人教B版必修二 2.3.1　圆的标准方程 学案.doc

数学人教b必修2第二章2.3.1圆的标准方程1能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程；能根据圆的标准方程求出圆的圆心和半径，并运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题2掌握利用待定系数法求圆的标准方程的方法，并能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题1圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的_是圆，定点是_，定长是圆的_设m(x，y)是c上的任意一点，点m在c上的条件是|cm|r.圆的常用几何性质如下：(1)圆心在过切点，且与切线垂直的直线上；(2)圆心必是两弦中垂线的交点；(3)不过圆心的弦，弦心距d，半弦长m及半径r满足r2d2m2；(4)直径所对的圆周角是90，即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直【做一做1】已知圆o的一条弦长为2，且此弦所对圆周角为60，则该圆的半径为_2圆的方程(1)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为_(2)圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为_几种特殊形式的圆的标准方程条件方程形式圆心在原点x2y2r2(r0)过原点(xa)2(yb)2a2b2(a2b20)圆心在x轴上(xa)2y2r2(r0)圆心在y轴上x2(yb)2r2(r0)圆心在x轴上且过原点(xa)2y2a2(a0)圆心在y轴上且过原点x2(yb)2b2(b0)与x轴相切(xa)2(yb)2b2(b0)与y轴相切(xa)2(yb)2a2(a0)与两坐标轴都相切(xa)2(yb)2a2(|a|b|0)【做一做21】圆心是o(3,4)，半径为5的圆的方程为()a(x3)2(y4)25b(x3)2(y4)225c(x3)2(y4)25d(x3)2(y4)225【做一做22】(2010课标全国卷)圆心在原点且与直线xy20相切的圆的方程为_3点与圆的位置关系设点p(x0，y0)和圆c：(xa)2(yb)2r2，则：点p在圆_(x0a)2(y0b)2r2|pc|r；点p在圆_(x0a)2(y0b)2r2|pc|r；点p在圆_(x0a)2(y0b)2r2|pc|r.【做一做31】下面各点在圆(x1)2(y1)22上的是()a(1,1) b(2,1) c(0,0) d(，)【做一做32】点p(m2,5)与圆x2y224的位置关系是()a在圆外 b在圆内c在圆上 d不确定圆的图形不是函数的图象剖析：根据函数知识，对于平面直角坐标系中的某一曲线，如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点，那么这条曲线是函数的图象，否则，不是函数的图象对于平面直角坐标系中的圆，垂直于x轴的直线与其至多有两个交点，因此圆不是函数的图象但是存在图象是圆弧形状的函数例如：函数yb(r0)的图象是以(a，b)为圆心，半径为r的位于直线yb上方的半圆弧；函数yb(r0)的图象是以(a，b)为圆心，半径为r的位于直线yb下方的半圆弧题型一 求圆的标准方程【例1】求下列圆的方程(1)圆心在直线y2x上，且与直线y1x相切于点(2，1)；(2)圆心c(3,0)，且截直线yx1所得弦长为4.分析：利用圆的标准方程，把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解反思：在解决与圆相关的问题时，如果涉及圆心和半径，或者截得的弦长等问题，一般选用圆的标准方程来解题题型二 圆的直径式方程【例2】求经过点p1(4,9)和p2(6,3)，且以p1p2为直径的圆的标准方程分析：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，圆心为线段p1p2的中点c，半径为|cp1|.反思：一般地，以a(x1，y1)，b(x2，y2)为直径两端点的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0，此结论被称为圆的直径式方程若本例改为选择题、填空题，可直接得(x4)(x6)(y9)(y3)0.