人教B版选修11 第三章 导数及其应用 章末复习 学案.docx

章末复习学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题1在xx0处的导数(1)定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线斜率2基本初等函数的导数公式原函数导函数yc(c为常数)y0yxnynxn1(n为自然数)ysin xycos xycos xysin xyax(a0，a1)yaxln ayexyexylogax(a0且a1，x0)yyln xy3.导数的运算法则和差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)商的导数(g(x)0)4.函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数如果在(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间内单调递增；f(x)0，则f(x)在此区间内单调递减(2)函数的极值与导数已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点5求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.类型一导数几何意义的应用例1已知函数f(x)xaln x(ar)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点a(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值考点切线方程的求解及应用题点求在某点的切线方程解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0), f(1)1，f(1)1, yf(x)在点a(1，f(1)处的切线方程为y1(x1), 即xy20.(2)由f(x)1，x0.当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值； 当a0时，由f(x)0，解得xa.当x(0，a)时，f(x)0，f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值综上，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(0，)反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一类类型跟踪训练1已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由考点导数的应用题点与切线有关的问题解(1)因为f(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以3a66a0，得a2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线yg(x)相切的直线方程设切点坐标为(x0,3x6x012)，又因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)将点(0,9)代入，得93x6x0126x6x0，所以3x30，得x01.当x01时，g(1)12，g(1)21，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y12x9；当x01时，g(1)0，g(1)9，切点坐标为(1,9)，所以切线方程为y9.下面求曲线yf(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.当x0时，f(0)11，此时切线方程为y12x11；当x1时，f(1)2，此时切线方程为y12x10.所以y12x9不是公切线由f(x)0，得6x26x120，解得x1或x2.当x1时，f(1)18，此时切线方程为y18；当x2时，f(2)9，此时切线方程为y9，所以y9是公切线综上所述，当k0时，y9是两曲线的公切线类型二函数的单调性与导数例2已知函数f(x)x2aln x(ar)(1)若f(x)在x2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间考点题点解(1)f(x)x，因为x2是一个极值点，所以20，则a4.此时f(x)x，因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点(2)因为f(x)x，x(0，)，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，f(x)x，当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为(，)；单调递减区间为(0，)综上，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集跟踪训练2已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在r上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由考点利用函数的单调性求变量题点已知函数的单调性求参数解(1)求导得f(x)3x2a，因为f(x)在r上是增函数，所以f(x)0在r上恒成立即3x2a0在r上恒成立，即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在r上单调递增，符合题意所以a的取值范围是(，0(2)假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，则f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x23，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为3，2)和，单调递减区间为.又f(2)13，f，f(3)8，f(1)4，所以f(x)在区间3,1上的最大值为13.反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者跟踪训练3已知函数f(x)ln x，其中ar，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值考点函数的极值与导数的关系题点含参数的函数求极值解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知，f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数所以函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5，无极大值类型四分类讨论思想在导数中的应用例4已知函数f(x)1.(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设m0，求f(x)在m,2m上的最大值考点导数的综合应用题点导数的综合应用解(1)函数f(x)的定义域是(0，)由已知得f(x)，令f(x)0，得1ln x0，所以xe.因为当0x0，当xe时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，e上单调递增，在(e，)上单调递减(2)由(1)知函数f(x)在(0，e上单调递增，在(e，)上单调递减，当02me，即0m时，f(x)在m,2m上单调递增，所以f(x)maxf(2m)1；当me时，f(x)在m,2m上单调递减所以f(x)maxf(m)1；当me2m，即me时，当mx0，当ex2m时，f(x)3，试判断f(x)在(0,1上的单调性，并证明你的结论；(3)是否存在a，使得当x(0,1时，f(x)有最大值1?