3.6简单的三角恒等变换.ppt

第六节简单的三角恒等变换 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 2sin2 2cos2 2 2 必备结论教材提炼记一记 1 辅助角公式asinx bcosx sin x 其中sin cos 2 tan 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 整体代入法 数形结合法 2 数学思想 转化化归 函数与方程 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 当 是第一象限角时 2 对任意角 都成立 3 半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的 4 公式中 的取值与a b的值有关 解析 1 错误 在第一象限时 在第一或第三象限 当在第一象限时 当在第三象限时 2 错误 此式子必须使tan有意义且1 cos 0 即 k 且 2k 即 2k 1 k Z 3 正确 由半角公式推导过程可知正确 4 正确 由可知 的取值与a b的值有关 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修4P142T4 2 改编 函数y 2cos2 1的最小正周期为 解析 因为y 2 1 cosx 2 所以函数的最小正周期T 4 答案 4 2 必修4P143B组T2改编 若sin80 m 则用含m的式子表示cos5 解析 由题意 得sin80 cos10 m 又cos10 2cos25 1 所以2cos25 1 m cos25 所以cos5 答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 合肥模拟 已知cos 2 则cos等于 解析 选B 因为cos 2 所以 所以 2 2014 山东高考 函数y sin2x cos2x的最小正周期为 解析 因为y sin2x cos2x sin2x cos2x sin 2x 所以T 答案 考点1利用三角恒等变换化简与证明 典例1 1 2015 枣庄模拟 化简 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 2 证明 cos cos 解题提示 1 可以从统一角入手进行化简 2 联想两角和与差的余弦公式 进行整体变换证明 规范解答 1 方法一 从 角 入手 倍角 单角 原式 sin2 sin2 cos2 cos2 2cos2 1 2cos2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 4cos2 cos2 2cos2 2cos2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 1 方法二 从 角 入手 单角 倍角 原式 cos2 cos2 1 cos2 cos2 cos2 cos2 1 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 答案 2 因为cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin 所以两式相减 得cos cos 2sin sin 令 则所以cos cos 一题多解 解答本例 1 2 还有其他方法吗 解答本题 1 还可以从统一名称和式子的形式的变化入手进行化简 方法一 从 名 入手 异名化同名 原式 sin2 sin2 1 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 方法二 从 形 入手 利用配方法 先对二次项配方 原式 sin sin cos cos 2 2sin sin cos cos cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos 2 2 cos2 2cos2 1 答案 解答本例 2 还可从式子的变形入手进行证明 证明 因为原式右 1 cos cos cos cos 1 cos cos cos cos 2cos 2cos cos cos 左 所以原等式成立 即cos cos 规律方法 1 三角函数式的化简遵循的三个原则 1 一看 角 这是最重要的一环 通过看角之间的差别与联系 把角进行合理的拆分 从而正确使用公式 2 二看 函数名称 看函数名称之间的差异 从而确定使用的公式 常见的有 切化弦 3 三看 结构特征 分析结构特征 可以帮助我们找到变形的方向 常见的有 遇到分式要通分 整式因式分解 二次式配方 等 2 三角函数式化简的方法弦切互化 异名化同名 异角化同角 降幂或升幂 在三角函数式的化简中 次降角升 和 次升角降 是基本的规律 根号中含有三角函数式时 一般需要升次 变式训练 化简 0 解析 原式 因为00 所以原式 cos 答案 cos 加固训练 1 化简 A sin B cos C tan D 解析 选C 原式 2 化简 解析 原式 答案 cos2x 考点2三角恒等变换在实际问题中的应用 典例2 2015 西安模拟 如图 现要在一块半径为1m 圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ 使点P在弧AB上 点Q在OA上 点M N在OB上 设 BOP 平行四边形MNPQ的面积为S 1 求S关于 的函数关系式 2 求S的最大值及相应的 角 解题提示 1 虽然P点变化但OP不变 通过构造与角 所在的直角三角形 将平行四边形的底和高用角 表示 从而求出S关于 的函数关系式 2 利用三角恒等变换先化简 再求S的最大值及相应的 角 