人教A版选修11：2.1.1椭圆及其标准方程 课件（61张）.ppt

第二章圆锥曲线与方程2 1椭圆2 1 1椭圆及其标准方程 主题1椭圆的定义1 将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点f1 f2上 用笔尖将细绳拉紧并运动 在纸上能得到怎样的图形 提示 得到一个椭圆 2 在椭圆的形成过程中 有哪些不变的量 提示 细绳的长度不变 即动点到两定点的距离和不变 结论 椭圆的定义把平面内与两个定点f1 f2的距离的和等于 大于 f1f2 的点的轨迹叫做椭圆 这 叫做椭圆的焦点 叫做椭圆的焦距 常数 两个定点 两焦点间的距离 微思考 1 当动点p与两定点f1 f2的距离和满足 pf1 pf2 f1f2 时 点p的轨迹是什么 提示 如图 当 pf1 pf2 f1f2 时 点p在线段f1f2上 所以点p的轨迹是线段f1f2 2 判断一个点的轨迹是否是椭圆 应该满足什么条件 提示 需满足两个条件 一是该点到两个定点的距离的和是常数 二是该常数要大于两定点间的距离 主题2椭圆的标准方程1 根据椭圆的几何特征 如何建立坐标系求椭圆的方程 提示 以两定点f1 f2所在的直线为x轴 f1f2的中点为坐标原点建立坐标系 然后按照求轨迹方程直接法的步骤求出椭圆方程 2 在推导椭圆的标准方程的过程中 如何处理等式中的两个根式 提示 将其中一个根式移到另一端 两边平方然后再次平方即可 结论 椭圆的标准方程 0 c 0 c 微思考 椭圆的标准方程中 参数a b a b 0 与c满足的关系能否用图表示 方程 1与 1有何不同 提示 a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半 a b c的关系如图 当a b 0时 方程 1表示焦点在x轴上的椭圆 方程 1表示焦点在y轴上的椭圆 即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大 预习自测 1 在椭圆的标准方程中 a 6 b 则椭圆的标准方程是 解析 选d 因为题中给出的条件不能确定椭圆的焦点所在的坐标轴 所以椭圆的方程应有两种形式 2 平面内一动点m到两定点f1 f2距离之和为常数2a 则点m的轨迹为 a 椭圆b 圆c 无轨迹d 椭圆或线段或无轨迹 解析 选d 当2a f1f2 时 轨迹为椭圆 当2a f1f2 时 轨迹为线段 当2a f1f2 时 轨迹不存在 3 已知椭圆 1的一个焦点为 2 0 则椭圆的方程是 解析 选d 由题意知 椭圆焦点在x轴上 且c 2 所以a2 2 4 6 因此椭圆方程为 4 已知 1表示焦点在x轴上的椭圆 则m的取值范围为 解析 由题意知0 m2 16 即0 m 4或 4 m 0 答案 4 0 0 4 类型一椭圆的定义 典例1 1 下列说法正确的是 a 已知f1 4 0 f2 4 0 到两点f1 f2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆b 已知f1 4 0 f2 4 0 到两点f1 f2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 c 到点f1 4 0 f2 4 0 的距离之和等于从点 5 3 到f1 f2的距离之和的点的轨迹是椭圆d 到点f1 4 0 f2 4 0 距离相等的点的轨迹是椭圆 2 椭圆上一点p到一个焦点的距离为5 则p到另一个焦点的距离为 解题指南 1 根据椭圆的定义进行验证 2 由椭圆的方程求出a 再利用椭圆的定义 pf1 pf2 2a求解 解析 1 选c 选项a中虽满足到两定点的距离之和大于8 但未指明到两定点距离之和是常数 故轨迹不是椭圆 选项b中这样的点的轨迹不存在 选项c中点 5 3 到f1 f2的距离之和为4 f1f2 适合该条件的点的轨迹是椭圆 选项d中点的轨迹是线段f1f2的垂直平分线 2 由椭圆方程知 a 5 设椭圆的两个焦点分别为f1 f2 令 pf1 5 由椭圆的定义知 pf1 pf2 10 所以 pf2 5 答案 5 方法总结 椭圆定义的双向运用 1 判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数 大于两定点的距离 这一条件的点的轨迹为椭圆 2 求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a 巩固训练 若f1 f2是两个定点 f1f2 6 动点m满足 mf1 mf2 8 则点m的轨迹是 a 椭圆b 直线c 圆d 线段 解析 选a 因为 mf1 mf2 8 f1f2 6 所以点m的轨迹是椭圆 补偿训练 椭圆上的一点m到左焦点f1的距离为2 n是mf1的中点 则 on 等于 解析 设椭圆的右焦点为f2 则由 mf1 mf2 10 知 mf2 10 2 8 又因为点o为f1f2的中点 点n为mf1的中点 所以 on mf2 4 答案 4 类型二定义法求椭圆的标准方程 典例2 已知圆a x 3 2 y2 100 