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第五章非寿险定价 第五章非寿险定价 5 1费率厘定的基本原理5 2个体风险的费率5 3分类费率5 4信度理论 5 1 1基本概念5 1 2费率厘定的基本方法5 1 3数据的一致性要求5 1 4最终赔款的预测和趋势分析 5 1费率厘定的基本原理 5 1 1基本概念 风险单位赔款和理赔费用索赔频率索赔强度纯保费费用 利润与安全附加保险费率赔付率 风险单位 exposureunit 一次事故可能造成的最大损失范围中保险公司所承担的责任 它是费率厘定的基本单位 不同的保险项目有不同的风险单位 如 汽车险中 风险单位常取为 一个车年 1辆保险期为12个月的投保车辆是1个车年 1份为3辆汽车提供6个月保险的保单包含了1 5个车年 风险单位数 一个风险的规模大小 如 一份1年期保单承保了200辆汽车组成的车队 则该保单的风险单位数200个车年 1 风险单位 承保风险 writtenexposures 在一定时期内所签保单的所有风险单位数量 承担风险 到期风险 earnedexposures 在一定时期内实际承担责任的风险单位数量 有效风险 in forceexposures 在一个给定时刻的风险单位数量 如 7月1日承保的一份1年期保单 从7月1日到12月31日承保风险为1 承担风险为0 5 而在12月31日有效风险为1 1 风险单位 上表为4份保险期限均为12个月的1辆车的汽车保险单 4份保单的生效日期不同 注意 有效风险不管剩余期限的长度 把每份到2011年1月1日依然有效的 以12个月为期限的保单计为一个完整的车年 表5 1风险单位数统计量的比较 赔款 赔付额 losses 保险人根据保单条款支付给被保险人的金额 已决赔款 保险公司已支付给索赔人的赔款 未决赔款 保险事故已经发生 但由于各种原因 如报案延迟或理赔延迟 保险公司尚未支付给被保险人的赔款 表现为未决赔款准备金的形式 理赔费用 lossadjustmentexpenses 直接理赔费用 与特定索赔直接相联系的费用 如 察勘费 辩护费等 间接理赔费用 与特定索赔不直接相联系的费用 如 理赔部门管理人员的薪资 2 赔款和理赔费用 索赔 claim 被保险人或受害的第三者根据保险合同的规定提出的赔付要求 提出索赔的个体称为索赔人 claimant 事故日期 accidentdate 引起索赔的事故发生日期 报告日期 reportdate 保险人收到索赔报告的日期 报告延迟 理算延迟 结案延迟 如 2008的12月25日发生保险事故 被保险人在2009年1月5日提出索赔 按事故日期统计 这次事故应计入2008年的索赔次数 若报告日期统计 则应计入2009年的索赔次数 3 索赔频率 索赔频率 claimfrequency 一定时期内每个风险单位的索赔次数 计算公式 其中 F为索赔频率 N为索赔总次数 E为风险单位总数 如 一个汽车保单在2009年有5000个车年风险单位数 发生的索赔次数为800次 则在2009年每个风险单位索赔频率为800 5000 0 16 3 索赔频率 索赔强度 claimseverity 每个风险单位在每次索赔中的赔款 计算公式 其中 S为索赔强度 L为赔款总额 N为索赔总次数 4 索赔强度 纯保费 purepremium 每个风险单位的平均赔款金额 计算公式 其中 P为纯保费 L为赔款总额 E为风险单位数 纯保费也可表示为 即纯保费等于索赔频率与索赔强度的乘积 5 纯保费 计算纯保费的步骤 1 信息搜集 2 数据分析 分析索赔频率与索赔金额 考虑风险单位数 索赔原因 经济变化趋势等因素 3 估计索赔额 包括投资盈利率 