题型三 求轨迹问题【例3】设定点m(3,4)，动点n在圆x2y24上运动，以om，on为两边作平行四边形monp，求点p的轨迹分析：本题关键是找出点p与定点m及已知动点n之间的联系，再用平行四边形对角线互相平分这一定理解决反思：(1)如果动点p(x，y)的轨迹依赖于另一动点q(a，b)的轨迹，而q(a，b)又在已知曲线上，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便可得动点p的轨迹方程，此法称为相关点法(亦称代入法或转移法或中间量法)(2)本题容易忽视两点和，其原因是求出轨迹方程后没有验证这两点与点o，m共线，不能构成平行四边形避免出现此类错误的方法是验证是否满足轨迹方程的点都符合条件题型四 圆的标准方程的实际应用【例4】如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？分析：建立平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，再利用方程解决相关问题反思：建系不同，圆的方程不同，但建系时，要尽量使方程简单，并有利于目标实现本题若选择其他方法建系也不影响结论题型五 易错辨析【例5】已知圆c的半径为2，且与y轴和直线4x3y0都相切，试求圆c的标准方程错解：由题意可设圆c的标准方程为(xa)2(yb)24，又圆c与y轴相切，可知a2，又圆c与4x3y0相切，可知2，得b6，或b.圆c的标准方程为(x2)2(y6)24或(x2)224.错因分析：圆c与y轴相切意味着|a|2，而不是a2.1以点a(5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为()a(x5)2(y4)216b(x5)2(y4)216c(x5)2(y4)225d(x5)2(y4)2252圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为()a(x2)2y25 bx2(y2)25c(x2)2(y2)25 dx2(y2)253经过圆(x3)2(y5)236的圆心，并且与直线x2y20垂直的直线方程为_4圆心在直线yx上且与x轴相切于点(1,0)的圆的方程为_5已知点p是曲线x2y216上的一动点，点a是x轴上的定点，坐标为(12,0)当点p在曲线上运动时，求线段pa的中点m的轨迹方程答案：基础知识梳理1轨迹圆心半径【做一做1】2(1)x2y2r2(2)(xa)2(yb)2r2【做一做21】d【做一做22】x2y22圆心(0,0)到直线xy20的距离r.圆的方程为x2y22.3上外内【做一做31】c【做一做32】a典型例题领悟【例1】解：(1)设圆心为(a，2a)，则圆的方程为(xa)2(y2a)2r2.由解得所求圆的方程为(x1)2(y2)22.(2)设圆的方程为(x3)2y2r2，利用点到直线的距离公式可以求得d2，r2.所求圆的方程为(x3)2y212.【例2】解：由题意可知，圆心c为p1p2的中点，即坐标为，为(5,6)半径r|cp1|.故圆的标准方程为(x5)2(y6)210.【例3】解：如图所示，设p(x，y)，n(x0，y0)，则线段op的中点坐标为，线段mn的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，故，则有即n(x3，y4)又点n在圆x2y24上，故(x3)2(y4)24.因此点p的轨迹为圆(x3)2(y4)24，但应除去两点和.【例4】解：以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示设圆心为c，水面所在弦的端点为a，b，则由已知得a(6，2)设圆的半径为r，则c(0，r)，即圆的方程为x2(yr)2r2，将点a的坐标(6，2)代入方程，得36(r2)2r2，r10.圆的方程为x2(y10)2100.当水面下降1米后，可设点a的坐标为(x0，3)(x00)，将a的坐标(x0，3)代入方程，得x0，水面下降1米后，水面宽为2x02(米)【例5】正解：设圆的标准方程为(xa)2(yb)24，又由题意可得|a|2即a2.当a2时，再由圆c与4x3y0相切，得2，解得b或b6；当a2时，由2，解得b6或b.综上可知，满足条件的圆的标准方程为(x2)2(y6)24或(x2)224或(x2)2(y6)24或(x2)224.随堂练习巩固1a圆与x轴相切，r4.圆的标准方程为(x5)2(y4)216.2a求圆关于某点或直线的对称图形的方程，主要是求圆心关于点或直线的对称点求出圆心(2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0)32xy1104(x1)2(y1)21设其圆心为p(a，a)，而切点为a(1,0