4-平差数学模型与最小二乘原理.ppt

本章介绍观测模型及其定解条件等相关概念 各种观测模型的函数模型 随机模型 函数模型的线性形式 定解模型的最小二乘准则和最小二乘估计 第四章平差数学模型与最小二乘原理 本章主要内容 4 1测量平差概述 4 2测量平差的数学模型一 函数模型 含线性化 二 随机模型 4 3参数估计与最小二乘原理矩阵分析运算知识补充 4 1测量平差概述 一 观测模型 测量工程因解决不同工程问题的需要 通常需构建相应的观测模型 1 几何模型 观测系统仅由几何量 如 长度 角度 高程 坐标等 构成的模型 2 物理模型 观测系统仅由与时间概念有关的物理量 如 速度 加速度 应变等 构成的模型 3 综合模型 观测系统既包涵几何量又包涵物理量构成的模型 4 1测量平差概述 几何观测模型举例 高程控制网 水准网或三角高程网 三角网 测角网 测边网 边角网 4 1测量平差概述 几何观测模型举例 导线 符合 闭合 导线网 4 1测量平差概述 几何观测模型举例 4 1测量平差概述 二 观测模型 几何模型 的基本性质 1 必要元素为了确定一个几何模型 并不需要知道该模型中所有元素 几何量 的量值 只需知道其中部分元素的量值 其它元素可以通过它们的函数关系来确定 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素 简称必要元素 必要元素的个数用t来表示 举例 如图所示水准网 为确定待定点P1 P2 P3的高程 至少需确定3段高差元素 必要元素数t 3 如 举例 如图所示三角网 为确定四边形的形状和大小 至少需确定5个几何元素 1边4角 如 4边1角 如 3边2角 如 必要元素数t 5 2边3角 如 5边0角 如 必要元素不仅要考虑其个数 而且要考虑以它的类型 举例 如图所示闭合导线 为确定待定点P1 P5等5个点的坐标值 至少需确定10个几何元素 必要元素数t 10 如 必要元素不仅要考虑其个数 而且要考虑以它的类型 4 1测量平差概述 二 观测模型 几何模型 的基本性质 必要元素的个数t 又称为必须观测数 只与几何模型有关 与实际观测量无关 一旦给定几何模型 则其必要元素的个数t是唯一的 其类型不唯一 对任一几何模型 必要元素t个量必须为函数独立量 即t个必要元素之间必须不存在函数关系 亦即其中任一元素不能表达成其余 t 1 个元素的函数 1 必要元素 因此 以上两组元素均不是函数独立量 因此 此5元素不是函数独立量 二 观测模型 几何模型 的基本性质 2 多余观测 4 1测量平差概述 若仅观测了t个独立量 n t 则可唯一地确定该模型 但由于它们都是独立量 故不存在任何条件方程 在这种情况下 如果观测结果中含有粗差甚至错误 都将无法发现 为了能及时发现粗差和错误 并提高测量成果的精度 就必须使n t 则r n t称为多余观测数 多余观测数在测量中又称为几何模型的 自由度 二 观测模型 几何模型 的基本性质 2 多余观测 4 1测量平差概述 在测量工程中 为使一个几何模型有定解 就必须进行观测 以获取部分几何元素的量值 设在给定的几何模型中 总共观测了n个元素的量值 若观测个数少于必要元素的个数 即n t 显然无法定解该模型 即出现了数据不足的情况 若仅观测了 则无法求得P3点的高程 若仅观测了 则无法求得P2点的高程 三 测量平差的基本概念 1 条件方程 4 1测量平差概述 在一个几何模型中 除了t个独立量以外 若再增加一个量 则必然产生一个相应的函数关系式 测量中称为条件方程式 一个几何模型如果有r个多余观测 就产生r个条件方程式 必要元素数t 3 可列出以下条件方程 若再增加观测 则增加条件方程 若再增加观测元素 则存在以下关系式 则增加条件方程 三 测量平差的基本概念 2 条件方程闭合差 4 1测量平差概述 由于观测值不可避免地存在观测误差 当n t时 几何模型中应该满足的r n t个条件方程 因实际存在闭合差而并不满足 