人教A版选修21 2.1.2 求曲线的方程 课件（24张）.ppt

2 1 2求曲线的方程 天宫一号 运行要经过两次轨道控制 从入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道 在这里我们必须要知道 天宫一号 运行的轨道 轨迹 那么科学家们是如何进行计算的呢 接下来我们就来探究一下轨迹方程的求法 1 理解坐标法的作用及意义 2 掌握求曲线方程的一般方法和步骤 能根据所给条件 选择适当坐标系 重点 难点 探究求曲线的方程的步骤和方法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法 在数学中 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何 因此 解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科 解析几何与坐标法 通过具体的例子我们来看看如何求曲线的方程 例1 设a b两点的坐标分别是 1 1 3 7 求线段ab的垂直平分线的方程 解析 设点m x y 是线段ab的垂直平分线上的任意一点 也就是点m属于集合 由两点间的距离公式 点m适合的条件可表示为 上式两边平方 并整理得x 2y 7 0 交代清楚 我们证明方程 是线段ab的垂直平分线的方程 1 由求方程的过程可知 垂直平分线上每一点的坐标都是方程 的解 2 设点m1的坐标 x1 y1 是方程 的解 即x1 2y1 7 0 x1 7 2y1 点m1到a b的距离分别是 即点m在线段ab的垂直平分线上 由 1 2 可知 方程 是线段ab的垂直平分线的方程 由上述例子可以看出 求曲线的方程 一般有下面几个步骤 1 建系设动点 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示所求曲线上任意一点m的坐标 求谁设谁 2 列几何条件 写出适合条件p的点m的集合p m p m 3 坐标代换 用坐标表示条件p m 列出方程f x y 0 直接法 说明 一般情况下 化简前后方程的解集是相同的 步骤 5 可以省略不写 如有特殊情况 可适当予以说明 另外 也可以根据情况省略步骤 2 直接列出曲线方程 4 化简 化方程f x y 0为最简形式 5 证明 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 例2 已知一条直线l和它上方的一个点f 点f到l的距离是2 一条曲线也在l的上方 它上面的每一点到f的距离减去到l的距离的差都是2 建立适当的坐标系 求这条曲线的方程 分析 在建立坐标系时 一般应当充分利用已知条件中的定点 定直线等 这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示 从而使曲线方程的形式简单一些 解 如图 取直线l为x轴 过点f且垂直于直线l的直线为y轴 建立坐标系xoy 设点m x y 是曲线上任意一点 作mb x轴 垂足为b 那么点m属于集合 由两点间的距离公式 点m适合的条件可表示为 将 式移项后两边平方 得 化简得 因为曲线在x轴的上方 所以y 0 虽然原点o的坐标 0 0 是这个方程的解 但不属于已知曲线 所以曲线的方程应是 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础 同时 根据曲线上的点应适合的条件列出等式 是求曲线方程的重要环节 严格按步骤解题是基本能力 总结提升 变式练习 总结提升 建立适当坐标系的基本原则 1 定点 定线段常选在坐标轴上 2 原点有时选在定点 3 充分利用对称性 坐标轴可选为对称轴 另外注意 坐标系不同虽曲线形状一样其方程却不同 要注意选择几何图形与坐标系的适当相对位置 以简化方程形式 1 已知点p是直线2x y 3 0上的一个动点 定点m 1 2 q是线段pm延长线上的一点 且 pm mq 则q点的轨迹方程是 a 2x y 1 0 b 2x y 5 0 c 2x y 1 0 d 2x y 5 0 d 2 在 abc中 b c坐标分别为 3 0 3 0 且三角形周长为16 则点a的轨迹方程是 3 已知 3 a b分别在y轴和x轴上运动 o为原点 则动点p的轨迹方程是 a b c d a 4 在平面直角坐标系xoy中 点b与点a 1 1 关于原点o对称 p是动点 且直线ap与bp的斜率之积等于 求动点p的轨迹方程 解析 因为点b与点a 1 1 关于原点对称 得b点坐标为 1 1 建系 设点 列式 化简 验证 建立适当的平面直角坐标系 轨迹上的任意一点设为p x y 列出或找出动点p满足的等式 将得到