人教B版必修一 集合的运算 能力提高 课件（71张）.ppt

集合的基本运算能力提高 例1 1 若集合p x x2 1 集合m x x2 2x 3 0 则p m p m 2 已知集合m x 35 则m n m n 3 已知集合m y y x2 4x 3 x z 集合n y y x2 2x x z 求m n 集合的交 并运算 思路探究 1 两个集合交集 并集中的元素是由两个集合中什么样的元素构成的 2 当两个集合元素无限时求其交集 并集需借助的工具是什么 解析 1 p x x2 1 1 1 m x x2 2x 3 0 1 3 所以p m 1 p m 1 1 3 答案 1 1 1 3 1 若集合p x x2 1 集合m x x2 2x 3 0 则p m p m 2 已知集合m x 35 则m n m n 3 已知集合m y y x2 4x 3 x z 集合n y y x2 2x x z 求m n 此类题目首先应看清集合中元素的范围 简化集合 若是用列举法表示的数集 可以根据交集 并集的定义直接观察或用venn图表示出集合运算的结果 若是用描述法表示的数集 可借助数轴分析写出结果 此时要注意当端点不在集合中时 应用 空心点 表示 方法小结 例2 1 设集合a a2 a 1 3 b a 3 2a 1 a2 1 a b 3 求实数a 2 若集合a 1 3 x b 1 x2 a b 1 3 x 求满足条件的实数x 思路探究 1 由交集定义 3是集合b中的元素 是哪一个 2 由并集定义 如何确定a b的关系 对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题 一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系 再列方程 组 求解 另外 在处理有关含参数的集合问题时 要注意对求得的结果进行检验 以避免违背集合中元素的有关特性 尤其是互异性 方法小结 1 设集合a a 1 3 5 集合b 2a 1 a2 2a a2 2a 1 当a b 2 3 时 求a b 解析 a b 2 3 2 a 即 a 1 2 a 1或a 3 当a 1时 集合b的元素a2 2a 3 2a 1 3 由集合元素的互异性可知 a 1 当a 3时 集合b 5 3 2 a b 5 2 3 5 例3 已知集合a x x 1或x 4 b x 2a x a 3 若a b b 求实数a的取值范围 思路探究 利用a b b得b a 然后就b是否为空集讨论 列出关于a的不等式 组 求解即可 1 在利用集合的交集 并集性质解题时 常常会遇到a b a a b b等这类问题 解答时常借助于交 并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析 如a b a a b a b b a b等 解答时应灵活处理 2 当集合b a时 如果集合a是一个确定的集合 而集合b不确定 运算时要考虑b 的情况 切不可漏掉 方法小结 1 已知集合a x 3 x 4 集合b x k 1 x 2k 1 1 a b a 求k的取值范围 2 a b a 求k的取值范围 含字母的集合运算忽视空集1 若a x x2 2x 3 0 b x ax 2 0 且a b b 求由实数a组成的集合c 误区警示 1 对并集 交集概念的理解 1 对于并集 要注意其中 或 的意义 或 与通常所说的 非此即彼 有原则性的区别 它们是 相容 的 x a 或x b 这一条件 包括下列三种情况 x a但x b x b但x a x a且x b 因此 a b是由所有至少属于a b两者之一的元素组成的集合 2 a b中的元素是 所有 属于集合a且属于集合b的元素 而不是部分 特别地 当集合a和集合b没有公共元素时 不能说a与b没有交集 而是a b 小结 返回 2 集合的交 并运算中的注意事项 1 对于元素个数有限的集合 可直接根据集合的 交 并 定义求解 但要注意集合元素的互异性 2 对于元素个数无限的集合 进行交 并运算时 可借助数轴 利用数轴分析法求解 但要注意端点值能否取到 题型探究 类型一并集的概念及简单运算 典例 1 2015 西宁高一检测 已知集合a x 1 x 3 b x 2 x 5 则a b a x 2 x 3 b x 1 x 5 c x 1 x 5 d x 1 x 5 2 2015 杭州高一检测 集合a 0 2 a b 1 a2 若a b 0 1 2 4 16 则a的值为 a 0b 1c 2d 4 解题探究 1 典例1中如何求两个连续数集的并集 提示 当两个集合是连续数集时可采用数轴分析法求它们的并集 2 典例2中集合a b中的元素与集合a b中的元素有什么关系 提示 两个集合并集中的元素来源于已知两个集合的元素 解析 1 选b 结合数轴分析可知 a b x 1 x 5 2 选d 