通货膨胀率 宏观环境变化 保单条款变化等 4 分析纯保费的灵敏度 注 若保单条款中有免赔额或最高赔偿限额等条款 则在计算纯保费时也应考虑 有限期望函数 令X表示一个非负随机变量 其密度函数和分布函数分别为f x 和F x 对于给定的实数d 0 定义有限期望函数 X d 表示当实际损失大于d时 按d计算 即在计算上述期望时 损失被限定在d以内 免赔额 免赔额 保险人对低于免赔额的损失不予赔偿 设X表示被保险人的损失 Y表示保险人的赔款 d表示免赔额 则 赔偿限额 赔偿限额 保险人对一次索赔的最大可能赔款 在赔偿限额条件下 保险人对于高于赔偿限额的损失不予赔偿 设赔偿限额为u 则Y的分布函数和密度函数分别为 共同保险 共同保险 对每一次损失 保险人只赔偿一定的比例 而被保险人自负剩余的损失 若保险人承担的比例为 0 1 则 保险人的平均赔款为 6 费用 利润与安全附加 费用 expenses 保险公司支出的如承保费用 营销费用 核保费用 管理费用 变更费用 退保费用 理赔费用等 可变费用 variableexpenses 随保单价格的变化而变化的费用 固定费用 fixedexpenses 与保单价格无关的费用 利润附加 反映了保险公司经营保险业务获取的利润水平 通常为保费的百分比 安全附加 保险公司承保的风险并不一定等于其期望值 只有附加一定的安全保费 保险费才能应付未来索赔损失的需要 7 保险费率 保险费率 premiumrate 简称费率 是一个风险单位的保费 保险费 premium 由保险费率可以计算出一份保单的保险费 由纯保费和附加保费两部分构成 承保保费 writtenpremium 承担保费 已赚保费 earnedpremium 有效保费 in forcepremium 保险费 毛保费 纯保费 附加保费 例如 设风险单位是一辆保险期为1年的汽车 单位保费为112 90元 若某份保单有15辆汽车 则其保费为 112 90 15 1693 50若该保单是从2009年7月1日开始 承保时间为12个月 则到2009年12月31日为止 各类保费如下 7 保险费率 8 赔付率 赔付率 lossratio 赔款与保费之比 注 计算赔付率时 赔款可以是已付赔款或未付赔款 保费可以是承保保费或已赚保费 所以对于不同的保费和赔款的选择 会有不同的赔付率的计算结果 5 1 2费率厘定的基本方法 1 纯保费法2 赔付率法3 两种方法比较 1 纯保费法 纯保费法 在纯保费上附加各种必要的费用和利润 可以弥补期望索赔与费用支出 并能提供期望利润 计算公式 其中 R 每风险单位的费率 P 纯保费 F 每风险单位的固定费用 V 可变费用因子 Q 利润因子 从而有 其中 RV为可变费用 RQ为利润 例5 1 假设某险种的保费 各种费用及费用因子如下表所示 试按纯保费法计算毛保费 按照纯保费法 有故毛保费为 该毛保费的组成部分为 例5 1答案 2 赔付率法 赔付率法 根据赔付率计算费率的调整幅度 费率调整因子 将当前毛保费调整得到新的毛保费 赔付率法中 新保费等于费率调整因子与当前保费乘积 计算公式 其中 R 新厘定的毛保费 R0 当前的毛保费 A 费率调整因子 A W T W 经验损失率 T 目标损失率 经验损失率 经验期的最终赔款与等水平已赚保费的比率 等水平已赚保费 是用当前费率水平计算的经验期的已赚保费 在实务中 经验期因险种不同而不同 通常为3 5年 经验损失率可写为 其中 L 经验期的最终赔款 E 经验期的风险单位数 R0 当前费率 经验损失率 目标损失率 新费率所要实现的最终赔款 可表示为 其中 L 经验期的最终赔款 E 经验期的风险单位数 R 新费率 目标损失率 具体有 V 佣金 税收 执照费用 其他承保费用 