人教A版选修41 第2讲 3 圆的切线的性质及判定定理 学案.doc

三圆的切线的性质及判定定理1掌握切线的性质定理及其推论，并能解决有关问题(重点、难点)2掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切(易错、易混点)基础初探教材整理1切线的性质定理及推论阅读教材p30倒数第2行以上部分，完成下列问题1性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径如图231，已知ab切o于点a，则oaab.图2312推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点3推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心ab是o的切线，能确定cdab的条件是()aocdbcd过切点cocd，且cd过切点dcd是o的直径【解析】由切线的性质定理知，选项c正确【答案】c教材整理2切线的判定定理阅读教材p30p31，完成下列问题判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线下列说法：与圆有公共点的直线是圆的切线；垂直于圆的半径的直线是圆的切线；与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线其中正确的有() 【导学号：07370037】abcd【解析】根据切线的定义及判定定理知正确【答案】c质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型圆的切线性质的应用如图232所示，已知ab是o的直径，直线cd与o相切于点c，ac平分dab，adcd.图232(1)求证：ocad；(2)若ad2，ac，求ab的长【精彩点拨】(1)要证ocad，只需证明occd.(2)利用adcacb可求得【自主解答】(1)证明：如图所示，连接bc.cd为o的切线，occd.又adcd，ocad.(2)ac平分dab，daccab.ab为o的直径，acb90.又adcd，adc90，adcacb.，ac2adab.ad2，ac，ab.1利用圆的切线的性质来证明或进行有关运算时，常用连接圆心与切点的半径与切线垂直这一理论产生垂直关系2常作的辅助线(1)连接切点与圆心的半径(2)构造直径所对的圆周角再练一题1如图233，已知ad为o的直径，b为ad延长线上一点，bc与o切于c点，a30.图233求证：(1)bdcd；(2)aocbdc. 【证明】(1)因为ad为o的直径，所以acd90.又因为a30，oaocod，所以aco30，odcocd60，又因为bc与o切于c点，所以ocb90，所以bcd30，所以b30，所以bcdb，所以bdcd.(2)因为aacobcdb30，所以acbc，在aoc和bdc中，所以aocbdc.圆的切线性质和判定定理的综合应用如图234，ab为o的直径，d是的中点，deac交ac的延长线于e，o的切线bf交ad的延长线于点f. 【导学号：07370038】图234(1)求证：de是o的切线；(2)若de3，o的半径为5，求bf的长【精彩点拨】(1)利用圆的切线判定定理证明(2)作dgab于g，利用adgafb求解【自主解答】(1)证明：连接od，d是中点，12.oaod，23，13，odae.deae，deod，即de是o的切线(2)过d作dgab，12，dgde3.在rtodg中，og4，ag459.dgab，fbab，dgfb，adgafb，bf.1解答本题(2)的关键是作出辅助线dgab于g，然后利用三角形相似求解2对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果再练一题2如图235，已知a是 o上一点，半径oc的延长线与过点a的直线交于b点，ocbc，acob.图235(1)求证：ab为o的切线；(2)若acd45，oc2，求弦cd的长【解】(1)证明：如图，连接oa，ocbc，acob，ocbccaoa，aco为等边三角形，o60，b30，oab90，ab为o的切线(2)作aecd于点e，o60，d30.又acd45，acoc2，在rtace中，ceae，在rtade中，d30，ad2，de.cddece.探究共研型圆的切线的判定探究判定直线与圆相切共有哪几种方法？【提示】判定直线与圆相切共有三种方法：(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线如图236，ab是o的直径，ae平分baf交o于点e，过e作直线与af垂直，交af的延长线于点d，且交ab的延长线于点c.求证：cd是o的切线图236【精彩点拨】利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：过半径的外端；该直线与某一条半径所在的直线垂直【自主解答】如图，连接oe.oaoe，12.又ae平分baf，23，13，oead.adcd，oecd.cd与o相切于点e，即cd是o的切线1解答本题的关键是证明oecd，而已知adcd，故只需证明oead.2判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”再练一题3(2016郑州一模)如图237，已知ab是o的直径，bc是o的切线，切点为b，oc平行于弦ad，求证：dc是o的切线图237【证明】连接od.因为oaod，所以12.因为adoc，所以13，24，所以34.在obc和odc中，obod，34，ococ，所以obcodc，所以obcodc.因为bc是o的切线，所以obc90，所以odc90，所以dc是o的切线构建体系1如图238，ab是o的直径，bc是o的切线，ac交o于d，ab6，bc8，则bd等于()图238a4b4.8c5.2d6【解析】ab是o的直径，bdac.bc是o的切线，abbc.ab6，bc8，ac10.bd4.8.【答案】b2.如图239所示，直线l与o相切，p是l上任一点，当opl时，则() 【导学号：07370039】图239ap不在o上bp在o上cp不可能是切点dop大于o的半径【解析】由切线性质定理的推论1，经过圆心o垂直于切线l的直线必过切点，故p为切点，应选b.