人教A版选修22 1.1.2导数的概念 教案1.doc

教学设计11.2导数的概念教材分析一般地，学习导数概念的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解本节课，教材将学习导数的概念分为两个阶段：第一阶段是通过大量实例，利用逼近思想直观理解瞬时速度的含义；第二阶段则是将瞬时速度一般化，即通过对瞬时速度的理解来引出导数的概念整个过程蕴涵了逼近的思想和用已知探求未知的思想方法课时分配1课时教学目标1知识与技能目标利用学生对瞬时速度的理解，逐步达到对导数概念和基本方法的直观、准确的理解2过程与方法目标用形象直观的“逼近”方法定义导数，学习和掌握用已知探究未知的思想方法3情感、态度与价值观通过本节课的学习，培养学生运动变化的观点和辩证统一的思想在对实际问题的分析过程中，体会、感受数学的创造美重点难点重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；难点：准确理解导数的概念问题1：物体作自由落体运动的方程是s(t)gt2，求1 s到2 s的平均速度问题2：物体作自由落体运动的方程是s(t)gt2，如何求t3 s这一时刻的速度呢？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流学情预测：经过简单运算，学生能够回答出第一个问题对于第二个问题，可能在理解“瞬时速度”上有难度，感觉无从下手教师提问：这两个问题在解法上有什么区别和联系？能否从它们的联系上寻找第二个问题的解法？你对“t3 s这一时刻”怎么理解？学情预测：学生能够利用物理知识解决速度问题，但对某一时刻的速度，未必能从“平均速度”和“瞬时速度”的关系上说清楚教师提示：我们可以取t3 s临近时间间隔内的平均速度去“逼近”t3 s时刻的“瞬时速度”，如在3,3t内或在3t,3内，不过时间间隔t要尽可能小学情预测：经过提示和讨论后，学生应该能从尽可能缩小时间间隔的角度进行感性认识和猜测了活动成果：师生共同得出如下结论：取一小段时间：3,3t，sg(3t)2g，v(6t)当t0时，v3g.设计意图从学生学过并且熟悉的物理问题切入，以平均速度和瞬时速度作对比设计两个问题，使学生有一个思考的台阶，在教师的引导提示下，感性地认识瞬时速度的概念 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度那么，如何求运动员的瞬时速度呢？提出问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10，试探求运动员在t2 s时的瞬时速度是多少？活动设计：以小组为单位，列好表格，准备好计算器，分别计算时间间隔t0.01，0.001，0.000 1，0.000 01，0.000 001，在区间2t,2内的平均速度和t0.01，0.001,0.000 1,0.000 01,0.000 001，时，在区间2,2t内的平均速度并观察当|t|逐渐变小时，平均速度的取值变化情况活动成果：当t0时，在2,2t这段时间内4.9t13.1.当t0.01时，13.149；当t0.001时，13.104 9；当t0.000 1时，13.100 49；当t0.000 01时，13.100 049；当t0.000 001时，13.100 004 9；可以看出，当|t|逐渐变小时，平均速度的取值逐渐趋近于一个稳定的值13.1，从物理的角度看，时间间隔|t|无限变小时，平均速度就无限趋近于t2 s时的瞬时速度所以说，运动员在t2 s时的瞬时速度是13.1 m/s.为了表述方便，我们用 13.1来表示“当t0时，13.1”提出问题：仍以高台跳水为例，运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？能用它来表示函数f(x)在xx0处的瞬时变化率吗？活动设计：学生独立思考，两名学生板演，其他学生在练习本上试着写出结果，然后教师点评活动成果：根据上面对瞬时速度概念的探究，可知：运动员在某一时刻t0的瞬时速度为 .类似地，函数f(x)在xx0处的瞬时变化率可以表示为 .我们称它为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0) .例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：)为f(x)x27x15(0x8)，计算第2 h时和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义学情预测：根据上面所学知识，学生能够求出第2 h时和第6 h时原油温度的瞬时变化率，但是在说明它们的意义时可能有困难，或表述不准确活动设计：学生先独立思考，一名学生板演，其他学生在练习本上试着写出过程和结果教师适时点评活动结果：在第2 h时和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)根据导数的定义，x3，所以，f(2) (x3)3.同理可得：f(6)5.在第2 h时和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5.说明在2 h附近，原油温度大约以3 /h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 /h的速率上升点评：(1)函数f(x)在xx0处的导数即为函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率；(2)瞬时变化率是平均变化率的极限；(3)xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0) ；(4)由定义知，求f(x)在x0处的导数的步骤为：求增量yf(xx)f(x)算比值求极限y .