承保保费 一般管理费用 已赚保费 其中 V 可变费用因子 Q 利润附加因子 G 每风险单位的固定费用F与纯保费P之比 或者 是保险人的固定费用与其赔款之比 目标损失率 例5 2 假设在过去一年内 某险种的收入和支出数据如下 试按赔付率法计算费率调整因子A 例5 2答案 总赔款和费用 56990 超出了已赚保费 54160 因此必要对正使用的费率是否充足进行分析 首先计算目标赔付率 即 其中 V 可变费用因子 Q 利润附加因子 G 每风险单位的固定费用与赔款之比 通常假设间接理赔费用为固定费用 因此 例5 2答案 可变费用因子是可变费用与保费之比 佣金 税金 其他承保费用是基于承保保费而支付的 应以承保保费为分母 一般管理费用与承保保费没有直接关系 通常用已赚保费作为分母 计算可变费用因子如下 假设利润附加因子为零 即Q 0 这时若进一步假设经验赔付率为W 80 则对当前费率总水平的费率调整因子为 A W T 1 2102即当前费率水平应该上调21 02 例5 2答案 3 两种方法比较 若对相同的经验数据采用相同的假设 则纯保费法与赔付率法得到的结果是一致的 3 两种方法比较 纯保费法与赔付率法在实践应用中的区别如下 纯保费法基于每个风险单位的赔款 即纯保费 计算毛保费 若确定风险单位较困难或风险单位在各危险单位间有差异 则不宜使用纯保费法 赔付率法需要已知当前的费率及保费的历史记录 因此赔付率法不适用于新业务的费率厘订 赔付率法需要计算经验赔付率 而经验赔付率是经验期的赔款和等水平已赚保费之比 如果该险种在经验期的费率变化较大 计算等水平已赚保费很困难时 纯保费法更合适 两种方法的适用范围 5 1 3数据的一致性要求 费率厘定时 要保证赔款 风险单位 保费之间的一致性 对观察数据中出现的不一致要进行调整 导致数据出现不一致性的因素有 1 经验期2 再保险3 保险责任4 责任限额5 保险费率 1 经验期 经验期的选择 要保证对未来的损失趋势具有良好预测能力 要根据险种性质确定经验期 对于长尾业务 经验期要足够长 否则对最终赔款的估计会产生较大的偏差 对于短尾业务 经验期可以选择最近的一个或两个时间 以保证观察数据最能代表当前的损失趋势 2 再保险 再保险指原保险人通过向再保险人支付再保险费 将部分损失转嫁给再保险人的一种风险转移方式 一般情况下 费率分析是基于直接的保费和损失数据 而不考虑再保险的影响 如果再保险的成本很高 则可以将其作为独立的费用项目进行分析 3 保险责任 要考虑不同的保险责任对保险费率的影响 对于不同保险责任的保单 其保费 赔款和风险单位等数据一定要分开分析 如 汽车第三者责任保险费率中 不同责任限额的保单应该分开分析 职业责任保险费率中 不同承保基础 如以索赔提出为基础或以事故发生为基础 的保单也应分开分析 4 责任限额 在责任保险中 通常会给出基本限额的费率和其他增高限额的费率系数 用基本限额的费率乘以增高限额的费率系数 可得到增高限额的费率 增高限额的费率系数随着时间的推移会不断变化 尤其当通货膨胀影响购买 人们倾向于购买更高限额的保单 在责任保险的费率分析中 应该将不同限额下的保费和赔款等数据调整到限额水平上 5 保险费率 通常经验期包括若干年 则经验期初的费率与经验期末的费率一般不相等 此时 如果应用赔付率法厘定保险费率 则需要将整个经验期的费率都调整当前费率 并在此基础上计算等水平已赚保费 等水平已赚保费 均衡保费 on levelpremium 将经验期的已赚保费 根据当前费率水平调整得到的保费 求均衡保费的方法有 1 风险单位扩展法 2 平行四边形法 1 风险单位扩展法 风险单位扩展法 extendingexposuremethod 将过去经验期内所承保的风险单位 