圆a内一定点b 3 0 圆p过b且与圆a内切 求圆心p的轨迹方程 解题指南 根据两圆内切的特点 得出 pa pb 10 根据a b点的坐标 可以判定点p的轨迹方程是以a b为焦点的椭圆 这就把求点p的轨迹方程的问题转化成了求a2 b2的问题 解析 设圆p的半径为r 又圆p过点b 所以 pb r 又因为圆p与圆a内切 圆a的半径为10 所以两圆的圆心距 pa 10 r 即 pa pb 10 大于 ab 所以点p的轨迹是以a b为焦点的椭圆 所以2a 10 2c ab 6 所以a 5 c 3 所以b2 a2 c2 25 9 16 即点p的轨迹方程为 延伸探究 典例中条件改为已知圆a x 3 2 y2 100 圆b x 3 2 y2 4 圆p与圆a内切 与圆b外切 求圆心p的轨迹方程 解析 设圆p的半径为r 则所以 pa pb 12 6 ab 故点p的轨迹是以a b为焦点的椭圆 且所以a 6 b2 27 所以点p的轨迹方程是 1 方法总结 定义法求椭圆的标准方程 1 先根据动点具有的条件 验证是否符合椭圆的定义 即动点到两定点距离之和是否是一常数 且该常数 定值 大于两定点间的距离 2 若符合 则动点的轨迹为椭圆 且两定点间的距离为焦距2c 距离之和是常数2a 从而可以确定椭圆的方程 拓展延伸 定义法是求轨迹方程的一种常用方法 求解时 若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义 则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程 巩固训练 如图 圆c x 1 2 y2 16及点a 1 0 q为圆上一点 aq的垂直平分线交cq于m 求点m的轨迹方程 解析 由垂直平分线性质可知 mq ma 所以 cm ma cm mq cq 所以 cm ma 4 又因为 ac 2 所以m点轨迹为椭圆 由椭圆的定义知 a 2 c 1 所以b2 a2 c2 3 所以所求轨迹方程为 1 类型三待定系数法求椭圆的标准方程 典例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别为 4 0 和 4 0 且椭圆经过点 5 0 2 焦点在y轴上 且经过两个点 0 2 和 1 0 3 经过点a 2 和点b 2 1 解题指南 根据条件设出椭圆的标准方程 代入已知点确定椭圆的系数 解析 1 由于椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 a b 0 因为2a 10 所以a 5 又c 4 所以b2 a2 c2 25 16 9 故所求椭圆的标准方程为 2 由于椭圆的焦点在y轴上 所以设它的标准方程为 a b 0 由于椭圆经过点 0 2 和 1 0 所以故所求椭圆的标准方程为 x2 1 3 方法一 当焦点在x轴上时 设椭圆的标准方程为 a b 0 依题意有故所求椭圆的标准方程为 当焦点在y轴上时 设椭圆的标准方程为 a b 0 依题意有因为a b 0 所以无解 所以所求椭圆的标准方程为 方法二 设所求椭圆的方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为 方法总结 待定系数法的应用策略 1 确定曲线的方程时 若能明确方程的形式 则可设出曲线方程 建立含参数的等式 求出参数的值 再代入所设方程 2 由于椭圆ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 包含焦点在x轴上 ab 两类情况 因此 方法二的处理避免了分类讨论 达到了简化运算的目的 巩固训练 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 经过两点 2 过点 且与椭圆 1有相同的焦点 解析 1 方法一 若焦点在x轴上 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 由已知条件得所以所求椭圆的标准方程为 若焦点在y轴上 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 由已知条件得即a2 4 b2 8 则a2b 0矛盾 舍去 综上 所求椭圆的标准方程为 方法二 设椭圆的一般方程为ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 将两点代入 所以所求椭圆的标准方程为 2 因为所求椭圆与椭圆 1的焦点相同 所以其焦点在y轴上 且c2 25 9 16 设它的标准方程为 1 a b 0 因为c2 16 且c2 a2 b2 故a2 b2 16 又点 在椭圆上 所以即 1 由 得b2 4 a2 20 所以所求椭圆的标准方程为 1 补偿训练 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 焦点在x轴上 且a 4 c 2 2 经过点a 0 2 和b 解析 1 a2 16 c2 4 所以b2 16 4 12