人教A版 选修12 复数代数形式的加减运算及其几何意义 学案.docx

复数代数形式的加减运算及其几何意义 核心必知 1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材p56p57的内容，回答下列问题(1)设z1abi，z2cdi是任意两个复数，则z1z2为何值？提示：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)对于复数z1，z2，z3，关系式z1z2z2z1和(z1z2)z3z1(z2z3)成立吗？提示：成立(3)设(a，b)，(c，d)分别与复数z1abi，z2cdi对应，如图所示则，z1z2各为何值？它们之间有什么对应关系？与z1z2之间又有什么关系？提示：(ac，bd)，z1z2(ac)(bd)i，故是复数z1z2所对应的平面向量是复数z1z2所对应的平面向量2归纳总结，核心必记(1)复数的加、减法运算法则设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么，z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i，z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)复数加法的运算律对任意z1，z2，z3c，有交换律：z1z2z2z1；结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)(3)复数加、减法的几何意义如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，以oz1，oz2为邻边作平行四边形，则与z1z2对应的向量是，与z1z2对应的向量是.问题思考(1)在实数范围内ab0ab恒成立，在复数范围内是否有z1z20z1z2恒成立呢？提示：若z1，z2r，则z1z20z1z2成立否则z1z20z1z2.如z11i，z2i，虽然z1z210，但不能说1i大于i.(2)复数|z1z2|的几何意义是什么？提示：表示复数z1，z2对应的两点z1与z2间的距离 课前反思(1)复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？ ；(2)复数的加、减法的几何意义是什么？ . 思考 若z1abi，z2cdi，则z1z2，z1z2为何值？名师指津：z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.讲一讲1计算：(1)(23i)(5i)；(2)(1i)(1i)；(3)(abi)(2a3bi)3i(a，br)尝试解答 (1)(23i)(5i)(25)(31)i32i.(2)(1i)(1i)(11)()i2i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i. (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算 练一练1计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)(2i).解：(1)(12i)(34i)(56i)(135)(246)i18i.(2)(2i)i1i. 讲一讲2已知平行四边形oabc的三个顶点o，a，c对应的复数分别为0,32i，24i.(1)求表示的复数；(2)求表示的复数；(3)求b点对应的复数尝试解答 (1)，表示的复数为(32i)，即32i.(2)，表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，表示的复数为(32i)(24i)16i.即b点对应的复数为16i. 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数注意向量ab对应的复数是zbza(终点对应的复数减去起点对应的复数) 练一练2复平面内三点a、b、c，a点对应的复数为2i，向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，求点c对应的复数解：对应的复数为12i，对应的复数为3i，对应的复数为(3i)(12i)23i.又，c点对应的复数为(2i)(23i)42i. 思考 在复平面内，z1，z2对应的点分别为a，b，z1z2对应的点为c，o为坐标原点，则(1)四边形oacb是什么四边形？提示：平行四边形(2)若|z1z2|z1z2|，则该四边形oacb的形状是什么？提示：矩形(3)若|z1|z2|，则四边形oacb的形状是什么？提示：菱形(4)若|z1|z2|，且|z1z2|z1z2|，则四边形oacb又是什么形状？提示：正方形讲一讲3已知zc，且|z34i|1，求|z|的最大值与最小值尝试解答 由于|z34i|z(34i)|1，所以在复平面上，复数z对应的点z与复数34i对应的点c之间的距离等于1，故复数z对应的点z的轨迹是以c(3,4)为圆心，半径等于1的圆而|z|表示复数z对应的点z到原点o的距离，又|oc|5，所以点z到原点o的最大距离为516，最小距离为514.即|z|max6，|z|min4. (1)|zz0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式(2)|zz0|r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解 练一练3设z1，z2c，已知|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.解：法一：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，由题设知a2b21，c2d21，(ac)2(bd)22，又(ac)2(bd)2a22acc2b22bdd2，可得2ac2bd0.|z1z2|2(ac)2(bd)2a2c2b2d2(2ac2bd)2，|z1z2|.法二：作出z1、z2对应的向量oz1、oz2，使oz1oz2oz.|z1|z2|1，又oz1、oz2不共线(若oz1、oz2共线，则|z1z2|2或0，与|z1z2|矛盾)平行四边形oz1zz2为菱形又|z1z2|，z1oz290，即四边形oz1zz2为正方形，故|z1z2|. 