人教A版选修23 1.2.2.1组合与组合数公式 课件（66张）.ppt

1 2 2组合第1课时组合与组合数公式 主题1组合与组合数的定义1 给出下列两个问题 1 从5人中选取2人分别担任正 副班长 2 从5人中选取2人组成班委会 列出上述两个问题中的所有可能情况 提示 分别用a b c d e表示这5个人 1 中所有可能为 ab ac ad ae bc bd be cd ce de ba ca da ea cb db eb dc ec ed共20种 2 中所有可能 ab ac ad ae bc bd be cd ce de共10种 2 针对问题1中的 2 你能否总结其特征 提示 从5个不同元素中任取2个元素组成一组 不考虑这两个元素的顺序 结论 1 组合 一般地 从 合成一组 叫做从 的一个组合 n个不同元素中取出m m n 个元素 n个不同元素中取出m个元素 2 组合数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有不同组合的 叫做从n个不同元素中取出m个元素的 用符号 表示 个数 组合数 微思考 1 从a b c d中选取2个 ab与ba是同一个组合吗 提示 是 组合与顺序无关 2 组合与排列的异同点分别是什么 提示 共同点 都是 从n个不同元素中取出m m n 个元素 不同点 组合 合成一组 而排列是要 按照一定顺序排成一列 主题2 组合数公式与组合数性质从1 3 5 7中任取两个相除 1 可以得到多少个不同的商 提示 4 3 12个不同的商 2 如何用分步乘法计数原理求商的个数 提示 第1步 从这四个数中任取两个数 有种方法 第2步 将每个组合中的两个数排列 有种排法 由分步乘法计数原理 可得商的个数为 12 3 你能借助排列数计算吗 提示 能 因为 所以 结论 组合数公式及性质 1 1 微思考 能否用语言描述的含义 提示 从n个不同元素中取出m个元素后 必然剩下n m个元素 因此从n个不同元素中取出m个元素的组合 与剩下的n m个元素的组合一一对应 即从n个不同元素中取出m个元素的组合数 等于从n个不同元素中取出n m个元素的组合数 因此 预习自测 1 如果 28 则n的值为 a 9b 8c 7d 6 解析 选b 28 所以n 8或n 7 舍 2 给出下面几个问题 其中是组合问题的是 某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛 从1 2 3 4中选出2个数 构成平面向量a的坐标 从1 2 3 4中选出2个数分别作为实轴长和虚轴长 构成焦点在x轴上的双曲线的方程 从正方体的8个顶点中任取两点构成线段 a b c d 解析 选b 中所取元素不考虑顺序 故是组合问题 中考虑元素顺序 是排列问题 3 某乒乓球队有9名队员 其中2名是种子选手 现在挑选5名队员参加比赛 种子选手都必须在内 那么不同的选法共有 种 解析 只需在除种子选手外的7人中再选3人 共有 35 种 答案 35 4 计算 解析 答案 24 5 一个口袋里装有7个白球和1个红球 从口袋中任取5个球 1 共有多少种不同的取法 2 其中恰有一个红球 共有多少种不同的取法 3 其中不含红球 共有多少种不同的取法 仿照教材p23例6的解析过程 解析 1 从口袋里的8个球中任取5个球 不同取法的种数是 2 从口袋里的8个球中任取5个球 其中恰有一个红球 可以分两步完成 第一步 从7个白球中任取4个白球 有种取法 第二步 把1个红球取出 有种取法 故不同取法的种数是 3 从口袋里任取5个球 其中不含红球 只需从7个白球中任取5个白球即可 不同取法的种数是 类型一组合及组合数的概念 典例1 判断下列问题是排列问题 还是组合问题 并求出相应的排列数或组合数 1 从1 2 3 9九个数字中任取3个 组成一个三位数 这样的三位数共有多少个 2 从1 2 3 9九个数字中任取3个 然后把这三个数字相加得到一个和 这样的和共有多少个 3 从a b c d四名学生中选2名去完成同一份工作 有多少种不同的选法 4 5个人规定相互通话一次 共通了多少次电话 5 若已知集合 1 2 3 4 5 6 7 则集合的子集中有3个元素的有多少 解题指南 明确组合 排列的定义是解题的关键 若问题是否与顺序有关不明显 则可以尝试写出其中的一个结果进行判断 解析 1 当取出3个数字后 如果改变3个数字的顺序 会得到不同的三位数 此问题不但与取出元素有关 而且与元素的安排顺序有关 是排列问题 排列数为 