规范解答 1 分别过P Q作PD OB于D QE OB于E 则四边形QEDP为矩形 由扇形半径为1m 得PD sin OD cos 在Rt OEQ中 OE QE PD MN QP DE OD OE cos sin S MN PD cos sin sin sin cos sin2 0 互动探究 在本例中若点M与O重合 图形变为如图 记平行四边形ONPQ的面积为S 求S的最大值 解析 如图 过P作PD OB于D 则由扇形半径为1m 得PD sin OD cos 在Rt PND中 因为 PND AOB 所以ND PD sin ON OD ND cos sin S ON PD cos sin sin 易错警示 解答本题有三点容易出错 1 不知平行四边形的面积公式 无从下手 导致不会解答 2 不会化简所求关系式致误 3 忽视 的取值范围致误 规律方法 三角函数应用题的处理方法 1 结合具体图形引进角为参数 利用三角函数的有关公式进行化简 解决最优化问题 2 解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样 先建模 再讨论变量的范围 最后作出结论并回答问题 加固训练 1 2015 吉林模拟 已知直线l1 l2 A是l1 l2之间的一定点 并且A点到l1 l2的距离分别为h1 h2 B是直线l2上一动点 作AC AB 且使AC与直线l1交于点C 则 ABC面积的最小值为 解析 如图 设 ABD 则 CAE AB AC 所以S ABC AB AC 当2 即 时 S ABC的最小值为h1h2 答案 h1h2 2 2015 海口模拟 如图所示 已知OPQ是半径为1 圆心角为的扇形 ABCD是扇形的内接矩形 B C两点在圆弧上 OE是 POQ的平分线 连接OC 记 COE 问 角 为何值时矩形ABCD面积最大 并求最大面积 解析 设OE交AD于M 交BC于N 显然矩形ABCD关于OE对称 而M N均为AD BC的中点 在Rt ONC中 CN sin ON cos sin 所以MN ON OM cos sin 即AB cos sin 又BC 2CN 2sin 故S矩形 AB BC cos sin 2sin 2sin cos 2sin2 sin2 1 cos2 sin2 cos2 因为0 所以0 2 2 故当2 即 时 S矩形取得最大值 此时S矩形 2 考点3三角恒等变换在研究三角函数图象与性质中的应用知 考情利用三角恒等变换将三角函数式化简后研究其图象及性质是高考的热点 在高考中常以解答题的形式出现 重点考查三角函数的值域 最值 单调性 周期 奇偶性 对称性等问题 明 角度命题角度1 利用三角恒等变换研究函数的图象变换 典例3 2014 浙江高考 为了得到函数y sin3x cos3x的图象 可以将函数y sin3x的图象 A 向右平移个单位B 向左平移个单位C 向右平移个单位D 向左平移个单位 解题提示 由函数y Asin x 的图象平移与变换解决 规范解答 选D 因为y sin3x cos3x故只需将y sin3x的图象向左平移个单位即可 命题角度2 利用三角恒等变换研究三角函数的性质 典例4 2014 福建高考 已知函数f x cosx sinx cosx 1 若0 且sin 求f 的值 2 求函数f x 的最小正周期及单调递增区间 解题提示 1 先由平方关系式求出cos 再代入求f x 的值 2 运用降幂公式 辅助角公式进行化简 再利用正弦型函数的性质求解 规范解答 方法一 1 因为0 sin 所以cos 所以f 2 因为f x sinxcosx cos2x 方法二 f x sinxcosx cos2x 悟 技法求函数周期 最值 单调区间的方法步骤 1 利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y Asin x t或y Acos x t的形式 2 利用公式T 0 求周期 3 根据自变量的范围确定 x 的范围 根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值 另外求最值时 根据所给关系式的特点 也可换元转化为二次函数的最值 4 根据正 余弦函数的单调区间列不等式求函数y Asin x t或y Acos x t的单调区间 通 一类1 2013 湖北高考 将函数y cosx sinx x R 的图象向左平移m m 0 个单位长度后 所得到的图象关于y轴对称 则m的最小值是 解析 选B 由已知当m 时 平移后函数为y 2sin x 2cosx 其图象关于y轴对称 且此时m最小 2 2013 江西高考 函数y sin2x 2sin2x的最小正周期T为 解析 因为y sin2x 1 cos2x sin2x cos2x 2sin 2x 所以最小正周期T 答案 3 2014 天津高考 已知函数f x cosx sin x cos2x x R 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在闭区间上的最大值和最小值 解题提示 1 利用三角恒等变换把函数f x 的解析式化为Asin x t的形式 从而求最小正周期 2 根据x的取值范围求最值 解析 1 由已知 有f x cosx 规范解答3三角恒等变换在研究函数中的应用 典例 12分 2013 陕西高考 已知向量a cosx b sinx cos2x x R 设函数f x a b 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在 0 上的最大值和最小值 解题导思研读信息快速破题 规范解答阅卷标准体会规范 1 f x a b cosx sinx cos2x 2分 4分最小正周期T 所以f x 的最小正周期为 6分 8分由正弦曲线y sinx