【答案】b3如图2310，ap为圆o的切线，p为切点，oa交圆o于点b，若a40，则apb等于()图2310a25b20c40d35【解析】如图，连接op，ap为圆o的切线，opa90，a40，aop904050.opob，opb(18050)65.apbopaopb906525. 【答案】a4如图2311，o的半径为3 cm，b为o外一点，ob交o于点a，aboa，动点p从点a出发，以 cm/s的速度在o上按逆时针方向运动一周回到点a立即停止当点p运动的时间t为_s时，bp与o相切图2311【解析】连接op.当oppb时，bp与o相切因为aboa，oaop，所以ob2op，又因为opb90，所以b30，所以o60.因为oa3 cm，所以，圆的周长为6，所以点p运动的距离为或65.所以当t1 s或5 s时，bp与o相切【答案】1或55.如图2312，ab和bc分别与圆o相切于点d，c，ac经过圆心o，且bc2oc.求证：ac2ad.图2312【证明】连接od.因为ab和bc分别与圆o相切于点d，c，所以adoacb90.又因为aa，所以rtadortacb，所以.又bc2oc2od，故ac2ad.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1ab是o的切线，在下列给出的条件中，能判定abcd的是()aab与o相切于直线cd上的点cbcd经过圆心occd是直径dab与o相切于c，cd过圆心o【解析】圆的切线垂直于过切点的半径或直径【答案】d2已知o的直径ab与弦ac的夹角为30，过c点的切线pc与ab的延长线交于p，pc5，则o的半径是()a.b.c10d5【解析】如图，连接oc，pac30，由圆周角定理知，poc2pac60，由切线性质知ocp90.在rtocp中，tanpoc.oc.【答案】a3如图2313，cd切o于b，co的延长线交o于a，若c36，则abd的度数是()图2313a72b63c54d36【解析】连接ob.cd为o的切线，obc90.c36，boc54.又boc2a，a27，abdac273663.【答案】b4.如图2314所示，o是正abc的内切圆，切点分别为e，f，g，点p是弧eg上的任意一点，则epf()图2314a120 b90c60d30【解析】如图所示，连接oe，of.oeab，ofbc，beobfo90，eofabc180，eof120，epfeof60.【答案】c5如图2315所示，ac切o于d，ao的延长线交o于b，且abbc，若adac12，则aoob()图2315a21 b11c12d11.5【解析】如图所示，连接od，oc，则odac.abbc，odcobc90.obod，ococ，cdocbo，bcdc.，addc，bcac.又obbc，a30，obodao，.【答案】a二、填空题6.如图2316，在rtabc中，acb90，ac5，bc12，o分别与边ab，ac相切，切点分别为e，c.则o的半径是_图2316【解析】连接oe，设oer，ocoer，bc12，则bo12r，ab13，由beobca，得，即，解得r.【答案】7如图2317，在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中，大圆的弦ab与小圆相切于点c，则弦ab的长为_cm.图2317【解析】连接oa，oc，ab是小圆的切线，ocab，acab.在rtaoc中，ac4(cm)，ab8 cm.【答案】88如图2318所示，圆o的半径为1，a，b，c是圆周上的三点，满足abc30，过点a作圆o的切线与oc的延长线交于点p，则pa_.图2318【解析】连接oa.ap为o的切线，oaap.又abc30，aoc60.在rtaop中，oa1，paoatan 60.【答案】三、解答题9.如图2319，已知d是abc的边ac上的一点，addc21，c45，adb60，求证：ab是bcd的外接圆的切线. 【导学号：07370040】图2319【证明】如图，连接ob，oc，od，设od交bc于e.因为dcb是所对的圆周角，bod是所对的圆心角，bcd45，所以bod90.因为adb是bcd的一个外角，所以dbcadbacb604515，所以doc2dbc30，从而boc120.因为oboc，所以obcocb30.在oec中，因为eoceco30，所以oeec.在boe中，因为boe90，ebo30，所以be2oe2ec，所以， 所以abod，所以abo90，故ab是bcd的外接圆的切线10如图2320，ab是o的直径，点p在ba的延长线上，弦cdab于e，pocpce.图2320(1)求证：pc是o的切线；(2)若oeea12，pa6，求o半径【解】(1)证明：在ocp与cep中，pocpce，opccpe，ocpcep.cdab，cep90，ocp90.又c点在圆上，pc是o的切线(2)法一：设oex，则ea2x，ocoa3x.coeaoc，oecocp90，oceopc，即(3x)2x(3x6)，x1，oa3x3，即圆的半径为3.法二：由(1)知pc是o的切线，ocp90.又cdop，由射影定理知oc2oeop，以下同法一能力提升1如图2321，在o中，ab为直径，ad为弦，过b点的切线与ad的延长线交于c，若addc，则sinaco等于()图2321a.b.c.d.【解析】连接bd，则bdac.addc，babc，bca45.bc是o的切线，切点为b，obc90.sinbco，cos bco.sinacosin(45bco)sin45cos bcocos 45sin bco.【答案】a2如图2322所示，已知pa是圆o的切线，切点为a，pa2，ac是圆o的直径，pc与圆o交于b点，pb1，则圆o的半径r_.图2322【解析】ab.由ab2pbbc，bc3，rtabc中，ac2，r.【答案】3圆o的直径ab6，c为圆周上一点，bc3，过c作圆的切线l，过a作l的垂线ad，ad分别与直线l，圆交于点d，e，则dac_，dc_.【解析】连接oc，ocob，ocbobc. : . .k 又dcaaco90，acoocb90，dcaocb.oc3，bc3，ocb是正三角形，obc60，即dca60，dac30.在rtacb中，ac3，dcacsin 30 .【答案】304如图2323，ad是o的直径，bc切o于点d，ab，ac与圆分别相交于点e，f.【导学号：07370041】图2323(1)aeab与afac有何关系？请给予证明；(2)在图中，如果把直线bc向上