人教A版选修45 基本不等式 课件（34张）.ppt

高中数学人教a版选修4 5不等式选讲 no 1middleschool mylove no 1middleschool mylove 第2课时基本不等式 某商店的天平出了点问题 导致两个臂长不相等 有一名顾客来该店购买水果糖两斤 店老板就用这个天平称重 他先将500克的砝码放入天平左边的托盘中 在右边的托盘中放水果糖 然后再将500克的砝码放入天平右边的托盘中 再在左边的托盘中放水果糖 店老板将这两次的水果糖放在一起交给了顾客 得意扬扬地说 虽然天平坏了 但不影响我的使用 请问 在这次交易中谁吃亏了 no 1middleschool mylove 预学1 基本不等式 1 基本不等式成立的条件是a 0 b 0 2 等号成立的条件 当且仅当a b时 等号成立 3 两个平均数 称为正数a b的算术平均 称为正数a b的几何平均 两个正数的算术平均不小于它们的几何平均 no 1middleschool mylove 议一议 若ab a a是一个大于0的常数 讨论a b的最值 解析 若a 0 b 0 由基本不等式知a b 2 2 当且仅当a b时 a b有最小值2 若a0 b 0 由基本不等式知 a b 2 2 即a b 2 当且仅当a b时 a b有最大值 2 no 1middleschool mylove 预学2 常用的几个重要不等式 1 ab 2 a b r 2 a b 2 a 0 b 0 3 a2 b2 2ab a b r 4 a 0 b 0 5 2 ab 0 以上不等式等号成立的条件均为a b no 1middleschool mylove 证明 a 0 b 0 解析 显然由基本不等式知 当且仅当a b时 等号成立 当且仅当a b时 等号成立 no 1middleschool mylove 当且仅当a b时 等号成立 综上 当且仅当a b时 所有的等号都成立 no 1middleschool mylove 预学3 利用基本不等式求最值已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当x y时 x y有最小值2 简记 积定和最小 2 如果和x y是定值s 那么当且仅当x y时 xy有最大值 简记 和定积最大 no 1middleschool mylove 练一练 设x 0 y 0 且x 2y 1 求 的最小值 解析 x 2y 3 3 2 当且仅当x y 1时 等号成立 no 1middleschool mylove 预学4 的几何解释如图 以a b长的线段ab为直径作圆o 在直径ab上取点e 使ae a 则eb b 过点e作cd ab交圆o于点c d 那么ce 而圆的半径为oc 在 obc中 oc ce 即 no 1middleschool mylove 想一想 在上图中 当不等式的等号成立时 点e的位置在哪里 解析 由图观察得 当不等式的等号成立时 oc ce 点e与点o重合 no 1middleschool mylove 1 利用基本不等式求最值例1 1 已知a 0 b 0 则 的最小值是 a 2b 3c 4d 5 2 已知x 0 y 0 且满足 1 则xy的最大值为 no 1middleschool mylove 方法指导 1 利用基本不等式求解 2 利用基本不等式先求 的取值范围 再求xy的最大值 解析 1 因为a 0 b 0 所以ab 0 所以 ab 2 2 当且仅当ab 1时 等号成立 no 1middleschool mylove 2 因为1 2 2 所以xy 3 当且仅当 即x y 2时 等号成立 故xy的最大值为3 答案 1 a 2 3 no 1middleschool mylove 变式训练1 1 已知a 0 b 0 a b的等差中项是 且 a b 求 的最小值 2 若x y a均为正实数 且 a 恒成立 求a的最小值 no 1middleschool mylove 解析 1 a 0 b 0 a b的等差中项是 a b 1 a b 1 a b 1 2 ab 当且仅当a b 时 等号成立 5 即 的最小值为5 no 1middleschool mylove 2 即 x y 而 a 即 恒成立 得 即a 所以a的最小值为 no 1middleschool mylove 2 利用基本不等式证明不等式例2 1 证明 a4 b4 c4 d4 4abcd 2 已知a 0 b 0 a b 1 求证 4 方法指导 1 利用a2 b2 2ab两两结合即可证明 但需要多次利用不等式 注意等号成立的条件 2 利用a b 1将要证不等式中的1代换 即可得证 no 1middleschool