由导数的定义，我们知道，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度；气球半径r关于体积v的导数就是气球的瞬时膨胀率实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值的增长率等等设计本例的主要目的还是让学生在实际问题背景中体会导数的产生、导数的意义等设计意图例2(1)求函数f(x)x2x在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数(2)求函数y3x2在x1处的导数思路分析：求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f(x0)解：(1)因为3x，所以f(1) (3x)3.(2)因为fyf(1x)f(1)6x3(x)2，所以63x， 6.点评：体会求函数f(x)在任一点处的导数的一般步骤，进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于y与x的比值，感受和认识在x逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数a这一现象例3函数f(x)满足f(1)1，则当x无限趋近于0时，(1) _，(2) _.思路分析：因为f(x)在x1处存在导数，所以当x无限趋近于0时，2x也无限趋近于0，故 1， 1.解：(1) ，(2) 2lim 2.点评：理解导数的意义，关键在理解当x0时，的变化趋势巩固练习1一物体的运动方程是s3t2，则在一小段时间2,2.1内相应的平均速度为()a0.41 b3 c4 d4.12设函数f(x)可导，则 等于()af(1) b不存在c.f(1) d以上都不对3设f(x)，则 等于()a b. c d.答案：1.d2.c3.c变练演编变式(1)设f(x)在xx0处可导，若无限趋近于1，则f(x0)_.变式(2)设f(x)在xx0处可导，若无限趋近于1，则f(x0)_.变式(3)设f(x)在xx0处可导，当x无限趋近于0时，所对应的常数与f(x0)的关系活动设计：学生独立完成，教师将所有发现的结果一一列举，再由学生相互之间交流、评价，最后教师给出正确答案答案：变式(1)：变式(2)：变式(3)：当x无限趋近于0时，4f(x0)设计意图对于函数f(x)在xx0处的瞬时变化率 ，x表示的意义是一个尽可能小的改变量，是一个广义的概念通过变练(就是变式训练)演编(就是让学生试着自己编题)，让全班同学通过交流合作的形式，在辨析中加深对导数概念的理解 达标检测1当自变量x由x0增加到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ()a在区间x0，x1上的平均变化率 b在x0处的变化率c在x1处的变化率 d在区间x0，x1上的导数2下列各式中正确的是()af(x0) bf(x0) cf(x0) df(x0) 3设f(x)ax4，若f(1)2，则a的值为()a2 b2 c3 d34yx31，当x2时， _.答案或提示或解答：1.a2.d3.a4.12本节课通过大量的实例，引出了瞬时速度、瞬时变化率的概念，进而形成了导数的概念其中探究从平均速度到瞬时速度的过程和方法，从特殊推向一般的思想和方法，以及利用所学知识解决实际问题的思想和方法都具有非常重要的作用课本习题1.1a2、a3、b1.1若f(x)x3，f(x0)3，则x0的值是()a1 b1 c1 d32设函数f(x)mx32，若f(1)3，则m_.3设一物体在t秒内所经过的路程为s米，并且s4t22t3，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度答案：1.c2.13.开始的速度为2米/秒，第5秒末的速度为42米/秒本节课从变化率入手，通过大量的实验和学生的广泛参与，用形象直观的逼近思想来理解瞬时速度和瞬时变化率，在此基础上再给出导数定义这样做可以避免学生因未学习极限的概念而影响对导数的认识，可以使学生更直观形象地理解导数概念，同时还能使学生对逼近思想有一定的了解教学过程中，从形成导数定义到理解导数内涵都使用了瞬时速度这个具体的物理模型，教学的关键放在了让学生充分经历从平均速度探究到瞬时速度上整个过程采用的方法都是遵循循序渐进的原则，尊重学生的认知水平和认知规律另外，本节还选配了一些其他方面的变化率问题，形式丰富的实例有利于学生辨别出它们具有的共同特征，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，从而加深对导数概念的理解1求电流强度问题1设电流通过导线的横截面的电量是q(t)，它是时间t的函数，求任一时刻t0的电流强度思路分析：我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即电流强度.在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求任一时刻t0的电流强度我们可通过以下方法得到：设在t0到t0t(t0)这段时间内通过导线的电量是qq(t0t)q(t0)因此在这段时间内，平均电流强度为.易知，t取值越小，就越接近时刻t0的电流强度i.若当t0时，的极限存在，则平均电流强度的极限就是时刻t0的电流强度因此，我们定义：i .2导数的表达式问题为了与导数的表达式更吻合，有时我们把x0x记作x，于是xxx0，当x0时，有xx0，则f(x0) .利用导数定义求导数的难点是有一些比值的解析式不便于取极限，还需将其变形或化简，以便于计算2证明若f(x0)存在，则 2f(x0)思路分析：已知f(x0)存在，也即是极限