高考数列问题研究.doc

高考数列问题研究一、数列高频考点数列的概念，数列的通项，数列性质，数列求和。二、数列高频考点考查方法研究1以小题或解答题的第一小问考查概念、通项、性质、求和以及等基本量求解例1：（1）（2011年湖南理第12题）设是等差数列的前项和，且，则_。（2）（2012年大纲全国卷）已知数列的前项和为，,则A B。 C。 D。B（3）（2012年浙江卷）设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是()A若d0，则数列Sn有最大项B若数列Sn有最大项，则d0D若对任意nN*，均有Sn0，则数列Sn是递增数列C解析 本题考查等差数列的通项、前n项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度法一：特值验证排除选项C显然是错的，举出反例：1，0,1,2,3，满足数列S n是递增数列，但是S n0不恒成立法二：由于Snna1dn2n，根据二次函数的图象与性质知当d0，但对任意的nN*，Sn0不成立，即选项C错误；反之，选项D是正确的；故应选C.点评 等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据（4）（2012年陕西）设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.（）求数列的公比；设数列an的公比为q(q0，q1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3a5a4，即2a1q2 a1q4a1q3，由a10，q0得q2q20，解得q12，q21(舍去)，所以q2.2以中档解答题考查等差数列、等比数列的通项、性质与求和。有的侧重于基本量计算，有的侧重于推理与证明。例2：(1)（2012湖北卷）已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解：(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5，或an43(n1)3n7.故an3n5，或an3n7.(2)当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列|an|的前n项和为Sn.当n1时，S1|a1|4；当n2时，S2|a1|a2|5；当n3时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.当n2时，满足此式综上，Sn（2）（2012湖南卷）已知数列an的各项均为正数，记A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2，n1,2，.(1)若a11，a25，且对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列an的通项公式；(2)证明：数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列解：(1)对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)是等差数列，所以B(n)A(n)C(n)B(n)，即an1a1an2a2，亦即an2an1a2a14.故数列an是首项为1，公差为4的等差数列于是an1(n1)44n3.(2)必要性：若数列an是公比为q的等比数列，则对任意nN*，有an1anq.由an0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是q，q，即q.所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列充分性：若对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则B(n)qA(n)，C(n)qB(n)于是C(n)B(n)qB(n)A(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2qa1.由n1有B(1)qA(1)，即a2qa1，从而an2qan10.因为an0，所以q.故数列an是首项为a1，公比为q的等比数列综上所述，数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列（3）（2012年广东）设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列（I）求a1的值；（II）求数列an的通项公式；（III）证明：对一切正整数n，有.解：(1)a1，a25，a3成等差数列，2(a25)a1a3.又2a12S1a2221,2(a1a2)2S2a3231，a22a13，a36a113.因此4a1167a113，从而a11.(2)由题设条件知，n2时，2Sn1an2n1，2Snan12n11.2anan1an2n，于是an13an2n(n2)而由(1)知，a22a1353a12，因此对一切正整数n，有an13an2n，所以an12n13(an2n)又a1213，an2n是以3为首项，3为公比的等比数列故an2n3n，即an3n2n.(3)an3n2n33n12n3n12(3n12n1)3n1，.1.3以应用题考查应用意识，建立数列模型，考查的落脚点是数列的概念、性质与求和。例3：（2012年湖南文科）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.（I）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；（II）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.解：（）由题意得，.（）由（）得.整理得.由题意，解得.故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元.本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出与的关系式，第二问，只要把第一