按照当前费率水平重新计算保费 风险单位扩展法的计算 必须将过去经验期承保的满期风险单位 按照现在的费率水平重新逐单计算每一笔满期保费 优点 计算精确缺点 花费大量时间 例5 3 已知过去经验期承保的满期风险单位数为 当前的费率水平为 单位 元 试用风险单位扩展法计算均衡保费 例5 3答案 按风险单位扩展法 将风险单位数与当前费率水平相乘 得到各风险单位的当前保费 单位 元 则均衡保费为 594000 1044000 1506000 3144000 元 2 平行四边形法 平行四边形法 parallelogrammethod 假设风险单位在经验期内均匀分布 根据简单的几何关系 将各日历年的已赚保费调整到当前费率水平 优点 计算简单 省时 尤其适用于满期风险单位不易得到时 缺点 前提假设是签单业务和保费收入是均匀的 若不符合假设 则计算结果不正确 例5 4 设经验期为2001年 2002年 2003年 每份保单保险期限均为12个月 设各年已赚保费为 万元 试用平行四边形法计算均衡保费 过去几年的费率调整情况如下 例5 4答案 将费率变化情况绘成下图 其中横轴表示保单生效日期 纵轴表示保单已经历风险的比例 图1 不同时期的相对费率水平 例5 4答案 如 2001日历年的已赚保费由两部分构成 一部分 左上三角形 按相对费率1计算 其他部分按相对费率1 12计算 设2001年承保的业务是均匀分布的 则在2001年的已赚保费中 有12 5 的已赚保费 左上三角形的面积0 5 0 5 2 0 125 按相对费率1计算 另外的87 5 应按相对费率1 12计算 例5 4答案 2001年平均相对费率水平为 1 12 5 1 12 87 5 1 105当前相对费率水平为1 232 等水平因子为 1 232 1 105 1 11492001年已赚保费乘以等水平因子得到2001年等水平已赚保费 1200 1 1149 1337 9 万元 上表得到各年的等水平已赚保费 将其相加即为整个经验期的等水平已赚保费4376 7万元 5 1 4最终赔款的预测和趋势分析 1 最终赔款的预测2 损失趋势分析 1 最终赔款的预测 无论是纯保费法还是损失率法 都需要根据经验资料估计未来的损失 预测最终损失是费率厘定中最重要的部分 预测的精确度都将影响最终厘定费率的充分性 预测最终损失的方法 损失进展法 赔款进展法 lossdevelopmentmethod 损失进展法通过流量三角形 损失三角形 losstriangle 进行计算 损失进展法 损失发展法的基本假设 过去损失经验会重复发生在未来 因此可从过去损失经验预测未来的损失 其计算过程如下 1 将过去损失资料按事故年度 保单年度或报告年度整理成流量三角形 2 求各期之间的损失进展因子 3 求各期至最终的损失进展因子 4 求各年度的最终赔款金额 已知某险种累积已付赔款流量三角形如下 表5 1累积已付赔款的流量三角形 例5 5 1 计算相邻两个进展年之间的已付赔款的增长比率 即损失进展因子 表5 2累积已付赔款的进展因子 例5 5 2 加权平均值的计算 是以第0个进展年的累积已付赔款为权数的加权平均数 即 加权平均值 实际就是第1个进展年的累积已付赔款之和与第0个进展年的累积已付赔款之比 即 最后一行的选定值 是根据加权平均值 以及考虑已付赔款和经济变化后定出来的 例5 5 3 根据选定值 计算出各个事故年的最终赔款 表5 3累积已付赔款的预测值 例5 5 2 损失趋势分析 获得最终赔款或索赔次数的预测值 还需要分析索赔频率或索赔强度的变化趋势 并应用变化趋势对预测值进行调整 反映损失变化的方法是对观察数据拟合适当曲线 把期望赔款 纯保费 分解为索赔频率和索赔强度乘积 对索赔频率和索赔强度的变化趋势分别分析 