mylove 解析 1 a4 b4 c4 d4 2a2b2 2c2d2 2 a2b2 c2d2 2 2abcd 4abcd 原不等式成立 2 a 0 b 0 a b 1 2 2 2 4 原不等式成立 no 1middleschool mylove 变式训练2 设a b c均为正数 且a b c 1 证明 1 ab bc ac 2 1 no 1middleschool mylove 解析 1 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca得a2 b2 c2 ab bc ca 由题设得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以3 ab bc ca 1 即ab bc ca no 1middleschool mylove 2 因为 b 2a c 2b a 2c 所以 a b c 2 a b c 即 a b c 所以 1 no 1middleschool mylove 3 利用基本不等式解决实际问题例3 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品 其生产的总成本y 万元 与年产量x 吨 之间的函数关系式可以近似地表示为y 48x 8000 已知此生产线年产量最大为210吨 1 求年产量为多少吨时 生产每吨产品的平均成本最低 并求每吨产品平均最低成本 2 若每吨产品平均出厂价为40万元 那么当年产量为多少吨时 可以获得最大利润 最大利润是多少 no 1middleschool mylove 方法指导 需要先用年产量x 吨 表示出生产每吨产品的平均成本 再利用基本不等式求其最小值 利用利润 收入 成本 求出利润 并求其最值 解析 1 生产每吨产品的平均成本为f x 48 0 x 210 又f x 48 2 48 2 40 48 32 当且仅当 即x 200时 等号成立 即年产量为200吨时 每吨产品平均成本最低为32万元 no 1middleschool mylove 2 设年利润为s 则s 40 x 48x 8000 88x 8000 x 220 2 1680 0 x 210 由于s在 0 210 上为增函数 故当x 210时 s取得最大值为1660 即年产量为210吨时 可获得最大利润为1660万元 no 1middleschool mylove 变式训练3 某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房 由于地理位置的限制 房子侧面的长度x不得超过am 房屋正面的造价为400元 m2 房屋侧面的造价为150元 m2 屋顶和地面的造价费用合计为5800元 如果墙高为3m 且不计房屋背面的费用 1 将房屋总造价y表示成x的函数 并写出该函数的定义域 2 当侧面的长度为多少时 总造价最低 最低总造价是多少 no 1middleschool mylove 解析 1 由题意可得 y 3 2x 150 400 5800 900 x 5800 0 x a 2 y 900 x 5800 900 2 5800 13000 当且仅当x 即x 4时 取等号 当a 4 x 4时 最低总造价是13000元 no 1middleschool mylove 若a0 y 900 x 5800在 0 a 上是减函数 当a 4 x a时 最低总造价是900 a 5800元 1 活用几个重要的不等式a2 b2 2ab a b r 2 a b同号 ab 2 a b r 2 a b r 2 在运用基本不等式时 要特别注意 拆 拼 凑 等技巧 使其满足基本不等式中 正 定 等 的条件 3 有些题目不易发现是基本不等式的变形 解题时要会变形 回到基本不等式上 4 求解实际问题时 一定要注意题目中的条件 选择合适的不等式进行解题 no 1middleschool mylove 设f x 是定义在 0 上的函数 且f x 0 对任意a 0 b 0 若经过点 a f a b f b 的直线与x轴的交点为 c 0 则称c为a b关于函数f x 的平均数 记为mf a b 例如 当f x 1 x 0 时 可得mf a b c 即mf a b 为a b的算术平均数 1 当f x x 0 时 mf a b 为a b的几何平均数 2 当f x x 0 时 mf a b 为a b的调和平均数 以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可 no 1middleschool mylove 解析 设a a f a b b f b c c 0 则三点共线 1 依题