因为a 0 2 a b 1 a2 a b 0 1 2 4 16 所以解得a 4 方法技巧 求集合并集的两个方法 1 若集合元素个数有限 可根据定义直接写出并集 2 若集合元素个数无限 可借助于数轴分析 求出并集 但应注意端点是否能取得 变式训练 已知a x 2 x 4 b x 3x 7 8 2x 则a b 解析 因为b x 3x 7 8 2x x 5x 15 x x 3 又因为a x 2 x 4 所以a b x x 2 答案 x x 2 类型二交集的概念及简单运算 典例 1 2014 北京高考 若集合a 0 1 2 4 b 1 2 3 则a b a 0 1 2 3 4 b 0 4 c 1 2 d 3 2 2014 新课标全国卷 已知集合m x 1 x 3 n x 2 x 1 则m n a x 2 x 1 b x 1 x 1 c x 1 x 3 d x 2 x 3 3 2015 邯郸高一检测 已知集合m x y x y 2 n x y x y 4 那么集合m n 解题探究 1 典例1中集合a与集合b的公共元素是什么 提示 两个集合的公共元素是1 2 2 典例2中求两个连续数集的交集借助的工具是什么 提示 当两个集合是连续数集时可采用数轴分析法求它们的交集 3 典例3中的两个集合中的元素的特点是什么 提示 两个集合的元素均是点集 解析 1 选c 集合a与集合b的公共元素是1 2 即a b 1 2 故选c 2 选b 借助数轴可得m n x 1 x 1 3 m n x y x y 2 x y x y 4 3 1 答案 3 1 方法技巧 求集合a b的步骤与注意点 1 步骤 弄清两个集合的属性及代表元素 把所求交集的集合用集合符号表示出来 写成 a b 的形式 把化简后的集合a b的所有公共元素都写出来即可 相同元素只写一个 2 注意 若a b是无限连续的数集 可以利用数轴来求解 但要注意 利用数轴表示不等式时 含有端点的值用实点表示 不含有端点的值用空心点表示 变式训练 2015 常德高一检测 已知集合m x 2x 4 0 n x x2 3x m 0 1 当m 2时 求m n m n 2 当m n m时 求实数m的值 解析 由已知得m 2 1 当m 2时 n 1 2 所以m n 2 m n 1 2 2 若m n m 则m n 所以2 n 所以4 6 m 0 m 2 类型三集合交 并运算的性质及综合应用 典例 已知集合a x x4 b x 2a x a 3 若a b b 求实数a的取值范围 解题探究 本例中a b b这一关系说明两个集合之间有什么关系 提示 这一关系说明集合b a 解析 当b 时 只需2a a 3 即a 3 当b 时 根据题意作出如图所示的数轴 可得解得a2 延伸探究 1 变换条件 本例若将条件 a b b 改为 a b a 其他条件不变 则实数a的取值范围又是什么 解析 当b 时 只需2a a 3 即a 3 此时满足a b a 当b 时 需满足2a a 3且a 34 解得a2 2 变换条件 本例若将条件 a b b 改为 a b r a b 其他条件不变 则实数a的取值范围又是什么 解析 由条件可知b 所以2a a 3 2a 1 a 3 4 此时a的值不存在 方法技巧 利用集合交集 并集的性质解题的方法及关注点 1 方法 利用集合的交集 并集性质解题时 常常遇到a b b a b a等这类问题 解答时常借助交集 并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解 如a b a a b a b b a b 2 关注点 当集合a b时 若集合a不确定 运算时要考虑a 的情况 否则易漏解 补偿训练 2015 临沂高一检测 已知方程x2 px q 0的两个不相等实根为 集合a b 2 4 5 6 c 1 2 3 4 a c a a b 求p q的值 解析 由a c a a b 得a 1 3 即方程x2 px q 0的两个根是1 3 由根与系数的关系得1 3 p p 4 1 3 q q 3 易错案例利用集合交 并集的性质求参数的值 典例 集合a x x2 3x 2 0 b x x2 2x a 1 0 若a b b 则a的取值范围是 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是忽视集合b为空集的可能性 实际上本例由于集合b中方程存在参数 集合b有取空集的可能 自我矫正 由题意 得a 1 2 因为a b b 所以b a 所以b 或b 1 或b 2 或b 1 2 当b 时 2 2 4 a 1 2 当b 1 时 解得a 2 此时b 1 符合题意 当b 2 时 此时a不存在 当b 1 2 时 此时a不存在 综上所述 a 2 答案 a a 2 防范措施 注意分类讨论的全面性在利用交集 并集的性质求参数值时 要注意讨论的全面性 不要遗漏特殊的情况 