一般采用线性模型或指数模型来拟合数据 线性模型指数模型 5 2个体风险的费率 5 2 1表定费率5 2 2经验费率5 2 3综合费率5 2 4追溯费率5 2 5个体风险费率厘定方案设计 5 2 1表定费率 个体风险的费率 指根据个体风险自身的风险特征所厘定的费率 表定费率 schedulerating 是唯一一种不直接反映个体风险索赔经验的费率 它认为某些特征对个体风险的损失经验有重要影响 但是这些特征没有在实际的损失经验中得到反映 表定费率采用在基础费率上增加或减少一定百分比 其费率增加或减少的百分比一般不超过一定限度 增减的幅度通常需要承保人的经验判断 表5 4美国保险服务局 InsuranceServiceOffice ISO 1997年制定的普通责任保险表定费率 5 2 2经验费率 经验费率 experiencerating 指根据个体风险的损失经验厘定其费率的一种特殊形式 经验费率法将个体风险在以前时期的经验损失 和直接理赔费用 与期望损失进行比较 通过这两项的加权平均估计个体风险的费率 损失经验期 通常是2 5年 期限越短 对于影响损失经验的变化越敏感 风险基础 选择反映风险的潜在损失 和直接理赔费用 期望损失是风险基础的函数 反映了风险基础的大小 可信度 赋予经验损失的权重 也称作信度因子 5 2 3综合费率 综合费率 compositerating 对所有的保险责任在同一个风险基础上厘定费率 而不需要对不同的保险责任选择不同的风险基础 综合费率法主要用于为大而复杂的个体风险厘定费率 不同的保险公司可以使用各种不同的因子 包括赔款和直接理赔费用因子 赔款趋势因子 风险趋势因子和期望赔付率因子等 美国保险服务局 InsuranceServiceOffice ISO 的一个综合费率方案 1 保险责任普通责任 医院职业责任 汽车第三者责任 汽车车体损失 玻璃单独破碎损失 2 经验期应有五年的经验期 这个经验期的截止日期要比综合费率应用日期提前半年或一年 如果数据有限 最短的经验期也应有三年 3 损失经验最终赔款和直接理赔费用的预测值H A B C D E 其中 A 已报案的赔款和直接理赔费用 B 赔款和直接理赔费用的进展因子 C 从索赔基础到事故基础的转换系数 D 赔款和直接理赔费用的趋势因子 调整到当前年份 E 反映其他各种变化的因子 美国保险服务局 InsuranceServiceOffice ISO 的一个综合费率方案 续 4 经验期的调整保费 M H I J其中 H 最终赔款和直接理赔费用的预测值 经调整 I 从事故基础到索赔基础的转换系数 J 期望赔付率 含直接理赔费用 5 调整综合风险基础 N P Q R其中 P 经验期的综合风险基础 Q 风险趋势因子 R 反映其他各种变化的因子 6 综合费率 M N其中 M 经验期的调整保费 N 调整综合风险基础 7 最终保费 经审核的保险期间的风险基础 综合费率 5 2 4追溯费率 追溯费率 retrospectiverating 应用新费率有效期的经验数据确定保险成本 追溯费率法在保险期限开始时确定一个预付保费 预付保费是对最终保费的一个估计值 可以根据经验费率法确定 追溯费率的调整可以在保险期限结束后定期进行 调整次数可以事先约定 也可以由保险人和被保险人协商确定 5 2 4追溯费率 以某汽车车损险应用追溯法为例 该车损险保险期限一年 保单以事故发生为基础签订 在保险期限开始时从每个参保单位收取的预付保费根据期望保险成本计算 并根据每个参保单位的期望车辆数进行分摊 对不同的车型不做区分 假设追溯保费的调整每年只进行一次 且根据保险期限开始后第18个月的数据进行调整 未规定保费调整的上下限 为便于计算 所有的损失经验均赋予0 