课堂归纳感悟提升 1本节课的重点是复数的加法和减法运算，难点是复数加、减法运算的几何意义及其应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)复数的加法、减法运算，见讲1；(2)复数加法、减法运算的几何意义，见讲2；(3)复数加法、减法运算几何意义的应用，见讲3.3对复数的加法、减法运算应注意以下几点：(1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立实数的移项法则在复数中仍然成立(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数 课下能力提升(九) 学业水平达标练 题组1 复数的加、减运算1复数(1i)(2i)3i等于( )a1i b1ici di解析：选a (1i)(2i)3i(12)(113)i1i.2若z12i，z23ai(ar)，复数z1z2所对应的点在实轴上，则a( )a2 b2 c1 d1解析：选c z12i，z23ai，z1z2(23)(1a)i5(1a)i.又z1z2所对应的点在实轴上，故1a0，即a1.3设z1x2i，z23yi(x，yr)，且z1z256i，则z1z2_.解析：z1z256i，(x2i)(3yi)56i，即z122i，z238i，z1z2(22i)(38i)110i.答案：110i4计算：(1)(12i)(2i)(2i)(12i)；(2)(i2i)|i|(1i)解：(1)原式(13i)(2i)(12i)(32i)(12i)2.(2)原式(1i)(1i)1i11i12i.题组2 复数加、减运算的几何意义5已知z13i，z215i，则复数zz2z1对应的点位于( )a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析：选b zz2z115i(3i)(13)(51)i24i.6在复平面内，o是原点，对应的复数分别为2i，32i,15i，那么对应的复数为_解析：()，对应的复数为2i(32i)(15i)(231)(125)i(44i)44i.答案：44i7在复平面内，复数1i与13i分别对应向量和，其中o为坐标原点，则| |_.解析：由题意，对应的复数为(13i)(1i)2i，| |2.答案：28复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为a，b，c，设正方形的第四个顶点d对应的复数为xyi(x，yr)因为，所以对应的复数为(xyi)(12i)(x1)(y2)i，因为，所以对应的复数为(12i)(2i)13i.因为，所以它们对应的复数相等，即解得故点d对应的复数为2i.题组3 复数加、减运算几何意义的应用9若|z1|z1|，则复数z对应的点z( )a在实轴上 b在虚轴上c在第一象限 d在第二象限解析：选b 设zxyi(x，yr)，由|z1|z1|得(x1)2y2(x1)2y2，化简得：x0.10a，b分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，o是原点，若|z1z2|z1z2|，则三角形aob一定是( )a等腰三角形 b直角三角形c等边三角形 d等腰直角三角形解析：选b 根据复数加(减)法的几何意义，知以oa，ob为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形oab为直角三角形能力提升综合练1已知z56i34i，则复数z为( )a420i b210ic820i d220i解析：选b z34i(56i)(35)(46)i210i.2设f(z)z，z134i，z22i，则f(z1z2)等于( )a13i b211ic2i d55i解析：选d z134i，z22i，z1z2(34i)(2i)55i，又f(z)z，f(z1z2)z1z255i.3复数zxyi(x，yr)满足条件|z4i|z2|，则2x4y的最小值为( )a2 b4 c4 d16解析：选c 由|z4i|z2|，得|x(y4)i|x2yi|，x2(y4)2(x2)2y2，即x2y3，2x4y2x22y224，当且仅当x2y时，2x4y取得最小值4.4abc的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点是abc的( )a外心 b内心c重心 d垂心解析：选a 设复数z与复平面内的点z相对应，由abc的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|zz1|zz2|zz3|可知点z到abc的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点z即为abc的外心5已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(ar)，且z1z2为纯虚数，则a_.解析：z1z2(a2a2)(a4a22)i(ar)为纯虚数，解得a1.答案：16若复数z满足z1cos isin ，则|z|的最大值为_解析：z1cos isin ，z(1cos )isin ，|z|2.答案：27已知z1(3xy)(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yr)，若z1z2132i，求z1，z2.解：z1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i(3xy)(4y2x)(y4x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i.又z1z2132i，(5x3y)(x4y)i132i.解得z1(321)(142)i59i.z24(1)22523(1)i87i.8在平行四边形abcd中，已知，对应的复数分别为z135i，z212i.(1)求对应的复数；(2)求对应的复数；(3)求平行四边形abcd的面积 第2课时 复数代数形式的乘除运算 核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材p58p60的内容，回答下列问题(1)复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似于多项式相乘？提示：是(2)观察下列三组复数：z12i，z22i；z134i，z234i；z14i，z24i.每组复数中的z1与z2有什么关系？