人教B版必修2 2.3.3 直线与圆的位置关系 学案.docx

2.3.3直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题知识点直线与圆的位置关系思考1若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？答案一定由直线与圆的位置关系可得思考2若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？答案当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径梳理直线axbyc0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离ddr代数法：由方程组消元得到一元二次方程的判别式0001若直线与圆有公共点，则直线与圆相交()2如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切()3若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解()类型一直线与圆的位置关系的判断例1求实数m的取值范围，使直线xmy30与圆x2y26x50分别满足：相交；相切；相离解圆的方程化为标准形式为(x3)2y24，故圆心(3,0)到直线xmy30的距离为d，圆的半径为r2.若相交，则dr，即2，所以m2或m2；若相切，则dr，即2，所以m2；若相离，则dr，即2，所以2m2.反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系但有一定的局限性，必须是过定点的直线系跟踪训练1(1)对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是()a相离b相切c相交但直线不过圆心 d相交且直线过圆心(2)过点p(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是_答案(1)c(2)060解析(1)直线ykx1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2y22内，得直线ykx1与圆x2y22一定相交又直线ykx1的斜率存在，则该直线必不过圆心(0,0)，故选c.(2)当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2y21没有公共点，故可设直线y1k(x)，即kxyk10，圆心到直线的距离1，解得0k，即0tan .060.类型二切线问题例2(1)若圆c：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()a2 b3 c4 d6(2)过点a(1,4)作圆(x2)2(y3)21的切线l，求切线l的方程为_答案(1)c(2)y4或3x4y130解析(1)因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2d2r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题由题意知，圆心c(1,2)，半径r，点(a，b)在直线yx3上，所以点(a,0)与圆心的距离的最小值即圆心到直线yx3的距离d，易求d3，所以切线长的最小值为4.(2)(12)2(43)2101，点a在圆外当直线l的斜率不存在时，l的方程是x1，不满足题意设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y4k(x1)，即kxy4k0.圆心(2,3)到切线l的距离为1，解得k0或k，因此，所求直线l的方程为y4或3x4y130.反思与感悟(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果k0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为yy0或xx0.(2)过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法设切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即得切线方程当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为xx0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条，一般不用联立方程组的方法求解(3)求切线长最小值的两种方法(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题跟踪训练2(1)圆x2y24在点p(，1)处的切线方程为()a.xy20 b.xy40c.xy40 d.xy20(2)点p是直线2xy100上的动点，pa，pb与圆x2y24分别相切于a，b两点，则四边形paob面积的最小值为_答案(1)c(2)8解析(1)()2(1)24，点p在圆上切点与圆心连线的斜率为，切线的斜率为，切线方程为y1(x)，即xy40.(2)如图所示，因为s四边形paob2spoa，又oaap，所以s四边形paob2|oa|pa|22.为使四边形paob面积最小，当且仅当|op|达到最小，即点o到直线2xy100的距离|op|min2.故所求最小值为28.类型三弦长问题例3(1)过圆x2y28内的点p(1,2)作直线l交圆于a，b两点若直线l的倾斜角为135，则弦ab的长为_答案解析方法一(交点法)由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.由解得a，b.|ab|.方法二(弦长公式)由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.由消去y，得2x22x70.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，x1x21，x1x2.|ab|.方法三(几何法)由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10，圆心o(0,0)到直线l的距离为d，则有|ab|22 .(2)如果一条直线经过点m且被圆x2y225所截得的弦长为8，求这条直线的方程解圆x2y225的半径r为5，直线被圆所截得的弦长l8，于是弦心距d3.因为圆心o(0,0)到直线x3的距离恰为3，所以直线x3符合题意设直线yk(x3)也符合题意，即圆心到直线kxy0的距离等于3，于是3，解得k.故直线的方程为3x4y150.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x3和3x4y150.