25的可信度 表5 5预付保费 注 3 合计项400000是预付保费 根据 2 分摊给各个参保单位 表5 6追溯费率 说明 3 根据 2 分摊 5 根据 4 分摊 7 3 1 6 5 6 5 2 5个体风险费率厘定方案设计 确定费率厘定需要实现的各种目标 确定需要分摊的各种成本项目 确定可以获得何种类型的风险基础和损失经验数据 确定费率厘定方案是使用前瞻法 追溯法 还是它们的组合 如果使用前瞻法 确定是使用表定费率 经验费率 综合费率 还是它们的组合 设计费率厘定方案中的表定费率 确定损失经验 包括损失经验的类型 经验期和基本限额等 5 2 5个体风险费率厘定方案设计 确定风险基础 包括风险基础的类型和时期等 确定可信度 确定保费调整的上限 对费率厘定方案进行审查 看是否满足预订目标和一个优良费率方案应具备的基本特征 并进行修正 应用样本数据检查费率厘定方案运行情况并进行修正 至少每三年对费率厘定方案进行一次检查 确保满足当前的需要 分类费率 classrelativities 也称为相对费率或级别费率 是将具有同一成本的被保险人分为同一类或同一组 订立价格 为简化分类费率的计算 一般取某一个类别的费率作为基础费率 将其他类别的费率与基础费率联系在一起 用类别相对数来表示 类别相对数的两种形式 相加关系 基础类别的费率为0 其他类别的费率在此基础上增加一定的量 相乘关系 基础类别的费率为1 其他类别的费率是基础类别的若干倍 5 3分类费率 例如 汽车保险中 某个地区多达50个区域 需要考虑的风险因素有驾驶员和车辆的情况 每个因素又有若干个类别 如 驾驶员的性别有两个类别 男 女 驾驶员的年龄有三个类别 青年 中年 老年 假设共有200个分类 通常假设50个区域和200个分类之间是相互独立的 则如果选定了基础费率 那么确定200 50 250个相对费率 肯定比确定200 50 10000个费率耗费的时间少得多 分类费率 类别相对数的计算方法 1 单项分析法2 线性回归法3 边际总和法4 广义线性模型 1 单项分析法 单项分析法 one wayanalysis 每次仅计算一个分类变量的不同水平所对应相对费率 如 在汽车保险中 仅考虑车型和地区这两个分类变量 根据单项分析法 首先计算车型的相对费率 然后再计算地区的相对费率 两种方法 纯保费法 根据最终赔款与风险单位数之比计算相对费率 赔付率法 根据各风险类别的经验赔付率厘定相对费率 将各类别的等水平已赚保费调整到基础类别水平上 再分别计算经验赔付率 各类别的经验赔付率除以基础类别经验赔付率得到相对费率 例5 6 损失率法 已知有三个费率类别 数据如下 试计算新的类别相对数 例5 6 损失率法 新的相对数的计算如下表 例5 6 损失率法 表中计算如下 列 1 三个类别 其中类别1为基础类别 列 2 当前各个类别关于基础类别的相对数 列 3 通过风险扩展法或平行四边形法得到的经验期内的均衡已赚保费 列 4 各个类别的均衡已赚保费在基础费率水平下的值 等于 3 2 例5 6 损失率法 列 5 已知的各个类别的经验赔款 列 6 各个类别基础费率水平下的经验损失率 等于 5 4 列 7 各个类别关于基础类别的新的相对数 计算方法 类别2关于类别1的新的相对数 1 0050 0 7657 1 3125类别3关于类别1的新的相对数 1 2637 0 7657 1 6504 2 线性回归法 最常见的多元回归模型是加法线性回归模型 即线性回归法 将因变量 索赔频率 索赔强度 纯保费等 表示为若干个自变量 分类变量 的线性组合 对第i份保单 有 yi 第i份保单的因变量取值 xji 第i份保单的第j个自变量的取值 j 为常数 表示第j个自变量对模型的贡献 i 