人教A版选修45 《排序不等式》 课件（17张）.ppt

排序不等式 教学要求 了解排序不等式的基本形式 会运用排序不等式分析解决一些简单问题 体会运用经典不等式的一般方法 教学重点 应用排序不等式证明不等式 教学难点 排序不等式的证明思路 一 复习准备 1 提问 前面所学习的一些经典不等式 柯西不等式 三角不等式 1 柯西不等式设a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn是实数 则 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 当且仅当bi 0 i 1 2 3 n 或存在一个数k 使得 时等号成立 a1b1 a2b2 anbn 2 ai kbi i 1 2 3 n 2 二维形式的三角不等式 设x1 y1 x2 y2 r 那么 12 12 22 22 1 22 1 22当且仅当 1 2 1 2时 等号成立 3 三维形式的三角不等式 设x1 y1 z1 x2 y2 z2 r 那么 z z z z 当且仅当 z kz 时 等号成立 问题 设ai r bj r 且a1 a2 an b1 b2 bn c1 c2 cn是b1 b2 bn任一个排列 则s a1c1 a2c2 ancn 我们s a1c1 a2c2 ancn叫数组 a1 a2 an b1 b2 bn 的乱序和 我们s1 a1b1 a2b2 anbn叫数组 a1 a2 an b1 b2 bn 的顺序和 我们s2 a1bn a2bn 1 anb1叫数组 a1 a2 an b1 b2 bn 的反序和 问 什么情况下s取得最大小 什么情况下s取得最小 32 31 31 29 29 28 二 讲授新课 1 教学排序不等式 顺序和 反序和 220 205 215 195 185 180 顺序和 反序和 猜想 猜想结论 设ai r bj r 且a1 a2 an b1 b2 bn c1 c2 cn是b1 b2 bn任一个排列 则s a1c1 a2c2 ancn 我们s a1c1 a2c2 ancn叫数组 a1 a2 an b1 b2 bn 的乱序和 我们s1 a1b1 a2b2 anbn叫数组 a1 a2 an b1 b2 bn 的顺序和 我们s2 a1bn a2bn 1 anb1叫数组 a1 a2 an b1 b2 bn 的反序和 问 什么情况下s取得最大小 什么情况下s取得最小 证明 a1 a2 an b1 b2 bn为两组实数 c1 c2 cn是b1 b2 bn任一个排列 且b1 b2 bn的全排列只有n 个 s a1c1 a2c2 ancn 的不同值只有有限个 个数 n 其中必有最大值和最小值 考虑 式 若c1 b1 则有某ck b1 k 1 c1 ck 将 式中 c1 ck对换 得 s a1ck akc1 ancn 得 s s a1ck akc1 a1c1 akck ak a1 c1 ck 0 这说明将 式中的第一项调换为a1b1后和式不减小 若c1 b1 则转而考察c2 并进行类似讨论 类似地 可以证明 将 式中的第一项调换为a1b1 第二项调换为a2b2后 和式不减小 如此继续下去 经有限步调整 可知一切和数中 最大和数所对应的情况只能是数组 ci 由小到大排序的情况 即s s2 同样可以证明 最小和数是反序和 即s1 s s1 s s2 至此我们证明了前面的猜想是正确的 定理 排序不等式或称排序原理 设a1 a2 an b1 b2 bn为两组实数 c1 c2 cn是b1 b2 bn任一个排列 则a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时 反序和 顺序和 分析 这是一个实际问题 需要将它数学化 即转化为数学问题 解 等待总时间是 10 1 9 2 2 9 10 根据排序不等式 当 1 2 9