距离是多少？解：如图，底面半径为 cm，母线长为5 cm.沿ab展开，则c、d分别是bb、aa的中点依题意ad.ac.圆柱侧面上从a到c的最短距离为 cm.16 (14分)如图所示，已知abcd是矩形，e是以dc为直径的半圆周上一点，且平面cde平面abcd.求证：ce平面ade.证明：e是以dc为直径的半圆周上一点，cede.又平面cde平面abcd，且addc，ad平面cde.又ce面cde，adce.又deadd，ce平面ade.17 (14分)(新课标全国卷)如图，直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点(1)证明：bc1平面a1cd；(2)设aa1accb2，ab2，求三棱锥c a1de的体积解：(1)证明：连结ac1交a1c于点f，则f为ac1中点又d是ab中点，连结df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)因为abca1b1c1是直三棱柱，所以aa1cd.由已知acc