人教B版 选修23 2.4 正态分布 作业.docx

2.4 正态分布一、单选题1设随机变量服从正态分布n（1，1），若为（ ）a0005b0。45c0.5d0.55【答案】a【解析】略2随机变量服从正态分布n(,2)，p(-1+1)=（ ）a0.3180 b0.1590 c0.3410 d0.1690【答案】b【解析】利用正态分布图像的对称性可得：p(x+1)=1-2p(-1x)2=0.1590.本题选择b选项.3已知随机变量n(3,22)，若23，则d()等于()a0 b1 c2 d4【答案】b【解析】，又，故选b.4下列命题正确的个数是（ ）p1:已知点m(a,b)在圆o:x2+y2=1外， 则直线ax+by=1与圆o没有公共点p2:命题“x0r,x03-x02+10”的否定是“xr,x3-x2+10” p3:已知随机变量x服从正态分布n(3,2)，p(x4)=0.8，则p(x2)=0.2p4: 实数x,y满足约束条件x+3y3x-y1y0，则目标函数z=x-2y的最小值为1a1个 b2个 c3个 d4个【答案】a【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系d1，圆心到直线ax+by=1的距离为d=1a2+b21，即d0” , p2不正确； x服从正态分布n(3,2)，p(x4)=0.8， p(x4)=0.2，由正态分布的对称性可得px2=p(x4)=0.2, p3正确；取x=32,y=12满足约束条件x+3y3x-y1y0，而目标函数z=x-2y= 32-1=121， p4不正确，故选a.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查直线与圆的位置关系、特称命题的否定、正态分布的性质以及线性规划的应用，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.5设随机变量服从正态分布n(0，1)，则下列结论正确的是()p(|a)p(a)p(a)(a0)；p(|a)2p(a)1(a0)；p(|a)12p(a)(a0)；p(|a)1p(|a)(a0)a bc d【答案】d【解析】【分析】随机变量服从正态分布n(0，1)，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案【详解】因为p(|a)p(aa)，所以不正确；因为p(|a)p(aa)p(a)p(a)p(a)p(a)p(a)(1p(a)2p(a)1，所以正确，不正确；因为p(|a)p(|a)1，所以p(|a)1p(|a)(a0)，所以正确故选d【点睛】本题是一道关于正态分布的题目，解题的关键是正确理解正态分布曲线的特点，属于中档题。6已知随机变量x服从正态分布n（2,2），且p(x4)=0.8，则p(0x2)=（ ）a0.6 b0.3 c0.2 d0.1【答案】b【解析】【分析】由题意，随机变量x服从得正态分布曲线关于x=2对称，根据正态分布曲线的对称性，即可求解，得到答案.【详解】由题意，随机变量x服从正态分布n（2,2），则正态分布曲线关于x=2对称，又由p(x4)=0.8，根据正态分布曲线的对称性，可得p(x0)=p(x4)=1-p(x4)=0.2，所以p(0x2)=12-p(x0)=0.5-0.2=0.3，故选b.【点睛】本题主要考查了正态分布中概率的计算问题，其中解答中熟记正态分布曲线的性质，合理应用其对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7甲、乙两类水果的质量（单位： ）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）a甲类水果的平均质量b甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右c甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小d乙类水果的质量服从的正态分布的参数【答案】d【解析】由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，1=0.4,2=0.8，故a正确，c正确，甲图象比乙图象更“高瘦”，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故b正确；乙图象的最大值为1.99,即，21.99，故d错误。本题选择d选项.二、填空题8若随机变量x服从正态分布n(,2),且p(x2)=0.4,则p(0x1)=_.【答案】0.1【解析】【分析】由题意，可得随机变量x服从正态分布n(1,2)，再利用正态曲线的对称性，即可求解.【详解】由p(x1)=知随机变量x服从正态分布n(1,2),正态曲线关于直线x=1对称,p(x2)=0.6,p(0x1)=p(x2)-p(x1)=0.6-0.5=0.1.【点睛】本题主要考查了正态分布中概率的计算问题，其中明确正态分布曲线的对称性和概率的计算方法是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9已知随机变量服从正态分布，且，则_【答案】0.3【解析】试题分析：考点：正态分布【方法点睛】正态分布下两类常见的概率计算（1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1.（2）利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于（，），（2，2），（3，3）中的哪一个.10已知某次数学考试中，学生的成绩x服从正态分布，即xn85,225，则这次考试中，学生成绩落在区间100,130之内的概率为_.（注：p-x+=0.6826，p-2x+2=0.9544，p-3x+3=0.9974）【答案】0.1574【解析】【分析】已知xn（ ，2），则正态曲线关于x=85对称.根据-,+,-2,+2-3,+3 与所求区间的关系，和已知概率求解.【详解】：学生的成绩x服从正态分布xn（85，225）即=85，=15 p(70x100)=0.6826 ,p(40x130)=0.9974p(100x130)=120.9974-0.6826=0.1574【点睛】在实际问题中进行正态分布条件下的概率计算时，关键是确定正态分布的两个重要参数和，以及三个范围-,+,-2,+2-3,+3与所求区间的关系，结合已知概率，进行求解。三、解答题11【2018安徽芜湖高三一模】某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布n(70，752)，数学成绩的频数分布直方图如下：（i）计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）；（ii）如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？