人教B版 选修22 1.1.1 平均变化率 学案.docx

1.1.1 平均变化率问题学习目标：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念(易混点)自 主 预 习探 新 知1函数的平均变化率(1)函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，其中xx2x1是相对于x1的一个“增量”，yf(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”(2)平均变化率的几何意义设a(x1，f(x1)，b(x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点，函数yf(x)的平均变化率为割线ab的斜率，如图111所示图111思考：x，y的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示 x，y可正可负，y也可以为零，但x不能为零平均变化率可正、可负、可为零2瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(2)函数f(x)在xx0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0x的平均变化率在x0时的极限即limx0 limx0 .3导数的概念函数yf(x)在xx0处的导数就是函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率，记作f(x0)或y| xx0，即f(x0)limx0 .基础自测1思考辨析(1)函数yf(x)在xx0处的导数值与x值的正、负无关( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量( )(3)在导数的定义中，x，y都不可能为零( )提示：(1)由导数的定义知，函数在xx0处的导数只与x0有关，故正确(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误(3)在导数的定义中，y可以为零，故错误答案 (1) (2) (3)2函数yf(x)，自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为( ) af(x0x)bf(x0)xcf(x0)xdf(x0x)f(x0)d yf(x0x)f(x0)，故选d.3若一质点按规律s8t2运动，则在一小段时间2,2.1内的平均速度是( )a4 b4.1 c0.41 d1.1b 4.1，故选b.4函数f(x)x2在x1处的瞬时变化率是_解析 f(x)x2.在x1处的瞬时变化率是limx0 limx0 limx0 limx0 (2x)2.答案 25函数f(x)2在x6处的导数等于_解析 f(6)limx0 limx0 0.答案 0合 作 探 究攻 重 难求函数的平均变化率 已知函数f(x)3x25，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间x0，x0x上的平均变化率. 解 (1)因为f(x)3x25，所以从0.1到0.2的平均变化率为0.9.(2)f(x0x)f(x0)3(x0x)25(3x5)3x6x0x3(x)253x56x0x3(x)2.函数f(x)在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.规律方法 1.求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量xx2x1；第二步，求函数值的增量yf(x2)f(x1)；第三步，求平均变化率.2.求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式.跟踪训练1如图112，函数yf(x)在a，b两点间的平均变化率等于( )图112a1 b1c2d2b 平均变化率为1.故选b.2已知函数yf(x)2x2的图象上点p(1,2)及邻近点q(1x,2y)，则的值为( ) a4b4xc42x2d42xd 42x.故选d.求瞬时速度探究问题1物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2，如何计算物体在1,1t这段时间内的平均速度？提示：s5(1t)2510t5(t)2，105t.2当t趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？提示：当t趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t1时的瞬时速度 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度思路探究 st解 3t，limt0 limt0 (3t)3.物体在t1处的瞬时变化率为3.即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.母题探究：1.(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度解 求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度1t，limt0 (1t)1.物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又(2t01)t.limt0 limt0 (2t01t)2t01.则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.规律方法 求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0).(2)求平均速度.(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，f(s,t)无限趋近于常数v，即为瞬时速度.求函数在某一点处的导数 (1)设函数yf(x)在xx0处可导，且limx0 1，则f(x0)等于( )a1b1c d(2)求函数f(x)x在x1处的导数思路探究 (1)类比f(x0)limx0 求解(2)yx(1)c limx0 limx0 3f(x0)1，f(x0)，故选c.(2)y(1x)x1x，1x1，f(1)limx0 limx0 2.规律方法 求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限跟踪训练3已知f(1)2，则limx0 _. 解析 f(1)2，limx0 limx0 2limx0 2f(1)2(2)4.答案 44求函数y3x2在x1处的导数解 yf(1x)f(1)3(1x)236x3(x)2，63x，f(1)limx0 limx0 (63x)6.当 堂 达 标固 双 基1一物体的运动方程是s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是( )a0.4b2 c0.3d0.2b 2.2物体自由落体的运动方程为s(t)gt2，g9.8 m/s2，若vlimt09.8 m/s，那么下列说法中正确的是( ) a9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率b9.8 m/s是1 s到(1t)s这段时间内的速率c9.8 m/s是物体在t1 s这一时刻的速率d9.8 m/s是物体从1 s到(1t)s这段时间内的平均速率c 结合平均变化率与瞬时变化率可知选项c正确3函数f(x)在x1处的导数为_解析 yf(1x)f(1)1，f(1)limx0 limx0 .答案 4设f(x)在x