如本例中易漏掉b 的情况 另外涉及一元二次方程的根时 要关注 的范围 避免产生多解的错误 题型探究 类型一补集的简单运算 典例 1 2014 湖北高考 已知全集u 1 2 3 4 5 6 7 集合a 1 3 5 6 则 ua a 1 3 5 6 b 2 3 7 c 2 4 7 d 2 5 7 全集与补集 2 已知全集为r 集合a x x 1 或x 5 则 ra 3 已知全集u 集合a 1 3 5 7 ua 2 4 6 ub 1 4 6 则集合b 解题探究 1 典例1全集u中去掉集合a中的元素还剩哪些元素 提示 全集u中去掉集合a中的元素还剩2 4 7 2 典例2中求集合a的补集需借助什么工具 提示 可结合数轴利用定义求解 3 典例3全集u与集合a ua有什么关系 提示 u a ua 解析 1 选c 依题意 ua 2 4 7 2 在数轴上画出集合a 由数轴得 ra x 1 x 5 答案 x 1 x 5 3 a 1 3 5 7 ua 2 4 6 所以u 1 2 3 4 5 6 7 又 ub 1 4 6 所以b 2 3 5 7 答案 2 3 5 7 方法技巧 补集的求解步骤及方法 1 步骤 确定全集 在进行补集的简单运算时 应首先明确全集 紧扣定义求解补集 2 方法 借助venn图或数轴求解 借助补集性质求解 变式训练 设全集s 1 2 3 4 且a x s x2 5x m 0 若 sa 2 3 则m 解析 因为s 1 2 3 4 sa 2 3 所以a 1 4 即1 4是方程x2 5x m 0的两根 由根与系数的关系可得 m 1 4 4 答案 4 类型二集合交 并 补的综合运算 典例 1 设全集u m n 1 2 3 4 5 m un 2 4 则n a 1 2 3 b 1 3 5 c 1 4 5 d 2 3 4 2 2015 福州高一检测 已知全集u x x 4 集合a x 2 x 3 b x 3 x 2 求a b ua b a ub 解题探究 1 典例1中由条件m un 2 4 说明什么 提示 由条件m un 2 4 可说明集合m中一定含有2 4 集合n中不含2 4 2 典例2中解题的方法是什么 提示 结合定义 通过数轴分析求解 解析 1 选b 画出venn图 阴影部分为m un 2 4 所以n 1 3 5 2 利用数轴 分别表示出全集u及集合a b 先求出 ua及 ub 再求解 则 ua x x 2 或3 x 4 ub x x 3 或2 x 4 所以a b x 2 x 2 ua b x x 2 或3 x 4 a ub x 2 x 3 延伸探究 本例2条件不变 试求 u a b 和 u a b 解析 由例题可知a b x 3 x 3 所以 u a b x x 3 或3 x 4 又a b x 2 x 2 所以 u a b x x 2 或2 x 4 方法技巧 1 求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时 画数轴 这也是集合的图形语言的常用表示方式 可以使问题变得形象直观 要注意求解时端点的值是否能取到 2 求解集合混合运算问题的一般顺序解决集合的混合运算时 一般先运算括号内的部分 再计算其他部分 如本例2求 ua b时 可先求出 ua 再求并集 变式训练 设u 1 2 3 4 5 6 7 8 a 3 4 5 b 4 7 8 求 ua ub ua ub ua ub 解题指南 先计算括号内的部分 再进行其他运算 解析 ua 1 2 6 7 8 ub 1 2 3 5 6 ua ub 1 2 6 ua ub 1 2 3 5 6 7 8 补偿训练 设全集为r a x 3 x 7 b x 2 x 10 求 r a b 及 ra b 解析 全集r和集合a b在数轴上表示如下 由图知 a b x 2 x 10 所以 r a b x x 2或x 10 所以 ra x x 3或x 7 所以 ra b x 2 x 3或7 x 10 类型三与补集相关的参数值的求解 典例 设集合a x x m 0 b x 2 x 4 全集u r 且 ua b 求实数m的取值范围 解题探究 本例中条件 ua b 说明什么 提示 条件 ua b 说明两个非空集合 ua和b没有公共元素 可以利用数轴分析 解析 由已知a x x m 得 ua x x m 因为b x 2 x 4 ua b 所以 m 2 即m 2 所以m的取值范围是m 2 延伸探究 1 变换条件 本例将条件 ua b 改为 ua b 其他条件不变 则m的取值范围又是什么 解析 由已知得a x x m 所以 ua x x 2 解得m 2 2 变换条件 本例将条件 ua b 改为 ub a r 其他条件不变 则m的取值范围又是什么 解析 由已知a x x m ub x x 2或x 4 又 ub a r 所以 m 2 解得m 2 方法技巧 由集合的补集求解参数的方法 1