苏教版必修一 第1章1.2子集、全集、补集 学案.doc

12子集、全集、补集1了解集合之间包含关系的意义2理解子集、真子集的概念3了解全集的意义，理解补集的概念1子集(1)如果集合a的任意一个元素都是集合b的元素(若aa，则ab)，则称集合a是集合b的子集，记为ab(或ba)读作“集合a包含于集合b”或“集合b包含集合a”(2)ab可用venn图表示为：(3)根据子集的定义，我们知道aa，也就是说任何集合是它本身的子集(4)对于空集，我们规定a，即空集是任何集合的子集(其中a为任意集合，包含)“”与“”的区别符号“”表示元素与集合之间的从属关系，即个体与总体之间的关系；而符号“”表示集合与集合之间的包含关系，即部分与总体之间的关系如00，但不能写成00，但，此时式子左边的“”表示一个元素，又，此时式子左边的“”表示空集，它是任何一个集合的子集【做一做1】1,3_1,3,5,6，x|x是菱形_x|x是正方形(填“”或“”)答案：2真子集(1)如果ab，并且ab，这时称集合a是集合b的真子集，记为ab(或ba)读作“a真包含于b”或“b真包含a”如：11,2,3(2)ab可用venn图表示为：(3)根据真子集的定义，我们知道空集是任何非空集合的真子集，即a(其中a为任意非空集合，不包含)ab有三种可能：a是；a是b的一部分，即ab；a与b是同一集合【做一做2】用适当的符号表示下列各组对象之间的关系(1)0_；(2)0_0,1；(3)0,1_1,0；(4)0,1_0,1，1答案：(1)(2)(3)(4)3补集、全集(1)设as，由s中不属于a的所有元素组成的集合称为s的子集a的补集，记为sa(读作“a在s中的补集”)，即sax|xs，且xa(2)sa可用下图中的阴影部分表示(3)如果集合s中包含我们所要研究的各个集合，这时s可以看做一个全集，全集通常记作u在有关补集的运算中，若元素有有限个，则可通过画venn图来求之；若元素有无限个，如不等式解集的补集，则可通过画数轴而求之【做一做31】已知全集ux|x3，则集合ax|x5的补集ua_答案：x|3x5【做一做32】已知全集u不大于10的正整数，写出集合ax|x2n，nn ，n5的补集ua_答案：1,3,5,7,91对真子集的理解剖析：(1)集合a是集合b的真子集的前提是集合a必须是集合b的子集(2)在集合b中至少有一个元素不在集合a中(3)空集是任何非空集合的真子集(4)真子集也具有传递性，即若集合c是集合b的真子集，集合b是集合a的真子集，则集合c是集合a的真子集(5)任何一个集合是它本身的子集，而不是它本身的真子集2对补集与全集概念的理解剖析：(1)全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究的问题而异例如在研究实数问题时，常常把实数集r看做全集，而在研究平面几何问题时，整个平面可以看做一个全集(2)补集必须要有全集的限制，即必须在全集的基础上才能够求得补集，同一个集合在不同全集下的补集是不同的例如，设集合a1,2,3，若全集u1,2,3,4,5,6,7，则ua4,5,6,7；若全集u1,2,3,4,5,8,9,10，则ua4,5,8,9,10(3)补集既是集合之间的一种关系，又是集合的一种运算，利用定义可直接求出已知集合的补集，应注意补集符号的书写(4)求补集必须做到了解“是什么”“为什么”“怎样做”“是什么”即全集是什么；“为什么”即要了解补集是为了求什么的运算；“怎样做”是在求补集时，如何去求“剩余元素”的集合题型一 子集的概念【例1】已知集合a1,2，b1,2,3,4,5，且amb，写出满足上述条件的集合m：_解析：要解决这个问题，关键是要搞清满足条件amb的集合m是由哪些元素组成的am，m中一定含有a的全部元素1,2，且至少含有一个不属于a的元素又mb，m中的元素除了含有元素1,2外，还有元素3,4,5中的1个、2个或3个故求m的问题转化为研究集合3,4,5的非空子集的问题，显然所求集合m有2317(个)，按元素的多少把它们一一列举出来即可答案：1,2,3、1,2,4、1,2,5、1,2,3,4、1,2,3,5、1,2,4,5、1,2,3，4,5反思：求有限集的子集个数问题，有以下结论：结论1：设集合aa1，a2，an(nn )，则集合a的子集个数为2n；非空子集个数为2n1；真子集个数为2n1；非空真子集个数为2n2结论2：设m，nn ，mn，ba1，a2，an，则：满足条件a1，a2，amab的集合a的个数是2nm；满足条件a1，a2，amab的集合a的个数是2nm1；满足条件a1，a2，amab的集合a的个数是2nm1；满足条件a1，a2，amab的集合a的个数是2nm2【例2】设集合a1,1，集合bx|x22axb0，若b，ba，求a，b的值分析：由b，ba，可见b是a的非空子集而a的非空子集有三个：1、1和1,1所以b要分三种情况讨论解：由ba，知b中的所有元素都属于集合a又b，故集合b有三种情况：b1，b1或b1,1当b1时，bx|x22x10，故a1，b1；当b1时，bx|x22x10，故ab1；当b1,1时，bx|x210，故a0，b1综上所述，可知a，b的值为或或反思：利用分类讨论的思想，考虑到集合b的所有可能的情况，这是处理集合与其子集之间关系的常用方法题型二 补集的概念及运算【例3】已知全集u1,3，x33x22x和它的子集a1，|2x1|，如果ua0，则x的值是多少？分析：思路一：由ua0求得x的值，再验证其是否符合隐含条件au以及是否满足集合元素的互异性思路二：充分挖掘au,0u,0a这些隐含条件，利用集合的性质直接列方程组解题解法一：由ua0，得0u，但0a，u0，1,3x33x22x0解得x10，x21，x32当x10时，|2x11|1，不满足集合元素的互异性；当x21时，|2x21|3,3u；当x32时，|2x31|5,5u因此所求的x的值为1解法二：由已知，有0u，且0a，因此解得x1反思：本题易错点在于不能充分挖掘补集的含义找出集合a、ua与全集u的关系，另外易忽略集合中元素的互异性，不能检验结论的正确性题型三 巧用数形结合思想【例4】已知集合ax|x3，bx|xa(1)若ab，求a的取值范围；(2)若ba，求a的取值范围；(3)若rarb，求a的取值范围分析：解与不等式有关的集合问题，通常可以借助数轴来进行探究解：(1)因为ab，所以a是b的子集，如图，可得a3(2)因为ba，所以b是a的子集，如图，可得a3(3)因为rax|x3，rbx|xa，rarb，所以ra是rb的真子集，如图，可得a3反思：本题第(3)小题rarb等价于ab，这可从venn图来判断对于补集来说，下列结论必须记牢：s(sa)a，ss，ss1已知集合m1,1，则满足nm的集合n的个数是_解析：若集合m中的元素有n个，则集合m的子集个数为2n答案：42下列四种说法：0；空集没有子集；任何一个集合必有两个或两个以上的子集；空集是任何一个集合的子集其中正确的个数为_解析：只有正确答案：13已知集合mx|5x10，集合px|xm1，且mp，则实数m的取值范围是_解析：由题意得m110，所以m9答案：m9已知全集u2,0,3a2，u的子集p2，a2a2，up1，求实数a的值分析：根据补集的定义及元素的互异性列出方程组，然后解得a的