反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点a，b的坐标，根据两点间的距离公式 |ab|求解(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|x1x2| |y1y2|(直线l的斜率k存在)(3)几何法：如图，直线与圆c交于a，b两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|ab|，则有2d2r2，即|ab|2.通常采用几何法较为简便跟踪训练3(1)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_答案2解析设点a(3,1)，易知圆心c(2,2)，半径r2.当弦过点a(3,1)且与ca垂直时为最短弦，|ca|.半弦长为.最短弦的长为2.(2)圆心为c(2，1)，截直线yx1的弦长为2的圆的方程为_答案(x2)2(y1)24解析设圆的半径为r，由条件，得圆心到直线yx1的距离d.由题意知，半弦长为.r2224，得r2.圆的方程为(x2)2(y1)24.1直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是()a过圆心 b相切c相离 d相交但不过圆心答案d解析圆心(1，1)到直线3x4y120的距离d0)相切，则m的值为()a0或2 b2 c. d无解答案b解析由圆心到直线的距离d，解得m2.3设a，b为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|ab|等于()a1 b. c. d2答案d解析直线yx过圆x2y21的圆心c(0,0)，则|ab|2.4过点p(1,3)引圆x2y29的切线的长是_答案1解析点p到原点o的距离为|po|，r3，切线长为1.5过原点的直线与圆x2y22x4y40相交所得弦的长为2，则该直线的方程为_答案2xy0解析设所求直线方程为ykx，即kxy0.由于直线kxy0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于 0，即圆心(1,2)位于直线kxy0上于是有k20，即k2，因此所求直线方程是2xy0.1判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷2一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l|x1x2|.3研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条一、选择题1如果a2b2c2，那么直线axbyc0与圆x2y21的位置关系是()a相交 b相切c相离 d相交或相切答案c解析圆的半径r1，圆心(0,0)到直线axbyc0的距离d1.2直线l与圆x2y22x4ya0(a3)相交于a，b两点，若弦ab的中点为c(2,3)，则直线l的方程为()axy50 bxy10cxy50 dxy30答案a解析由圆的一般方程，可得圆心为m(1,2)由圆的性质易知，点m(1,2)与c(2,3)的连线与弦ab垂直，故有kabkmc1kab1.故直线ab的方程为y3x2，整理得xy50.3若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为()a. b1 c. d.答案d解析圆心到直线的距离d.设弦长为l，圆的半径为r，则2d2r2，即l2.4在圆x2y22x6y0内，过点e(0,1)的最长弦和最短弦分别为ac和bd，则四边形abcd的面积为()a5 b10 c15 d20答案b解析圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)210，由圆的性质可知，最长弦|ac|2，最短弦bd恰以e(0,1)为中点，且与ac垂直设点f为其圆心，坐标为(1,3)，故|ef|，|bd|22，s四边形abcd|ac|bd|10.5一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()a或 b或c或 d或答案d解析由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或k，故选d.6圆x2y22x4y30上到直线l：xy10的距离为的点有()a1个 b2个c3个 d4个答案c解析圆的一般方程化为标准形式为(x1)2(y2)28.圆心坐标为(1，2)，圆的半径为2，圆心到直线l的距离为，因此和l平行的圆的直径的两端点及与l同侧且与l平行的圆的切线的切点到l的距离都为.二、填空题7已知直线axy20与圆心为c的圆(x1)2(ya)24相交于a，b两点，且abc为等边三角形，则实数a_.答案4解析圆心c(1，a)到直线axy20的距离为.因为abc为等边三角形，所以|ab|bc|2，所以21222，解得a4.8已知圆c过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，则圆c的标准方程为_答案(x3)2y24解析设圆心坐标为(x0,0)(x00)由于圆过点(1,0)，则半径为r|x01|，圆心到直线xy10的距离为d.由弦长为2可知，2(x01)22，解得(x01)24，x012，x03或x01(舍去)故圆心坐标为(3,0)，半径为2，所求圆的方程为(x3)2y24.9由直线yx1上的一点向圆x26xy280引切线，则切线长的最小值为_答案解析切线长的最小值在直线yx1上的点与圆心的距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d2，圆的半径为1，故切线长的最小值为.10直线l1：yxa和l2：yxb将单位圆c：x2y21分成长度相等的四段弧，则a2b2_.答案2解析由题意，得直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即a21，同理可得b21，则a2b22.三、解答题11已知圆c和y轴相切，圆心c在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆c的方程解设圆心坐标为(3m，m)，圆c和y轴相切，圆c的半径为3|m|，圆心到直线yx的距离为|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m272m2，m1.所求圆c的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.12已知点m(3,1)，圆c：(x1)2(y2)24.(1)求过点m(3,1)的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相交于a，b两点，且弦ab的长为2，求a的值解(1)圆c的方程(x1)2(y2)24，所以圆心c(1,2)，半径为2.当切线斜率存在时，设切线方程是y1k(x3)，即kxy13k0.由d2，得k，切线方程为3x4y50.当过点m的直线斜率不存在时，直线方程为x3，与圆c相切，符合题意所以过点m的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)因为点c到直线l的距离为 1，所以1，所以a.13已知圆c：x2(y1)25，直线l：mxy1m0.(1)求证：对任意mr，直线