苏教版必修五 3.3.3　简单的线性规划问题（2） 课件（23张）.ppt

高中数学必修5 3 3 3简单的线性规划问题 2 一 问题情景 某校办工厂有方木料90m3 五合板600m2 正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售 已知生产每张书桌需要方木料0 1m3 五合板2m2 生产每个书橱需要方木料0 2m3 五合板1m2 出售一张书桌可获利润80元 出售一张书橱可获利润120元 1 假设你是工厂的生产科长 请你按要求设计出工厂的生产方案 方案一 若只生产书桌 用完五合板 可生产书桌300张 可获得利润80 300 24000元 但方木料没有用完 方案二 若只生产书橱 用完方木料 可生产450张书橱 可获得利润120 450 54000元 但五合板没有用完 2 设生产书桌x张 书橱y张 利润z元 写出x y应满足的条件以及z与x y之间的函数关系式 约束条件为 目标函数为 3 如果你是厂长 为使工厂原料充分利用 问怎么安排能够使资源最大限度的利用 且可获得最大利润 方案三 生产书桌100张 书橱400张 有最大利润为56000元 在上面两种情况下 原料都没有充分利用 造成了资源浪费 那么该怎么安排能够使资源最大限度的利用 且可获得最大利润 二 线性规划在实际中的应用 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用 一是在人力 物力 资金等资源一定的条件下 如何使用它们来完成最多的任务 二是给定一项任务 如何合理安排和规划 能以最少的人力 物力 资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用 例题 例1某工厂用a b两种配件生产甲 乙两种产品 每生产一件甲产品使用4个a配件耗时1h 每生产一件乙产品使用4个b配件耗时2h 该厂每天最多可从配件厂获得16个a配件和12个b配件 按每天工作8h计算 该厂所有可能的日生产安排是什么 若生产一件甲产品可获利润2万元 生产一件乙产品可获利润3万元 则如何安排日生产 可使工厂所获利润最大 分析 将已知数据列成表格 解设甲 乙两种产品的产量分别为x y件 工厂利润z万元 约束条件为 目标函数是 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 把目标函数z 2x 3y变形为 y x o x 2y 8 0 y 3 x 4 它表示斜率为随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距 当截距最大时 z的值最大 如图可见 当直线z 2x 3y经过可行域上的点m时 截距最大 即z最大 m m点是两条直线的交点 解方程组 得m点的坐标为 所以zmax 2x 3y 14 由此可知 每天生产甲产品4件 乙产品2件时 工厂可得最大最大利润14万元 例2投资生产a产品时 每生产一百吨需要资金200万元 需场地200m2 可获利润300万元 投资生产b产品时 每生产一百米需要资金300万元 需场地100m2 可获利润200万元 现某单位可使用资金1400万元 场地900m2 问 应作怎样的组合投资 可获利最大 分析将已知数据列成表格 解设生产a产品x百吨 生产b产品y百米 利润为s百万元 则约束条件为目标函数为 作出可行域 把目标函数s 3x 2y变形为 a y 2x y 9 x o 2x 3y 14 它表示斜率为随s变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距 当截距最大时 s的值最大 如图可见 当直线s 3x 2y经过可行域上的点a时 截距最大 即s最大 a点是两条直线的交点 解方程组 得a点的坐标为 所以smin 3x 2y 14 75 由此可知 生产a产品325t 生产b产品250m时 获利最大 且最大利润为1475万元 例3营养学家指出 成人良好的日常饮食应该至少提供0 075kg的碳水化合物 0 06kg的蛋白质 0 06kg的脂肪 1kg食物a含有0 105kg碳水化合物 0 07kg蛋白质 0 14kg脂肪 花费28元 而1食物b含有0 105kg碳水化合物 0 14kg蛋白质 0 07kg脂肪 花费21元 为了满足营养专家指出的日常饮食要求 同时使花费最低 需要同时食用食物a和食物b多少kg 分析 将已知数据列成表格 解设每天食用xkg食物a ykg食物b 总成本为z 则线性约束条件为 目标函数为 z 28x 21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 把目标函数z 28x 21y变形为 x y o 5 7 5 7 6 7 3 7 3 7 6 7 它表示斜率为随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距 当截距最小时 z的值最小 m 如图可见 当直线z 28x 21y经过可行域上的点m时 截距最小 即z最小 m点是两条直线的交点 解方程组 得m点的坐标为 所以zmin 28x 21y 16 由此可知 每天食用食物a143g 食物b约571g 能够满足日常饮食要求 又使花费最低 最低成本为16元 三 练习题 1 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 每件销售收入分别为3000元 2000元 甲 乙产品都需要在a b两种设备上加工 在每台a b上加工1件甲所需工时分别为1h 2h 加工一件乙所需工时分别为2h 1h a b两种设备每月有效使用台数分别为400h 台和500h 台 如何安排生产可使收入最大 设每月生产甲产品x件 生产乙产品y件 每月收入为z 目标函数为z 3x 2y 满足的条件是 z 3x 2y变形为它表示斜率为的直线系 z与这条直线的截距有关 x y o 400 200 250 500 当直线经过点m时 截距最大 z最大 m 解方程组 可得m 200 100 zmax 3x 2y 800 故生产甲产品200件 乙产品100件 收入最大 为80万元 2 某人准备投资1200万元兴办一所完全中学 对教育市场进行调查后 他得到了下面的数据表格 以班级为单位 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件 若根据有关部门的规定 初中每人每年可收学费1600元 高中每人每年可收学费2700元 因生源和环境等条件限制 办学规模以20至30个班为宜 含20个与30个 那么开设初中班和高中班多少个 每年收费的学费总额最多 把上面四个不等式合在一起 得到 y x 20 30 40 20 30 o 另外 开设的班级不能为负 则x 0 y 0 而由于资金限制 26x 54y 2 2x 2 3y 1200 解设开设初中班x个 高中班y个 因办学规模以20 30个班为宜 所以 20 x y 30 y x 20 30 40 20 30 o 由图可以看出 当直线z 7 2x 10 8y经过可行域上的点m时 截距最大 即z最大 设收取的学费总额为z万元 则目标函数z 0 16 45x 0 27 40y 7 2x 10 8y z 7 2x 10 8y变形为它表示斜率为的直线系 z与这条直线的截距有关 m 易求得m 20 10 则zmax 7 2x 10 8y 252 故开设20个初中班和10个高中班 收取的学费最多 为252万元 四 要点归纳与方法小结 一 线性规划的两类重要实际问题的解题思路 1 应准确建立数学模型 即根据题意找出约束条件 确定线性目标函数 2 用图解法求得数学模型的解 即画出可行域 在可行域内求得使目标函数取得最值的解 一般最优解在直线或直线的交点上 要注意斜率的比较 3 要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解 即结合实际情况求得最优解 二 线性规划问题的求解步骤 1 审 审题 将题目中数据列表 将实际问题转化为数学问题 2 设 设出变量 确定约束条件 建立目标函数 3 画 画出线性约束条件所表示的可行域 作出目标函数线 4 移 在线性目标函数所表示的一组平行线中 利用平移的方法找出与可