考点导数的综合应用题点导数的综合应用解(1)设x(0,1，则x1,0)f(x)为偶函数，f(x)f(x)x3ax，即当x(0,1时，f(x)x3ax.(2)f(x)在(0,1上单调递增，证明如下：由(1)知f(x)3x2a，x(0,1，3x23,0)又a3，a3x20，即f(x)0.f(x)在(0,1上单调递增(3)由(2)知当a3时，f(x)在(0,1上单调递增，f(x)maxf(1)a11.a2与a3矛盾当0a3时，令f(x)a3x20，得x或x(舍去)当x时，f(x)0，f(x)在上单调递增当x时，f(x)0，f(x)在上单调递减又函数f(x)在x处连续，f(x)maxf3a1，解得a.当a0时，f(x)a3x20，函数f(x)x3ax在1，)上单调递增，则a的最大值为 考点利用函数的单调性求变量题点已知函数的单调性求参数答案3解析由题意知，f(x)3x2a0(x1)，a3x2，a3，a的最大值为3.5设f(x)aln xx1，其中ar，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值考点函数的极值与导数的关系题点含参数的函数求极值解(1)f(x).由题意知，曲线在x1处的切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知，f(x)ln xx1(x0)，则f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3，无极大值1利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0)明确“过点p(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点p(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点2借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体3利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题一、选择题1已知曲线yx4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，则a等于()a9 b6 c9 d6考点切线方程的求解及应用题点根据切点或切线斜率求值答案d解析y4x32ax，由导数的几何意义知在点(1，a2)处的切线斜率为ky|x142a8，解得a6.2yxsin x在(0，)上是()a单调递减函数b单调递增函数c.上是增函数，上是减函数d.上是减函数，上是增函数考点利用导数研究函数的单调性题点根据导数判定函数的单调性答案b解析y1cos x，又x(0，)，y0，函数为增函数，故选b.3函数f(x)ln xx2的图象大致是()考点函数变化快慢与导数的关系题点由函数解析式确定其图象答案b解析f(x)x，x(0，)当x(0,1)时，f(x)0，函数单调递增，当x(1，)时，f(x)0)的导数f(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1)处的切线方程是()a3x15y40 b15x3y20c15x3y20 d3xy10考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案b解析f(x)2x24ax32(xa)232a2，f(x)max32a25，a0，a1.f(x)2x24x3，f(1)2435，又f(1)23，所求切线方程为y5(x1)即15x3y20.5已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是()a(，) b，c(，) d(，)考点题点答案b解析f(x)3x22ax10在(，)上恒成立，4a2120，即a .6函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图，则函数yax2bx的单调递增区间是()a(，2 b.c2,3 d.考点函数极值的应用题点函数极值在图象上的应用答案d解析不妨取a1，f(x)x3bx2cxd，f(x)3x22bxc，由图可知f(2)0，f(3)0，124bc0,276bc0，b，c18.yx2x6，y2x，当x时，y0，yax2bx的单调递增区间为.故选d.7当函数f(x)2x39x212xa恰好有两个不同的零点时，a可以为()a8 b6 c4 d2考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根答案c解析由f(x)6x218x126(x1)(x2)知，极值点为x1，x2，且f(1)5a，f(2)4a，可见当a4时，函数f(x)恰好有两个零点二、填空题8若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a .考点题点答案解析y2ax，ky2a10，a.9如果函数f(x)2x2ln x在定义域内的一个子区间(k1，k1)上不是单调函数，那么实数k的取值范围是 考点利用函数的单调性求变量题点已知函数的单调性求参数答案解析f(x)4x，令f(x)0，得x或，f(x)的定义域为(0，)，x舍去由题意知解得1k0)的极大值为正数，极小值为负数，则实数a的取值范围是 考点函数极值的应用题点极值存在性问题答案解析f(x)3x23a2(a0)，当xa或x0，当axa时，f(x).11若函数f(x)(mx1)ex在0，)上单调递增，则实数m的取值范围是 考点利用函数的单调性求变量题点已知函数的单调性求参数答案1，)解析f(x)mex(mx1)ex(mxm1)ex，由题意知，f(x)0在x0，)上恒成立，即mxm10在x0，)上恒成立当m0时显然不成立，当m0时，令g(x)mxm1，只需g(0)0，得m1.即实数m的取值范围为1，)三、解答题12已知曲线yx3x2在点p0处的切线l1与直线4xy10平行，且点p0在第三象限(1)求p0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点p0，求直线l的方程考点切线方程的求解及应用题点求切点坐标解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知得3x214，解得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点p0在第三象限，切点p0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点p0，点p0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.13已知函数f(x)ln x(a0)(1)若a1，求函数f(x)的单调区间；(2)若以函数yf(x)(x(0,3)图象上任意一点p(x0，y0)为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解(1)当a1时，f(x)ln x，定义域为(0，)，f(x)，当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)由(1)知f(x)(0x3)，则kf(x0)(0x03)恒成立，即a(xx0)max.当x01时，xx0取得最大值为，所以a，所以a的最小值为.四、探究与拓展14