必要元素数t 3 考虑到观测误差 于是 仅用观测值组成条件方程 则有 考虑到观测误差 于是 仅用观测值组成条件方程 则有 三 测量平差的基本概念 4 1测量平差概述 例如 例如 三 测量平差的基本概念 3 测量平差 4 1测量平差概述 一个测量平差问题 首先要由观测值和待求量间组成数学模型 然后运用一定的平差原则对待求量进行估计 这种估计要求是最优的 最后计算和分析成果的精度 描述观测模型中元素的一组数学关系式称为数学模型 由于观测量是一种随机变量 所以平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种 在研究任何平差方法时必须同时予以考虑 函数模型是描述观测量与待求量间的数学函数关系的模型 是确定观测模型中元素量值关系的模型 随机模型是描述观测量及其相互间统计性质的模型 4 2测量平差的数学模型 对于给定的几何观测模型 可以有多种选取未知量的方式 建立不同形态的函数模型 由此产生了不同的平差方法 函数模型分为线性函数模型和非线性函数模型两类 当函数模型为非线性形式时 总是将其用泰勒公式展开 并取其一次项化为线性形式 4 2测量平差的数学模型 一 函数模型 1 条件平差法 4 2测量平差的数学模型模型 对于给定的几何观测模型 设 于是 可以列出r的独立的条件方程式 一 函数模型 例1 如图所示水准网中 若观测 可列出以下条件方程 例2 如图所示三角形 若观测元素 则存在以下关系式 1 条件平差法 4 2测量平差的数学模型模型 一 函数模型 对于函数模型线性化 即为条件平差法的函数模型 令 4 2测量平差的数学模型模型 例2 如图所示三角形 则存在以下关系式 4 2测量平差的数学模型模型 2 间接 参数 平差法 一 函数模型 一个几何观测模型 最多只能选出t个独立量 模型中的所有量都一定可表达成所选t个独立参数的函数 那末通过这t个独立参数就能唯一地确定该几何模型了 选择几何模型中t个独立量为平差参数 将每一个观测量表达成所选参数的函数 即列出n个这种函数关系式 以此为平差的函数模型 称为间接平差法 又称为参数平差法 4 2测量平差的数学模型模型 2 间接 参数 平差法 一 函数模型 设为选定的几何观测模型的t个独立量 为观测量 于是 可以列出下列函数表达式 4 2测量平差的数学模型模型 2 间接 参数 平差法 一 函数模型 要求是微小量 按泰勒公式展开时可以略去二次及以上的项 而只取至一次项 于是有 为了线性化 取的充分近似值 使即 4 2测量平差的数学模型模型 2 间接 参数 平差法 一 函数模型 顾及 于是有 令 方程线性化过程暂略 于是 可列出观测量参数方程如下 4 2测量平差的数学模型模型 3 附有参数的条件平差法 一 函数模型 在几何观测模型中 若观测值个数为n t为必要观测数 则可列出r n t个条件方程 现又增设了u个独立量作为参数 而0 u t 每增设一个参数应增加一个条件方程 以含有参数的条件方程作为平差的函数模型 称为附有参数的条件平差法 4 2测量平差的数学模型模型 3 附有参数的条件平差法 一 函数模型 设为观测量 为选定的u个独立参数 可以列出关于给定几何模型的下列r u个条件方程式 4 2测量平差的数学模型模型 3 附有参数的条件平差法 一 函数模型 为了线性化 取的充分近似值 使即 同时顾及到 例1 如图所示水准网中 可列出以下条件方程 若增设P2的高程H2为一个参数 则增加一个条件方程 方程线性化过程暂略 4 2测量平差的数学模型模型 4 附有限制条件的间接 参数 平差法 一 函数模型 如果进行间接平差 就要选出t个独立量为平差参数 按每一个观测值与所选参数间的函数关系组成n个观测方程 4 2测量平差的数学模型模型 4 附有限制条件的间接 参数 平差法 一 函数模型 如果在平差问题中 不是选t个而是选定u t个参数 其中包含t个独立参数 则多选的s u t个 参数必是t个独立参数的函数 