（iii）如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从（ii）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有x人，求x的分布列和数学期望（附参考公式）若xn(，2)，则p(-x+)068，p(-2x+2)096【答案】（i）语文平均分高些；（ii）语文成绩优秀人数为4人，数学成绩优秀人数为10人；（iii）答案见解析【解析】试题分析：（i）根据组中值与对应区间概率的乘积和计算平均数，再比较大小，（ii）先求优秀的概率，再根据频数等于总数与频率的乘积得结果，（iii）先确定随机变量取法，再根据组合数计算对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望试题解析：（i）数学成绩的平均分为001245+00255+002565+003575+000685+00029510=659根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些（ii）语文成绩优秀的概率为p1=p(x85)=1-09612=002，数学成绩优秀的概率为p2=(000612+0002)10=005，语文成绩优秀人数为200002=4人，数学成绩优秀人数为200005=10人（iii）语文数学两科都优秀的4人，单科优秀的有6人，x所有可能的取值为0，1，2，3，p(x)=0=c63c103=16，p(x)=1=c41c62c103=12p(x)=2=c42c61c103=310，p(x)=3=c43c103=130x的分布列为数学期望e(x)=016+112+2310+3130=6512为评估设备m生产某种零件的性能，从设备m生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为x，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的概率）；p(-x+)0.6827；p(-2x+2)0.9545；p(-3x+3)0.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备m的性能等级.（2）将直径小于等于-2或直径大于+2的零件认为是次品.（）从设备m的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数y的数学期望e(y)；（）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数z的数学期望e(z).【答案】(1)见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据3原则，分别求得其对应的概率，进而判断出m的性能级别。（2）通过题意可知，样本中共有6件次品，可知m生产的次品率为0.06。通过二项分布的概率分布即可求得次品的数学期望。【详解】（1）由题意知道：-=62.8，+=67.2，-2=60.6，+2=69.4，-3=58.4，+3=71.6，所以由图表知道：p(-0.6826p(-20.9544p(-3x+3)=98100=0.980.9974所以该设备m的性能为丙级别. （2）由图表知道：直径小于或等于-2的零件有2件，大于+2的零件有4件，共计6件（i）从设备m的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为6100=350，依题意yb(2,350)， 故e(y)=2350=325 （ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数z的可能取值为0，1，2p(z=0)=c60c942c1002=14571650，p(z=1)=c61c941c1002-1881650，p(z=2)=c62c940c1002=51650，故e(z)=014571650+11881650+251650=1981650=325【点睛】本题考查了正态分布中3原则及其简单应用，概率分布及其分布列、数学期望的简单计算，属于中档题。13“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗2018年春节前夕，a市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺作样本，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示 （1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若该品牌的速冻水饺的某项质量指标z服从正态分布n(u,2)，其中u近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2 求z落在(14.55,50.40)内的概率； 若某人从某超市购买了1包这种品牌的速冻水饺，发现该包速冻水饺某项质量指标值为55，根据3原则判断该包速冻水饺某项质量指标值是否正常附：142.7511.95； 若zn(u,2)，则p(u-zu+)=0.6826，p(u-2zu+2)=0.9544，p(u-3zu+3)=0.9974.【答案】（1）26.5，142.75（2）0.8185 指标值是正常的【解析】【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2） 因为p(14.55z50.40)=p(26.5-11.95z26.5+23.90)=p(u-zu+2)=p(u-zu)+p(uzu+2) =0.68262+0.95442=0.8185； 因为u+3=26.5+311.95=62.35， 所以26.55562.35，即u55u+3， 根据3原则判断该包速冻水饺某项质量指标值是正常的【详解】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本 平均数x=50.1+150.2+250.3+350.25+450.15=26.5， 方差s2=(-21.5)20.1+(-11.5)20.2+(-1.5)20.3+(8.5)20.25+(18.5)20.15142.75（2）因为z服从正态分布n(u,2)，且u=26.5，2=142.75，即=142.7511.95 因为p(14.55z50.40)=p(26.5-11.95z26.5+23.90)=p(u-zu+2) =p(u-zu)+p(uzu+2) =