人教B版必修三 中国古代数学中的算法案例 学案.docVIP

1.3中国古代数学中的算法案例学习目标1了解割圆术中无限逼近的数学思想2理解更相减损术的含义，了解其执行过程3掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质知识链接120和30的最大公约数为10. 2已知函数f(x)x22x1，计算f(1)的值时用了2次乘法和2次加法运算；当函数变为f(x)(x2)x1，求f(1)时，用了1次乘法运算和2次加法运算预习导引1更相减损术第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数若是，用2约简；若不是，执行第二步第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数2割圆术的算法思想刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”3秦九韶算法把一个n次多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0改写成如下形式：(anxan1)xan2)xa1)xa0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1v0xan1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0.这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.要点一求两个正整数的最大公约数例1用更相减损术求261和319的最大公约数解31926158，26158203，20358145，1455887，875829，582929，29290，所以319与261的最大公约数是29.规律方法利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数若是，用2约简也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果跟踪演练1用更相减损术求80和36的最大公约数解80240362184022018292091111929277255233212111224所以80与36的最大公约数为4.要点二秦九韶算法例2已知一个5次多项式为f(x)4x52x43.5x32.6x21.7x0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x5时的值解将f(x)改写为f(x)(4x2)x3.5)x2.6)x1.7)x0.8，由内向外依次计算一次多项式当x5时的值：v04；v145222；v22253.5113.5；v3113.552.6564.9；v4564.951.72 826.2；v52 826.250.814 130.2.当x5时，多项式的值等于14 130.2.规律方法1.先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可这样比直接将x5代入原式大大减少了计算量若用计算机计算，则可提高运算效率2注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0xn.跟踪演练2用秦九韶算法计算f(x)6x54x4x32x29x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为()a5,4b5,5 c4,4d4,5答案d解析n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为514.故选d.1我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率是()a准确值b近似值c循环小数d有理数答案b2自然数8 251和6 105的最大公约数为()a37b23 c47d111答案a解析利用更相减损之术可得它们的最大公约数为37.3用秦九韶算法求多项式f(x)1235x8x279x36x45x53x6在x4的值时，v4的值为()a57b220 c845d3 392答案b解析v03，v1v0x5，v2v1x6，v3v2x79，v4v3x8，v4220.4用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是()a2b3 c4d5答案c解析(294,84)(210,84)(126,84)(42,84)(42,42)，需做4次减法5用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为_答案先除以2，得到18与67解析36与134都是偶数，第一步应为：先除以2，得到18与67.1更相减损术求两个正整数的最大公约数时，当两个整数的差值较大时，运算次数较多2秦九韶算法用于计算高次多项式的值，它能把高次式的和转化成一次式的积在使用秦九韶算法时，如果缺少某些项，应将其系数看成0，添上这些项避免因漏项而出现错误.一、基础达标1以下是利用更相减损之术求114和36的最大公约数的操作步骤：(114,36)(78,36)(42,36)(6,36)(6,30)(6,24)(6,18)(6,12)(6,6)，那么114和36的最大公约数为()a1b12 c6d36答案c解析由条件知最大公约数为6.21 037和425的最大公约数是()a51b17 c9d3答案b解析(1 037,425)(612,425)(425,187)(238,187)(187,51)(136,51) (85,51)(51,34)(34,17)(17,17)3用秦九韶算法计算多项式f(x)3x64x55x46x37x28x1当x0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()a6,6b5,6 c5,5d6,5答案a解析秦九韶算法中最多需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n可知，选a.4五次多项式f(x)4x53x42x3x2x，用秦九韶算法求f(2)等于()a b . c.d答案a解析f(x)(4x3)x2)x1)x1)x，f(2)(4(2)3)(2)2)(2)1)(2)1)(2).5已知f(x)x52x33x2x1，应用秦九韶算法计算x3时的值时，v3的值为()a27b11 c109d36答案d解析将函数式化成如下形式f(x)(x0)x2)x3)x1)x1由内向外依次计算：v01，v11303，v233211，v3113336，v43631109，v510931328.6用秦九韶算法求多项式f(x)7x55x410x310x25x1当x2时值的算法：第一步，x2.第二步，f(x)7x55x410x310x25x1.第三步，输出f(x)第一步，x2.第二步，f(x)(7x5)x10)x10)x5)x1.第三步，输出f(x)需要计算5次乘法，5次加法需要计算9次乘法，5次加法以上说法中正确的是_(填序号)解析是直接求解，并不是秦九韶算法，故错对于一元最高次数是n的多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故正确答案7用秦九韶算法求多项式f(x)x62x53x44x35x26x当x2时的值解f(x)x62x53x44x35x26x(x2)x3)x4)x5)x6)x所以有v01；v11224；v242311；v3112426；v4262557；v55726120；v61202240.故当x2时，多项式f(x)x62x53x44x35x26x的值为240.二、能力提升8下列哪组的最大公约数与1 855,1 120的最大公约数不同()a1 120,735b385,350c385,735d1 855,325答案d解析(1 855,1 120)(735,1 120)(735,385)(350,385)(350,35) (315,35)(35,35)，1 855与1 120的最大公约数是35，由以上计算过程可知选d.9用秦九韶算法求多项式f(x)7x66x53x22当x4时的值时，先算的是()a4416b7428c44464d74634答案d解析因为f(x)anxnan1xn1a1xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)7x66x53x22当x4时的值时，先算的是74634.10用秦九韶算法求函数f(x)12xx23x32x4，当x1时的值时，v2的结果是_答案6解析此题的n4，a42，a33，a21，a12，a01，由秦九韶算法的递推关系式(k1，2，n)，得v1v0xa32(1)35.v2v1xa25(1)16.11用秦九韶算法求多项式f(x)x55x410x310x25x1当x2时的值解f(x)x55x410x310x25x1(x5)x10)x10)x5)x1而x2，所以有v01，v1v0xa41(2)53，v2v1xa33(2)104，v3v2xa24(2)102，v4v3xa12(2)51，v5v4xa01(2)11.故f(2)1.三、探究与创新12有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