亦即在u个参数之间存在着s个函数关系 它们是用来约束参数之间应满足的关系 4 2测量平差的数学模型模型 4 附有限制条件的间接 参数 平差法 一 函数模型 因此 在选定u t个参数进行间接平差时 除了建立n个观测方程外 还要增加s个约束参数的条件方程 故称此平差方法为附有限制条件的间接平差法 4 2测量平差的数学模型模型 4 附有限制条件的间接 参数 平差法 一 函数模型 为了线性化 取的充分近似值 使即 同时顾及到 方程线性化过程暂略 4 2测量平差的数学模型模型 各种平差函数模型的归纳 条件平差法模型 间接平差法模型 附有参数的条件平差法模型 附有条件的间接平差法模型 4 2测量平差的数学模型模型 二 随机模型 对于以上四种基本平差函数模型 最基本的数据都是观测向量 进行平差计算时 除了建立其函数模型外 还要同时考虑到它的随机模型 亦即观测向量的协方差阵 式中D为L的协方差阵 Q为L的协因数阵 P为L的权阵 Q与P互为逆阵 为单位权方差 4 2测量平差的数学模型模型 二 随机模型 以上各种平差方法的函数模型连同随机模型 就称为平差计算的数学模型 在进行平差计算之前 必须同时具备其函数模型和随机模型 前者可以按上述介绍的方法建立 后者则须知道D Q或P中之一 4 2测量平差的数学模型模型 二 随机模型 一般情况下 观测向量的协方差阵D在平差前都是未知的 若按第二章中介绍的方法估计确定 则称为先验协方差 可通过平差计算求出其估值 然后求得D的估值 归纳各种平差函数模型 条件平差法模型 间接平差法模型 附有参数的条件平差法模型 附有条件的间接平差法模型 4 3参数故计与最小二乘原理 引言 4 3参数故计与最小二乘原理 平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生 不论何种平差方法 平差最终目的都是对参数和观测量 或 作出某种估计 并评定其精度 所谓评定精度 就是对待估量的方差与协方差作出估计 所以 可统称为对平差模型的参数进行估计 引言 4 3参数故计与最小二乘原理 由于多余观测而产生的平差数学模型 都不可能直接获得唯一解 一 参数估计及其最优性质 条件平差的函数模型条件方程个数为r 而待估未知量 有n个 n r 不能唯一确定 4 3参数故计与最小二乘原理 由于多余观测而产生的平差数学模型 都不可能直接获得唯一解 一 参数估计及其最优性质 间接平差的函数模型方程个数为n 待求参数和 共有t n个 同样 和 不能唯一确定 4 3参数故计与最小二乘原理 测量平差中的参数估计 是要在众多的解中 找出一个最为合理的解 作为平差参数的最终估计 为此 对最终估计值应该提出某种要求 考虑平差所处理的是随机观测值 自然要求参数估计要具有最优的统计性质 从而可对平差数学模型附加某种约束 实现满足最优性质的参数唯一解 这种约束是用某种准则实现的 其中最广泛采用的准则是最小二乘原理 一 参数估计及其最优性质 4 3参数故计与最小二乘原理 数理统计中 估计量最优性质主要指估计量应具有无偏性 一致性和有效性的要求 引用如下 一 参数估计及其最优性质 1 无偏性 4 3参数故计与最小二乘原理 数理统计中 估计量最优性质主要指估计量应具有无偏性 一致性和有效性的要求 引用如下 一 参数估计及其最优性质 2 一致性 4 3参数故计与最小二乘原理 数理统计中 估计量最优性质主要指估计量应具有无偏性 一致性和有效性的要求 引用如下 一 参数估计及其最优性质 2 一致性 4 3参数故计与最小二乘原理 数理统计中 估计量最优性质主要指估计量应具有无偏性 一致性和有效性的要求 引用如下 一 参数估计及其最优性质 3 有效性 4 3参数故计与最小二乘原理 数理统计中 估计量最优性质主要指估计量应具有无偏性 一致性和有效性的要求 引用如下 一 参数估计及其最优性质 3 有效性 4 3参数故计与最小二乘原理 数理统计理论证明 具有无偏性 最优性的估计量必然是一致性估计量 