2016届原创§46 三角式的运算公式(四).ppt

一 三角式运算公式总述 二 三角式运算公式分论 2 作用 一角二名三结构 1 公式 同角关系 异角关系 2 诱导 归约 公式 1 同角基本关系式 4 倍角公式 3 和角及差角 加法 公式 6 辅助角公式 5 升幂及降幂公式 7 其他公式 万能公式 三倍角公式 和差化积与积化和差公式 46三角式的运算公式 四 五点做图象 代表 kT 一角二名三结构和差倍半是变角基本诱导是变名辅助升降变结构 三角概述 2 解三角形 正余弦定理知三有三 1 四个三 三角式运算公式总述 1 公式 2 作用 同角关系 异角关系 一角二名三结构 世上本无路走的人多了便有了路 三角运算公式关联图 一角二名三结构和差倍半是变角基本诱导是变名辅助升降变结构 作用 2 诱导 归约 公式 三角式的运算公式分论 1 同角基本关系式 4 倍角公式 3 和角及差角 加法 公式 6 辅助角公式 5 升幂及降幂公式 万能公式 三倍角公式 和差化积与积化和差公式 7 其他公式 异角 1 同角基本关系式 平方关系 倒数关系 商数关系 1 公式 注 记忆图 平方关系 阴影三角形 商数关系 边上左右邻居 倒数关系 对角线 1 同角基本关系式 1 公式 2 作用 变名变结构 注 经典题型 同角两弦的和差商积可互化 即 知一有n 桥梁 2 诱导 归约 公式 1 公式 2 作用 分公式 总公式 变角变名 1 周期性公式 2 诱导公式 分公式 共9组 函数y Acos x 的最小正周期 注 函数y Asin x 的最小正周期 函数y Atan x 的最小正周期 2 奇偶性公式 注 正弦函数y sinx是奇函数 余弦函数y cosx是偶函数 正切函数y tanx是奇函数 2 诱导公式 分公式 共9组 3 补角公式 同名互补正弦等 同名互补其他反 4 余角公式 互余异名值相等 1 公式 2 作用 变角变名变结构 3 和角与差角公式 加法公式 4 倍角公式 2 作用 1 公式 变角变名变结构 两弦式 正弦式 余弦式 降幂公式 1 公式 2 作用 降幂倍角 注 余弦倍角1变6同 异 三个2 升幂公式 2 作用 1 公式 升幂半角 两弦式 正弦式 余弦式 注1 余弦倍角1变6同 异 三个2 降幂公式 升幂公式 注2 降幂公式两端同时开方 即得半角公式 6 辅助角公式 注1 使用前提是同角少式多角成和谐 注2 a b的确定方法 注3 辅助角 的确定方法 1 2 a b分别是sin 与cos 的系数 asin 与bcos 之间是 连接 方法甚多凭爱好坐标定义是基础 数形结合两限制注释说明一般角 注 与正相反是余弦纵横相反 变 一 三角式运算公式总述 二 三角式运算公式分论 2 作用 一角二名三结构 1 公式 同角关系 异角关系 2 诱导 归约 公式 1 同角基本关系式 4 倍角公式 3 和角及差角 加法 公式 6 辅助角公式 5 升幂及降幂公式 7 其他公式 万能公式 三倍角公式 和差化积与积化和差公式 46三角式的运算公式 四 万能公式 倍角公式正切式勾股定理来记忆证明技巧数式换三角代数可互换 注1 记忆 设 则 2t 1 t2 1 t2 此记忆方法乃代数换元法 体现了三角式与代数式可代换 注2 万能公式的证明 三角变换的技巧 数式互换 练习1 万能公式 1 万能公式的证明 三角变换的技巧 数式互换 2 2008年浙江 若cosx 2sinx 则tanx A B 2C D 2 法1 理论上由 sin2x cos2x 1 cosx 2sinx cosx 可解得 sinx 可实际上 操作量 2 2008年浙江 若cosx 2sinx 则tanx A B 2C D 2 法2 将cosx 2sinx 两端平方得 即3sin2x 4sinxcosx 4 sin2x cos2x 即4sinxcosx sin2x 4cos2x 故4tanx tan2x 4 B 3sin2x 4sinxcosx 4 所以tanx 2 法3 由辅助角公式可得sin x 1 故x 2k k Z 故tanx tan 2k cot 2 2 2008年浙江 若cosx 2sinx 则tanx A B 2C D 2 其中tan 所以cot 2 法4 设f x cosx 2sinx 2 2008年浙江 若cosx 2sinx 则tanx A B 2C D 2 由辅助角公式得f x min 由和谐函数的对称性得 即 故tan2x 2tanx 0 即tanx 2或tanx 0 舍 即 三倍角公式 练习2 三倍角公式 3 三倍角公式的证明 sin3 cos3 3sin 4sin 2sin 1 sin 1 2sin sin sin 2 sin2 cos cos2 sin 2cos 1 cos 2 1 cos cos cos 2 cos2 cos sin2 sin 4cos 3cos 最小值 4 1994年全国 求的 析 因 故 所以当时 y取最小值 积化和差公式 加法公式联反用同名余弦异名正 和差化积公式 和差化积如何用必须同名是前提换角展开即可得和差半来再和差 注 5 求函数的值域 法1 的值域为 练习3 和差化积与积化和差公式 法2 的值域为 5 求函数的值域 解 6 求函数的值域 的值域为 7 求下列各式的值 sin250 cos250cos350 解 原式 cos400 cos600 cos800 cos1600 解 原式 半角公式 降幂开方即半角半角象限定符号 8 证明 证明 因 又因 故原命题成立 平方差公式 9 求函数的最大值 析 因 故 作