人教A版选修23 2.3.2 离散型随机变量的方差 学案.doc

2.3.2 离散型随机变量的方差【学习目标】1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和计算；2能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题；3掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差。【能力目标】能利用相关变量数据计算均值、方差及标准差，并对问题作出解释。【重点、难点】1.离散型随机变量的方差及标准差计算；2能利用随机变量的方差，解决一些实际问题；3掌握两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差。【学法指导】1.熟记各种符号代表的含意，并能计算对应的数据；2.针对所得数据对问题进行分析和解释。【学习过程】一课前预习阅读教材p64-p68；二知识要点1离散型随机变量的方差的概念设离散型随机变量x的分布列为x1x2xixnp1p2pipn则描述了，2，n）相对于均值的偏离程度而为这些偏离程度的加权平均，我们把称为随机变量的 方差 ，其算术平方根称为随机变量的 标准差 温馨提示：注意随机变量的方差与样本方差的区别，随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随抽样样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的.2随机变量的方差和标准差的意义随机变量的方差和标准差都反映了 随机变量取值偏离于均值的平均程度 ，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度 越小 3. 方差的计算公式（1）若服从两点分布，则；（2）若b(n，p)，则；（3）温馨提示：应用方差公式求方差时，注意两点分布与二项分布的方差公式的区别.三【问题探究】类型1 求离散型随机变量的方差、标准差例1设是一个离散型随机变量，其分布列如表所示：试求、解：由于离散型随机变量的分布列满足：（1）；（2）.故，解之得.故的分布列为所以，.【归纳】（1）求离散型随机变量的方差的一般步骤：（2）已知分布列求方差，先求期望再代入方差公式求，计算量大要细致分布列中含参数时，要先利用分布列的性质求出参数值，得出分布列特殊分布的方差可直接按相应公式计算类型2 方差的性质例2已知随机变量的分布列为12345p0.10.20.40.20.1另一随机变量，求，解：； .【归纳】（1）对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如，这样处理既避免了求随机机变量的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程（2）若b(n，p)，则d()np(1p)，若服从两点分布，则，其中p为成功概率，应用上述两条可大大简化解题过程类型3 方差的实际应用例3甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量、，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中的10，9，8，7环的概率分别为0.5、3a、a、0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求、的分布列；(2)求、的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术审题指导先根据分布列的性质求出，然后写出、的分布列；再利用公式求出数学期望和方差，根据期望、方差各自的大小关系比较甲、乙的射击技术解:（1）依题意，解得. （利用分布列的性质正确求出值是解答本题的基础）因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为.所以、的分布列分别为10987p0.50.30.10.110987 :学 p0.30.30.20.2 （2）由（1）可得（环）；（环）； ； （方差公式涉及到的数据较多，使用时要小心仔细.）.由于，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，（射击技术的比较要从数学期望和方差两个方面进行，一般地，期望值大、方差小表明技术好）。所以，甲比乙的技术好【归纳】离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，在实际应用中，往往通过比较期望值的大小确定质量的优劣，水平的高低，当期望值一样时，还必须通过比较二者的方差 做出判断四【当堂检测】1思考判断（正确的打“”，错误的打“”） （1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定. （ ）（2）若为常数，则. （ ）（3）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度. （ ）解：（1）错，离散型随机变量的方差越大，随机变量波动越大，越不稳定.（2）对，因为为常数，所以不会产生波动，其方差为0.（3）对，由方差的概念知说法正确.答案：（1）（2）（3）2设一随机试验的结果只有和且，令随机变量，则的方差等于 ()ab c d解：依题意服从两点分布，所以.答案：d3设的分布列为、1、2、3、4、5)，则 ()a10 b30 c15 d5解： 由的分布列知b(5，)，所以，所以答案： a4.已知随机变量服从二项分布，若，则 解：依题可得且，解得答案：5已知随机变量，则的标准差为_ 解：因为，所以，所以.答案：五【课堂小结】1已知随机变量的分布，求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解2已知随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差、标准差，可直接用均值、方差的性质求解3如能分析所给随机变量是服从常见的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接用它们的均值、方差公式计算4对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的均值、方差和标准差【课后作业】1已知离散型随机变量的分布列如下表，若，则_，_.12pabc解： 由期望、方差的定义和条件知，解之得，.答案： 2已知x是一个随机变量，随机变量x5的分布列如下： : | 0120.20.10.10.40.2求（1）e(x5)的值；（2）d(x)的值 解：（1）因为的分布列已知，所以.（2）3有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表