人教A版选修41 第二讲 二 圆内接四边形的性质及判定定理 学案.doc

二圆内接四边形的性质及判定定理对应学生用书p211圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补如图：四边形abcd内接于o，则有：ac180，bd180.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角如图：cbe是圆内接四边形abcd的一外角，则有：cbed. : 2圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆对应学生用书p21圆内接四边形的性质例1如图，ab是o的直径，弦bd，ca的延长线相交于点e，ef垂直ba的延长线于点f.求证：deadfa.思路点拨本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用解题时，只需证a，d，e，f四点共圆后可得结论证明连接ad.因为ab为圆的直径，所以adb90.又efab，efa90，所以a，d，e，f四点共圆所以deadfa. : , ,k 圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系1圆内接四边形abcd中，已知a，b，c的度数比为435，求四边形各角的度数解：设a，b，c的度数分别为4x,3x,5x，则由ac180，可得4x5x180.x20.a42080，b32060，c520100，d180b120.2已知：如图，四边形abcd内接于圆，延长ad，bc相交于点e，点f是bd的延长线上的点，且de平分cdf.(1)求证：abac；(2)若ac3 cm，ad2 cm，求de的长解：(1)证明：abc2，213，43，abc4.abac.(2)34abc，dabbae，abdaeb.abac3，ad2，ae.de2(cm).圆内接四边形的判定例2如图，在abc中，e，d，f分别为ab，bc，ac的中点，且apbc于p.求证：e，d，p，f四点共圆思路点拨可先连接pf，构造四边形edpf的外角fpc，证明fpcc，再证明fpcfed即可证明如图，连接pf，apbc，f为ac的中点，pfac.fcac，pffc.fpcc.e、f、d分别为ab，ac，bc的中点efcd，edfc.四边形edcf为平行四边形，fedc.fpcfed.e，d，p，f四点共圆证明四点共圆的方法常有：如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆3判断下列各命题是否正确(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等4已知：在abc中，addb，dfab交ac于点f，aeec，egac交ab于点g.求证：(1)d、e、f、g四点共圆；(2)g、b、c、f四点共圆证明：(1)如图，连接gf，由dfab，egac，知gdfgef90，gf中点到d、e、f、g四点距离相等，d、e、f、g四点共圆(2)连接de.由addb，aeec，知debc，adeb.又由(1)中d、e、f、g四点共圆，adegfe.gfeb.g、b、c、f四点共圆.圆内接四边形的综合应用例3如图，已知o1与o2相交于a、b两点，p是o1上一点，pa、pb的延长线分别交o2于点d、c，o1的直径pe的延长线交cd于点m.求证：pmcd.思路点拨o1与o2相交，考虑连接两交点a、b得公共弦ab；pe是o1的直径，考虑连接ae或be得90的圆周角；要证pmcd，再考虑证角相等证明如图，分别连接ab，ae，a、b、c、d四点共圆，abpd.a、e、b、p四点共圆， abpaep.aepd.a、e、m、d四点共圆pmcdae. pe是o1的直径，eapa.pmcdae90.pmcd.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立5.如图，p点是等边abc外接圆的上一点，cp的延长线和ab的延长线交于点d，连接bp.求证：(1)dcbp；(2)ac2cpcd.证明：(1)abc为等边三角形，abca60.dbc120.又四边形abpc是圆内接四边形，bpc180a120.bpcdbc.又dcbbcp，bcpdcb.dcbp.(2)由(1)知bcpdcb，.cb2cpcd.又cbac，ac2cpcd.6如图，在正三角形abc中，点d，e分别在边bc，ac上，且bdbc，ceca，ad，be相交于点p.求证：(1)四点p，d，c，e共圆；(2)apcp.解：(1)证明：在abc中，由bdbc，ceca知：abdbce，即adbbec，即adcbec180，所以四点p，d，c，e共圆(2)如图，连接de.在cde中，cd2ce，acd60，由余弦定理知ced90.由四点p，d，c，e共圆知，dpcdec，所以apcp.对应学生用书p24一、选择题1设四边形abcd为圆内接四边形，现给出四个关系式：sin asin c，sin asin c0，cos bcos d0，cos bcos d.其中恒成立的关系式的个数是()a1b2c3 d4解析：因为圆内接四边形的对角互补，故a180c，且a，c均不为0或180，故式恒成立，式不成立同样由b180d知，式恒成立式只有当bd90时成立答案：b2圆内接四边形abcd中，abcd可以是()a4231 b4312c4132 d以上都不对解析：由四边形abcd内接于圆，得acbd，从而只有b符合题意答案：b3如图，四边形abcd是o的内接四边形，e为ab的延长线上一点，cbe40，则aoc等于()a20 b40c80 d100解析：四边形abcd是圆内接四边形，且cbe40，由圆内接四边形性质知dcbe40，又由圆周角定理知：aoc2d80.答案：c4已知四边形abcd是圆内接四边形，下列结论中正确的有()如果ac，则a90；如果ab，则四边形abcd是等腰梯形；a的外角与c的外角互补；abcd可以是1234a1个 b2个c3个 d4个解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：相等且互补的两角必为直角；两相等邻角的对角也相等(亦可能有abcd的特例)；互补两内角的外角也互补；两组对角之和的份额必须相等(这里1324)因此得出正确，错误答案：b二、填空题5(2014陕西高考)如图，abc中，bc6，以bc为直径的半圆分别交ab，ac于点e，f，若ac2ae，则ef_.解析：b，c，f，e四点在同一个圆上，aefacb，又aa，aefacb，即，ef3.答案：36如图，直径ab10，弦bc8，cd平分acb，则ac_，bd_.解析：acb90，adb90.在rtabc中，ab10，bc8，ac6.又cd平分acb.即acdbcd，adbd.bd 5.答案：657如图，点a，b，c，d都在o上，若c34，则aob_，adb_.解析：c和aob分别是所对的圆周角与圆心角， aob2c68.周角是360，劣弧ab的度数为68，优弧ab的度数为292.adb292146.答案：68146三、解答题8.已知：如图，e、f、g、h分别为菱形abcd各边的中点，对角线ac与bd相交于o点，求证：e，f，g，h共圆证明：法一：连接ef、fg、gh、he.e、f分别为ab、bc的中点，efac.同理ehbd.hefaob.acbd，hef90.同理fgh90.heffgh180.e、f、g、h共圆法二：连接oe、of、og、oh.四边形abcd为菱形acbd，abbccdda.e、f、g、h分别为菱形abcd各边的中点，oeab，ofbc，ogcd，ohda.oeofogoh.e，f，g，h在以o点为圆心，以oe为半径的圆上故e，f，g，h四点共圆9.如图，a，b，c，d四点在同一圆上，ad的延长线与bc的延长线交于e点，且eced.(1)证明：cdab；(2)延长cd到f，延长dc到g，使得efeg，证明：a，b，g，f四点共圆证明：(1)因为eced，所以edcecd.因为a，b，c，d四点在同一圆上，所以edceba.故ecdeba.所以cdab.(2)由(1)知，aebe.因为efeg，故efdegc，从而fedgec.连接af，bg，则efaegb，故faegbe.又cdab，edcecd，所以fabgba.所以afggba180.故a，b，g，f四点共圆10如图，已知o的半径为2，弦ab的长为2，点c与点d分别是劣弧与优弧上的任一点(点c、d均不与a、b重合)(1)求acb.(2)求abd的最大面积解：(1)连接oa、ob，作oeab，e为垂足，则aebe.rtaoe