人教B版必修五 等比数列的前n项和 学案.doc

学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题知识点一等比数列的前n项和公式的推导思考对于s641248262263，用2乘以等式的两边可得2s64248262263264，对这两个式子作怎样的运算能解出s64?答案 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出s64，即s642641.梳理设等比数列an的首项是a1，公比是q，前n项和sn可用下面的“错位相减法”求得sna1a1qa1q2a1qn1.则qsna1qa1q2a1qn1a1qn.由得(1q)sna1a1qn.当q1时，sn.当q1时，由于a1a2an，所以snna1.结合通项公式可得：等比数列前n项和公式：sn知识点二等比数列的前n项和公式的应用思考要求等比数列前8项的和：(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？(2)若已知a1，a9，q的值用哪个公式比较合适？答案(1)用sn.(2)用sn.梳理一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1) 一定不要忽略q1的情况；(2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用；(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，sn.知道其中任意三个，可求其余两个类型一等比数列前n项和公式的应用命题角度1前n项和公式的直接应用例1求下列等比数列前8项的和：(1)，；(2)a127，a9，q0.解(1)因为a1，q，所以s8.(2)由a127，a9，可得27q8.又由q0，可得q.所以s8.反思与感悟求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q1是否成立跟踪训练1若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和sn_.答案22n12解析设等比数列的公比为q，a2a420，a3a540，20q40，且a1qa1q320，解得q2，且a12.因此sn2n12.命题角度2通项公式、前n项和公式的综合应用例2在等比数列an中，a12，s36，求a3和q.解由题意，得若q1，则s33a16，符合题意此时，q1，a3a12.若q1，则由等比数列的前n项和公式，得s36，解得q2.此时，a3a1q22(2)28.综上所述，q1，a32或q2，a38.反思与感悟(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论(2)当q1时，等比数列是常数列，所以snna1；当q1时，等比数列的前n项和sn有两个公式当已知a1，q与n时，用sn比较方便；当已知a1，q与an时，用sn比较方便跟踪训练2在等比数列an中，s230，s3155，求sn.解方法一由题意知解得或从而sn(5n1)或sn，nn*.方法二若q1，则s3s232，而事实上，s3s2316，故q1.所以两式作比，得，解得或从而sn(5n1)或sn，nn*.类型二等比数列前n项和的实际应用例3借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051，精确到整数)解方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6，nn*)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.因为1.0161.061，所以a1 739(元)故每月应支付1 739元方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为s1104(10.01)6104(1.01)6(元)，另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为s2a(10.01)5a(10.01)4aa1.0161102(元)由s1s2，得a1 739(元)故每月应支付1 739元反思与感悟解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为sp(1r)n，其中p代表本金，n代表存期，r代表利率，s代表本利和跟踪训练3一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为sna1a2an1250，q，s5211.4某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_答案11a(1.151)解析去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151)1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”2前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况3一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减的方法求和40分钟课时作业一、选择题1设数列(1)n的前n项和为sn，则sn等于()a. b.c. d.答案d解析sn.2在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前3项和为21，则a3a4a5等于()a33 b72c84 d189答案c解析由s3a1(1qq2)21且a13，得q2q60.q0，q2，a3a4a5q2(a1a2a3)q2s3222184.3设sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则等于()a11 b5c8 d11答案d解析由8a2a50得8a1qa1q40，q2，则11.4等比数列an的前n项和为sn，已知s3a210a1，a59，则a1等于()a. bc. d答案c解析设等比数列an的公比为q，由s3a210a1得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1.5一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)()a300米 b299米c199米 d166米答案a解析小球10次着地共经过的路程为100100501008299300(米)6已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于 ()a6(1310) b.(1310)c3(1310) d3(1310)答案c解析由3an1an0，得，故数列an是公比q的等比数列又a2，可得a14.所以s103(1310)二、填空题7设等比数列an的前n项和为sn，若a11，s64s3，则a4_.答案3解析s64s3q33.a4a1q3133.8数列a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1，公比为2的等比数列，那么an_.答案2n1解析anan1a1qn12n1，即各式相加得ana12222n12n2，故ana12n22n1.9等比数列an的前n项和为sn，已知s1,2s2,3s3成等差数列，则an的公比为_答案解析由已知4s2s13s3，即4(a1a2)a13(a1a2a3)a23a3，an的公比q.10设等比数列an的前n项和为sn，若s3s62s9，则数列的公比q_.答案解析当q1时，snna1，s3s63a16a19a1s92s9；当q1时，2，得2q3q622q9，2q9q6q30，解得q3或q31(舍去)或q30(舍去)，q.三、解答题11求和：121222323n2n，nn*.解设sn121222323n2n，则2sn122223(n1)2nn2n1，sn2122232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12，sn(n1)2n12.12为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.9100.35)解(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1a，公比q110%0.9，ana0.9n1 (n1，nn*)(2)10年的出口总量s1010a(10.910)s1080，10a(10.910)80，即a，a12.3.故