人教A版选修44极坐标系 学案.docx

二极坐标系学习目标1.理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值性.2.掌握极坐标与直角坐标的互化.3.掌握极坐标系的简单应用.知识链接1.在教材第2页思考中，我们以信息中心为基点，用角和距离刻画点p的位置，这种刻画就是极坐标思想.这种方法与用直角坐标刻画点p的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？提示直角坐标系中点的位置用有序数组来刻画.两者的联系是都通过数刻画点，体现了数形结合思想.在这里，应该使用角和距离刻画点p位置更方便.2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？提示平面上点的极坐标不是唯一的.如果限定0，0，2)，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)可建立一一对应关系.3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？提示任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上，若0，则sin ，cos ，所以xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0).预习导引1.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点o，叫做极点；自极点o引一条射线ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标：设m是平面内一点，极点o与点m的距离|om|叫做点m的极径，记为；以极轴ox为始边，射线om为终边的角xom叫做点m的极角，记为.有序数对(，)叫做点m的极坐标，记为m(，).一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数.2.点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与(，2k)(kz)表示同一个点，特别地，极点o的坐标为(0，)(r).如果规定0，00，0，02，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.2.写点的极坐标要注意顺序：极径在前，极角在后，不能颠倒顺序.跟踪演练1在极坐标系中，下列各点中与不表示同一个点的是()a. b.c. d.解析与极坐标相同的点可以表示为(kz)，只有不满足.答案c要点二极坐标化为直角坐标例2已知点的极坐标分别为a，b，c，求它们的直角坐标.解因为x3cos3，y3sin3，所以a点的直角坐标为.同理，b，c两点的直角坐标分别为(1，)，.规律方法将点的极坐标(，)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键.跟踪演练2分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)；(2)；(3)(，).解(1)xcos 2cos，ysin 2sin1.点的极坐标化为直角坐标为(，1).(2)xcos 3cos0，ysin 3sin3.点的极坐标化为直角坐标为(0，3).(3)xcos cos ，ysin sin 0.点的极坐标(，)化为直角坐标为(，0).要点三直角坐标化为极坐标例3分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定0，00，00，00，sin ，cos ，所以xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0).1.极坐标对应的点在以极点为坐标原点，极轴为横轴的直角坐标系的()a.第一象限 b.第二象限c.第三象限 d.第四象限解析由题意可得1，xcos ，ysin ，故它的直角坐标为在第二象限.答案b2.点a的极坐标是，则点a的直角坐标为()a.(1，) b.(，1) c.(，1) d.(，1)解析xcos 2cos，ysin 2sin1.答案c3.把点p的直角坐标(，1)化成极坐标为_(0，00，0，2)时点m的极坐标为_，它关于极轴对称点的极坐标为_(0，0，2).解析|om|2，与op终边相同的角为2k(kz).0，2)，k1，m，m关于极轴的对称点为.答案一、基础达标1.点p的极坐标为，则点p的直角坐标为()a.(，) b.(，)c.(2，2) d.(，)解析xcos ，ysin .答案b2.点m的直角坐标为，则点m的极坐标可以为()a. b.c. d.解析，且，m的极坐标为.答案c3.下列各点与表示极坐标系中同一点的是()a. b.(2，)c. d.(2，2)解析与极坐标相同的点可以表示为(kz)，只有适合.答案c4.在极坐标系中，已知点p1、p2，则|p1p2|等于()a.9 b.10 c.14 d.2解析p1op2，p1op2为直角三角形，由勾股定理可得|p1p2|10.答案b5.在极坐标系中，已知点a，b，则a、b两点间的距离为_.解析由公式|ab|，得|ab|.答案6.平面直角坐标系中，若点p经过伸缩变换后的点为q，则极坐标系中，极坐标为q的点到极轴所在直线的距离等于_.解析点p经过伸缩变换后的点为q，则极坐标系中，极坐标为q的点到极轴所在直线的距离等于63.答案37.在极轴上求与点a距离为5的点m的坐标.解设m(r，0)，a，5，即r28r70，解得r1或r7.点m的坐标为(1，0)或(7，0).二、能力提升8.下列的点在极轴上方的是()a.(3，0) b.c. d.解析建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点，在极轴下方，点在极轴上方，故选d.答案d9.点m到极轴所在直线的距离为_.解析依题意，点m到极轴所在的直线的距离为d6sin3.答案310.已知极坐标系中，极点为o，02，m，在直线om上与点m的距离为4的点的极坐标为_.解析如图，|om|3，xom，在直线om上取点p，q，使|op|7，|oq|1，显然有|pm|op|om|734，|qm|om|oq|314.点p，q都满足条件，且xop，xoq.答案或11.(1)已知点的极坐标分别为a，b，c，d，求它们的直角坐标.(2)已知点的直角坐标分别为a(3，)，b，c(1，)，求它们的极坐标(0，02).解(1)根据xcos ，ysin ，得a，b，c(，)，d(2，2).(2)根据2x2y2，tan 得a，b，c.12.在极坐标系中，已知abc的三个顶点的极坐标分别为a，b(2，)，c.(1)判断abc的形状；(2)求abc的面积.解(1)如图所示，由a，b(2，)，c得|oa|ob|oc|2，aobbocaoc.aobbocaoc，abbcca，故abc为等边三角形.(2)由上述可知，ac2oasin222.sabc(2)23(面积单位).三、探究与创新13.某大学校园的部分平面示意图如图：用点o，a，b，c，d，e，f，g分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|ab|bc|，|oc|600 m.建立适当的极坐标系，写出除点b外各点的极坐标(限定0，02且极点为(0，0).解以点o为极点，oa所在的射线为极