随机误差项 令下式最小进行求解 例5 7 线性回归法 某保险公司承保的400份汽车保险单根据两个变量 地区 和 车型 分组的结果见表5 4 表5 6 表5 4各组的风险单位数 保单年数 nij 例5 7 线性回归法 表5 5各组的赔付成本 千元 Cij 例5 7 线性回归法 表5 6各组的经验纯保费 yij 例5 7 线性回归法 根据下式对各组的纯保费进行拟合 为简便 令则有 例5 7 线性回归法 为保证参数估计结果的唯一性 令 解方程组 可得各组的相对费率 根据相对费率 得到各组的纯保费拟合值见表5 7 如 地区A 与 车型1 对应的纯保费为 131 89 6 01 11 03 114 85 例5 7 线性回归法 表5 7纯保费的拟合值 3 边际总和法 边际总和法 marginaltotalmethod 根据保费和赔款的边际总和相等的原则厘定相对费率的方法 也称为平衡法 balanceprinciplemethod 为简便起见 假设只有2个分类变量 令纯保费边际总和等于经验赔付成本 由如下递推公式求出相对费率 例5 8 边际总和法 应用边际总和法对例5 7进行拟合 令地区的初始相对费率为 第一次迭代结果为 例5 8 边际总和法 各次的迭代结果见表5 8 可以看出 迭代5次即可获得较满意结果 车型 和 地区 两个分类变量的相对费率为 表5 8边际总和法的各次迭代结果 例5 8 边际总和法 由此得到各组纯保费的拟合值见表5 9 如 地区A 和 车型1 对应的纯保费为 131 89 0 9542 0 9163 115 32 表5 9边际总和法的纯保费拟合值 4 广义线性模型 广义线性模型 generalizedlinearmodels GLM 假设因变量来自于指数型分布族 方差随均值而变化 自变量通过线性相加关系对因变量期望值产生影响 其假设为 1 随机成分 因变量或误差项的概率分布 因变量Y的每个观察值Yi相互独立且服从指数型分布族中的一个分布 2 系统成分 自变量的线性组合 表示为 3 联结函数g 单调可导 它建立了随机成分与系统成分之间的关系 即 4 广义线性模型 指数型分布族 其概率密度函数可表示为 其中 1 a 大于零 且为连续函数 通常的形式是 2 b i 的二阶导数存在且大于零 3 c yi 与参数 i无关 指数型分布族的常见分布 正态分布 泊松分布 二项分布 伽玛分布 逆高斯分布等 4 广义线性模型 表5 10常见的联结函数 例5 9 广义线性模型 应用广义线性模型对例5 7进行拟合 假设纯保费服从伽玛分布 使用对数联结函数 则估计纯保费的广义线性模型为 应用SAS软件求得参数估计值 由此得到各组纯保费的拟合值见表5 10 例5 9 广义线性模型 表5 10广义线性模型的纯保费拟合值 5 4信度理论 5 4 1信度理论概述5 4 2贝叶斯模型5 4 3古典信度模型5 4 4B hlmann信度模型 5 4 1信度理论概述 信度理论的思想 在数据资料比较缺乏的时候 必须借鉴其他相关资料进行损失数据的预测 如 给一个有10辆汽车的车队厘定费率时 需要他们的出险记录 该车队是一个刚成立5年的新车队 过去5年中 该车队每年的平均损失金额是16万元 但是在整个社会中 所有车队的年平均损失金额是25万元 则厘定该车队费率时应采用哪个数据更加合理呢 5 4 1信度理论概述 答案可能会有三个 答案1 选择16万元 因为这个数据与我们要估计的数据关联性最大 答案2 选择25万元 因为这个数据的样本最合理 答案3 两者都考虑 将两者综合起来 即纯保费 Z 16 1 Z 25 但是其中的系数Z应该为多大呢 这里的系数Z就称为信度 credibility 也称为信度权重 信度因子或可信因子 0 Z 1 5 4 