提示：实部相等，虚部互为相反数2归纳总结，核心必记(1)复数的乘法法则设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3c，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3(3)共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数通常记复数z的共轭复数为，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数(4)复数的除法法则设z1abi，z2cdi，则i(cdi0)问题思考(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系？提示：复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似，只要在所得的结果中把i2换成1，并且把实部和虚部分别合并即可(2)复数z1abi与z2abi(a，br)有什么关系？z1z2为何值？提示：z1与z2的实部相同，虚部互为相反数，z1z2a2b2.(3)两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？提示：若zabi(a，br)，则abi，则z2ar.因此，和一定是实数；而z2bi.当b0时，两共轭复数的差是实数，而当b0时，两共轭复数的差是纯虚数(4)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？提示：|z1|z2|.(5)复数的除法，其实质是分母实数化，即把分子和分母同乘以一个什么样的数？提示：进行复数的除法运算时，分子、分母同乘以分母的共轭复数 课前反思(1)复数的乘法和除法运算法则各是什么？ ；(2)复数乘法的运算律有哪些？ ；(3)共轭复数的定义是什么？ . 讲一讲1计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)3(1i)；(3)(23i)(12i)；(4).尝试解答 (1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2)3(1i)(1i)(1i)3ii.(3)(23i)(12i)i.(4)法一：2i.法二：ii2i. 复数乘除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似 练一练1计算：(1)(13i)(34i)；(2)(1i)2.解：(1)(13i)(34i)34i9i12i2913i.(2)(1i)22i2i2i2ii2ii. 思考 若zabi(a，br)，则，z各为何值？名师指津：abi，za2b2.讲一讲2(1)若z，则复数( )a2i b2ic2i d2i(2)如图，在复平面内，点a表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )aa bbcc dd(3)复数z1i，为z的共轭复数，则zz1( )a2i bici d2i尝试解答 (1)z2i，则复数2i.(2)因为xyi的共轭复数为xyi，故选b.(3)依题意得zz1(1i)(1i)(1i)1i.答案 (1)d (2)b (3)b 共轭复数的求解与应用(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求.(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设zabi(a，br)，则abi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解 练一练2已知复数z1i，复数z的共轭复数1i，求实数a、b使az2b(a2z)2.解：z1i，1i，az2b(a2b)(a2b)i，(a2z)2(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i.a、b都是实数，由az2b(a2z)2，得解得或 讲一讲3已知1i是方程x2bxc0的一个根(b，c为实数)(1)求b，c的值；(2)试判断1i是否是方程的根思路点拨 (1)将1i代入方程，然后利用复数相等的充要条件求b，c的值；(2)将1i代入方程x2bxc0，若方程成立，则1i是方程的根，否则就不是尝试解答 (1)因为1i是方程x2bxc0的根，(1i)2b(1i)c0，即(bc)(2b)i0.得b2，c2.(2)将方程化为x22x20，把1i代入方程左边x22x2(1i)22(1i)20，显然方程成立，1i也是方程的一个根 解决复数方程问题的方法与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解根与系数的关系仍适用，但判别式“”不再适用 练一练3已知关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实根，求这个实根及实数k的值解：设xx0是方程的实根，代入方程并整理得(xkx02)(2x0k)i0，由复数相等的充要条件得解得或方程的实根为x或x，相应的k值为k2或k2. 课堂归纳感悟提升 1本节课的重点是复数的乘除运算及共轭复数问题，难点是复数的除法运算和解复数方程问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)复数的乘除运算，见讲1；(2)共轭复数的有关问题，见讲2；(3)复数范围内的方程根问题，见讲3.课下能力提升(十)学业水平达标练 题组1 复数的乘除运算1已知i是虚数单位，则(1i)(2i)( )a3i b13ic33i d1i解析：选b 按照复数乘法运算法则，直接运算即可(1i)(2i)13i.2i是虚数单位，复数( )a2i b2ic2i d2i解析：选b 2i.3若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为( )a35i b35i c35i d35i解析：选a z35i.4(1)(1i)(32i)(22i)2；(2)；(3).解：(1)原式(32i3i2)(48i4)(5i)8i57i.(2)原式(1)(1)ii(1)i.(3)原式2.题组2 共轭复数5复数z的共轭复数是( )a2i b2i c1i d1i解析：选d z1i，1i.6若x2yi和3xi互为共轭复数，则实数x与y的值分别是_，_.解析：x2yi和3xi互为共轭复数，解得答案：1 17已知zc，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.解：设zabi(a，br)，则abi，(a，br)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解