504 2 取出3个数字之后 无论怎样改变这3个数字的顺序 其和均不变 此问题只与取出元素有关 而与元素的安排顺序无关 是组合问题 组合数为 84 3 2名学生完成的是同一份工作 没有顺序 是组合问题 组合数为 6 4 甲与乙通一次电话 也就是乙与甲通一次电话 无顺序区别 为组合问题 组合数为 10 5 已知集合的元素具有无序性 因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关 是组合问题 组合数为 35 延伸探究 1 本例 5 中将条件改为若从已知集合中选取3个不同的元素 作为一元二次方程ax2 bx c 0的系数 可以得到多少个不同的一元二次方程 解析 是排列问题 选取的3个元素顺序不同时 得到不同的一元二次方程 共有 204个不同的一元二次方程 2 典例 4 中将条件改为从10人中选出3人参加义务劳动 有多少种选法 解析 选出3人参加义务劳动 3人间不存在顺序 因此是组合问题 组合数为 120 规律总结 判断组合与排列的主要依据 补偿训练 1 从甲 乙 丙3名同学中选出2名去参加一项活动 列举出所有的选法 2 从甲 乙 丙3名同学中选出2名去两个乡镇参加社会调查 列举出所有的选法 3 以上两个问题有何区别与联系 区别 联系 解析 1 甲 乙 甲 丙 乙 丙 2 甲 乙 甲 丙 乙 丙 乙 甲 丙 乙 丙 甲 3 区别 前者没有顺序是组合问题 后者是有序问题 联系 后者是先选后排 前者是后者的一个步骤 类型二组合数公式及性质的应用 典例2 1 计算 解题指南 1 根据组合数的性质先化简 再求解 2 将变为从两边化简 使之与左边式子相同即可 2 右边 左边 所以 原式成立 规律总结 组合数性质的应用技巧 1 性质常用于m 时组合数的计算 如 100 可以简化运算 2 性质常用于恒等式变形和证明等式 顺用可将一个组合数拆分为两个的和 为某些项的相互抵消提供方便 逆用则是 合二为一 减少组合数的个数 巩固训练 1 若 则n的解集为 2 计算 3 已知 求n 解析 1 可得n2 11n 12 0 解得 1 n 12 又n n 且n 5 所以n 5 6 7 8 9 10 11 答案 5 6 7 8 9 10 11 2 3 由及组合数性质可知3n 6 4n 2或3n 6 18 4n 2 解得n 8或n 2 而3n 6 18且4n 2 18 即n 4且n n 所以n 8不符合题意 舍去 故n 2 补偿训练 1 解方程 1 2 解析 1 由原方程得x 1 2x 3或x 1 2x 3 13 所以x 4或x 5 又由所以原方程的解为x 4或x 5 2 原方程可化为所以所以所以x2 x 12 0 解得x 4或x 3 经检验 x 4是原方程的解 2 解不等式 解析 因为所以由组合数性质知因为x 1 3 x 2 所以 x 1 x 0 两边同除以 x 1 x 得 所以x 2 3 4 5 类型三 组合的简单应用 典例3 某人决定投资8种股票和4种债券 经纪人向他推荐了12种股票和7种债券 问 此人有多少种不同的投资方式 解题指南 分两步 第一步 从12种股票中选 第2步 从7种债券中选 解析 可分为两步 第一步 从12种股票中选8种股票有种选法 第二步 从7种债券中选4种债券 有种选法 故共有 495 35 17325种投资方式 方法总结 基本组合问题的解法 1 判断是否为组合问题 2 是否分类或分步 3 根据组合相关知识进行求解 巩固训练 1 2017 全国卷 安排3名志愿者完成4项工作 每人至少完成1项 每项工作由1人完成 则不同的安排方式共有 a 12种b 18种c 24种d 36种 解析 选d 由题意4项工作分配给3名志愿者 分配方式只能为 2 1 1 所以安排方式有36种 误区警示 本题易对排列与组合误判 从而导致计算错误 2 现有10名教师 其中男教师6名 女教师4名 1 现要从中选2名去参加会议 有多少种不同的选法 2 选出2名男教师或2名女教师参加会议 有多少种不同的选法 3 现要从中选出男 女教师各2名去参加会议 有多少种不同的选法 解析 1 从10名教师中选2名去参加会议的选法种数 就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数 即 2 可把问题分两类情况 第1类 选出的2名是男教师有种方法 第2类 选出的2名是女教师有种方法 根据分类加法计数原理 共有 15 6 21 种 不同选法 3 从6名男教师中选2名的选法有种 从4名女教师