1信度理论概述 信度 指精算师在厘定过程中认为某特定实体的经验数据所具备的可靠性 若一组经验数据由于数据量太小或者所包含的信息不足以达到 完全可信 但又具有一定的可信性 则可对这种数据给予一定的信度 然后再结合其他资料进行综合计算 信度理论 研究这种信度加权过程的理论 包括信度权重公式的推导 以及对公式中出现的参数进行估计等 只有正确选择信度Z 才能保证调整后的保费接近于真实的风险水平 当Z 1时 称为完全信度 此时只需根据实际损失数据计算保费 表明实际损失数据提供的信息相当充分 足以获得正确的估费 当Z 0时 则只能基于相似风险的数据 当0 Z 1时 称为部分信度 此时需要研究如何合理确定Z值 5 4 1信度理论概述 信度理论萌芽于20世纪20年代 最早的信度理论被意外险精算师用于计算劳工赔偿保险费率 信度理论有两种方法 古典信度模型 也称有限波动信度模型 试图控制数据中的随机波动对估计值的影响 最小平方信度模型 也称为最精确信度模型 试图使估计误差尽可能的小 B hlmann信度模型B hlmann Straub信度模型 5 4 1信度理论概述 信度理论在精算科学中的应用分为两方面 横向应用估计某保险人 某风险类型或某个区域的索赔频率 索赔额或总损失时 若最相关的数据不充分 则将该数据与从更广泛的群体中得到的辅助性数据加以求和 辅助性数据可由其他风险类别 地区或其他保险人的经验得到 纵向应用主要是时间序列 将序列本身早期的数据作为辅助数据 与最新的观察值作加权平均 得到所需的估计值 5 4 1信度理论概述 5 4 2贝叶斯模型 1 泊松 伽玛模型2 正态 正态模型 1 泊松 伽玛模型 要预测某特定风险在下一年的损失发生次数的期望X 假设每年的损失发生次数服从Possion 未知 服从Gamma 因此可以把伽玛分布看作是 的先验分布 设该特定风险在过去n年的损失发生次数的经验数据为x1 x2 xn 记作x xi独立同分布 则 取决于 当 一定时 服从Possion 的先验分布为Gamma 若采用平方损失函数 则X的估计值为后验分布的期望 又知道 的后验分布是 故 的估计值为 1 泊松 伽玛模型 可以看到 若n 0 即没有有关特殊风险的经验数据 则Z 0 若n非常大 则Z趋向于1 只需要特殊风险的经验数据即可 若 很大 表示 的方差很小 相似风险的方差很小 数据可用度高 从而Z很小 写成信度公式为 其中 信度 1 泊松 伽玛模型 例5 10 设某险种每年的损失发生次数服从Possion 已知 服从Gamma 100 1 该险种在过去10年内损失发生次数的经验数据见下表 在泊松 伽玛模型中 信度因子则当n 1 2 10时 计算得到不同的Z值 从而预测损失发生次数 当n逐渐增大时 信度因子Z也逐渐增大 预测值与实际值越来越接近 若 服从Gamma 500 5 重新计算并比较 可以发现 由于Gamma 500 5 中 的值较大 表示 的方差较小 故该险种经验数据的可用度高 Z值较小 2 正态 正态模型 要预测某特定风险在下一年的损失金额的期望X 假设每年的损失金额服从正态分布N 12 未知 服从正态分布N 22 因此可以把正态分布N 22 看作是 的先验分布 设该特定风险在过去n年的损失金额的经验数据为x1 x2 xn 记作x xi独立同分布 则 取决于 当 一定时 服从N 12 的先验分布为N 22 若采用平方损失函数 则X的估计值为后验分布的期望 又知道 的后验分布是 故 的估计值为 2 正态 正态模型 写成信度公式的形式为 其中 信度 实际是特殊风险经验数据的期望 是相似风险的期望 2 正态 正态模型 可以看出 若n 0 表示没有有关特殊风险的经验数据 则信度Z 0 若n非常大 则Z趋向于1 只需