所以测量平差中参数的最佳估值要求是最优无偏估计量 由于平差模型是线性的 最佳估计也称为最优线性无偏估计 一 参数估计及其最优性质 4 3参数故计与最小二乘原理 测量中的观测值是服从正态分布的随机变量 最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释 二 最小二乘原理 设观测向量为 为随机正态向量 其数学期望和方差分别为 4 3参数故计与最小二乘原理 测量中的观测值是服从正态分布的随机变量 最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释 二 最小二乘原理 由最大似然估计准则知 其似然函数 即L的正态密度函数 为 式中 或 4 3参数故计与最小二乘原理 测量中的观测值是服从正态分布的随机变量 最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释 二 最小二乘原理 按最大似然估计的要求 应选取能使lnG取得极大值时的作为 或 的估值量 所以 估值量应满足如下条件 即 4 3参数故计与最小二乘原理 测量中的观测值是服从正态分布的随机变量 最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释 二 最小二乘原理 考虑到 即作为的估值量 应满足如下条件 称为观测值的改正数或残差 4 3参数故计与最小二乘原理 测量中的观测值是服从正态分布的随机变量 最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释 二 最小二乘原理 考虑到 即 于是 4 3参数故计与最小二乘原理 二 最小二乘原理 于是 显然 当观测值独立时有 4 3参数故计与最小二乘原理 二 最小二乘原理 于是 若观测值独立且等精度 则 4 3参数故计与最小二乘原理 根据最小二乘准则进行的估计称为最小二乘估计 按此准则求得一组观测量或参数的估值过程 称为最小二乘平差 三 最小二乘估计 4 3参数故计与最小二乘原理 所以 平差计算的过程 就是针对给定的几何观测模型 确定采用适宜的平差方法 列出相应的函数模型 然后 在最小二乘准则下获得平差计算模型的唯一解 三 最小二乘估计 例题设对观测量进行了n次同精度观测得 试按最小二乘原理求该量的估值 由最小二乘原理知 的解应满足 4 3参数故计与最小二乘原理 解 设该量的估值为 则有 将对求一阶导数 并令其等于零 得 将代入得 由此解得 4 3参数故计与最小二乘原理 矩阵分析运算知识补充 矩阵分析运算知识补充 一 矩阵对变量的导数 设有矩阵 即Y中的元素均为变量x的函数 定义 矩阵分析运算知识补充 一 矩阵对变量的导数 性质推论 1 若矩阵N与变量x无关 则 矩阵分析运算知识补充 一 矩阵对变量的导数 性质推论 矩阵分析运算知识补充 一 矩阵对变量的导数 则 特别地 若 矩阵分析运算知识补充 二 列向量对列向量的导数 设有两个列向量 若 其中yi是向量X的函数 即有 记为 矩阵分析运算知识补充 二 列向量对列向量的导数 定义为 矩阵分析运算知识补充 二 列向量对列向量的导数 性质推论 1 若为常数向量 则 矩阵分析运算知识补充 二 列向量对列向量的导数 性质推论 4 若 则 矩阵分析运算知识补充 二 列向量对列向量的导数 性质推论 5 设有二次型 为常数对称方阵 矩阵分析运算知识补充 二 列向量对列向量的导数 特别地 作业 第四章习题1 2 3 4 7 8 9 10 第四章习题11 12 13 第四章习题14 二 观测模型 几何模型 的必要起算数据 4 1测量平差概述 确定几何模型所必须具有的已知数据 1 水准网必要起算数据 一个已知点高程 4 1测量平差概述 2 测站平差必要起算数据 一个已知方位 二 观测模型 几何模型 的必要起算数据 确定几何模型所必须具有的已知数据 4 1测量平差概述 3 测角网必要起算数据 一个已知点