人教B版必修4 2.1.4数乘向量 课件（26张）.pptx

2 1 4数乘向量 1 掌握数乘向量的定义 并理解其几何意义 2 掌握数乘向量的运算律 3 了解向量线性运算的性质及其几何意义 1 2 1 数乘向量 1 实数 和向量a的乘积是一个向量 记作 a a的长度 a a 若a 0 当 0时 a的方向与a的方向相同 当 0时 a的方向与a的方向相反 当 0或a 0时 0a 0或 0 0 2 向量数乘的几何意义 把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小 3 数乘向量的运算律 设 为实数 则 a a a a a a b a b 名师点拨1 数乘向量与实数的乘法是有区别的 前者的结果是一个向量 后者的结果是一个实数 特别要注意当 0时 a 0 此处最容易出现的错误是将实数0与向量0混淆 错误地表述成 a 0 2 要注意实数与向量可以相乘 但是不能进行加减运算 如 a a是无意义的 1 2 做一做1 1 化简 2 3m 4 n 2m 的结果为 a 14m 4nb 6m 4nc 2m 4nd 4n 2m解析 原式 6m 4n 8m 2m 4n 答案 c 做一做1 2 若 a 3 b与a的方向相反 且 b 5 则a b 1 2 2 向量的线性运算向量的加法 减法和数乘向量的综合运算 通常叫做向量的线性运算 答案 c 1 2 1 数乘向量的几何意义剖析数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小 若a 0 当 1时 沿a的方向放大为原来的 倍 当0 1时 沿a的方向缩小为原来的 倍 当 1时 沿a的反方向放大为原来的 倍 当 1 0时 沿a的反方向缩小为原来的 倍 由其几何意义可以看出 用数乘向量能解决几何中的相似问题 2 教材中的 思考与讨论 把例3中的数3改为任意实数k 你是否还能解这个问题 回想一下初中学过的相似三角形的判定定理 例3的结论与判定定理有什么关系 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 已知a b是两个非零向量 判断下列各命题的真假 并说明理由 1 2a与a是共线向量 且 2a的模是a的模的2倍 3 2a与2a是一对相反向量 4 a b与 b a 是一对相反向量 分析根据数乘向量与相反向量的定义判断 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 真命题 理由 20 3a与a的方向相同 且 3a 3 a 5 0 5a与a的方向相同 且 5a 5 a 3a与5a的方向相同 且3a的模是5a的模的 3 真命题 理由 按照相反向量的定义可以判断此命题为真命题 4 假命题 理由 b a b a a b a b与 b a 为相等的向量 反思解答本题的过程中易把a b与 b a 当作相反向量 导致此种错误的原因是不能正确运用数乘向量的运算律进行转化 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 下列命题中不正确的是 a 若实数 满足 0 a 0 则 a与 a的方向相同b 若 a 4 b 且a与b反向 则a 4bc 若 a 0 则必有实数 0d 若a为非零向量 且ma na 则必有m n解析 当 a 0 则 0 a 0或 0 a 0或 0 a 0 所以c选项不正确 其余各项均正确 答案 c 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 1 计算 8 2a b c 6 a 2b c 2 2a c 2 解方程 x a a x 2b 0 分析解答本题可先去括号 再合并 化简求解 解 1 原式 16a 8b 8c 6a 12b 6c 4a 2c 16 6 4 a 8 12 b 8 6 2 c 6a 4b 2 原方程可化为x a a x 2b 0 即2x 2a 2b 0 所以x a b 反思向量的线性运算及解含未知向量的方程类似于代数多项式的运算及代数方程 实数运算中的去括号 移项 合并同类项 提取公因式等变形方法在向量线性运算及解含未知向量的方程中同样适用 在运算过程中 要注意多观察 恰当分组 简化运算 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 如图 在梯形abcd中 ab cd 且ab 2cd m n分别是dc和ab的中点 若分析解答本题 首先考虑平行向量及向量加减的平行四边形法则和三角形法则 整理变形 然后求解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在求向量时 要尽可能地把未知向量转化到平行四边形或三角形中 运用向量的加法 减法运算及数乘运算来求解 即充分利用相等向量 相反向量和线段的比例关系 运用向量加法的三角形法则 平行四边形法则 减法的三角形法则 把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 分析将向量表达式变形 结合向量加法的平行四边形法则以及重心的特征证明 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 已知o是平面上一定点 a b c是平面上不共线的三个点 动点p满足 0 则点p的轨迹一定通过