人教B版选修21 第二章 §2.5　直线与圆锥曲线 学案.doc

2.5直线与圆锥曲线学习目标1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题知识点一直线与圆锥曲线的位置关系观察图形，思考下列问题：思考1上面三个图象中直线l与椭圆、抛物线、双曲线的图象的位置关系是什么？答案相交，相切，相离思考2直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？答案不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交梳理直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2bxc0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a0，02相交a0，01相切a0，02相交直线与双曲线a0，01相切a0，02相交a0，01相切a0，0，得3m3.于是，当3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆c有两个不同的公共点(2)由0，得m3.也就是当m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆c有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆c有且只有一个公共点(3)由0，得m3.从而当m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆c没有公共点反思与感悟在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形跟踪训练1已知双曲线c：x21，直线l过点p(1,1)，当k为何值时，直线l与双曲线c：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？解设直线l：y1k(x1)，即ykx(1k)由得(k22)x22k(k1)xk22k30.(*)当k220，即k时，(*)式只有一解，直线l与双曲线相交，只有一个公共点当k220时，2416k，若0，即k，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；若0，即k，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点综上，(1)当k或k时，直线l与双曲线只有一个公共点；(2)当k时，直线l与双曲线无公共点类型二中点弦及弦长问题例2已知点a(1,0)，b(1,0)，直线am，bm相交于点m，且kmakmb2.(1)求点m的轨迹c的方程；(2)过定点(0,1)作直线pq与曲线c交于p，q两点，且|pq|，求直线pq的方程解(1)设m(x，y)，则kma，kmb(x1)，2，x21(x1)(2)当直线pq的斜率不存在，即pq是椭圆的长轴时，其长为2，显然不合题意，即直线pq的斜率存在，设直线pq的方程是ykx1，p(x1，y1)，q(x2，y2)，则y1y2k(x1x2)，联立消去y得(k22)x22kx10.4k24(k22)8(k21)0，kr，x1x2，x1x2，|pq|2，|pq|2，k22，k，直线pq的方程是yx1.反思与感悟直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意跟踪训练2中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线xy10相交于a，b，c是ab中点，若|ab|2，oc的斜率为，求椭圆的方程解设椭圆方程为ax2by21 (a0，b0)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得，a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，而1，koc，代入上式可得ba，再由|ab|x2x1|2，其中x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故244，将ba，代入得a，b.所求椭圆的方程是x2y23.类型三圆锥曲线中的最值及范围问题例3已知aob的一个顶点为抛物线y22x的顶点o，a，b两点都在抛物线上，且aob90.(1)求证：直线ab必过一定点；(2)求aob面积的最小值(1)证明设oa所在直线的方程为ykx，则直线ob的方程为yx.由得a，由得b(2k2，2k)直线ab所在直线方程为(y2k)(x2k2)，化简得xy20，直线过定点p(2,0)(2)解由于直线ab所在直线方程过定点p(2,0)，所以可设直线ab的方程为xmy2.由得y22my40.|y1y2|.saob|y1|op|y2|op|op|y1y2|y1y2|4.aob面积的最小值为4.反思与感悟(1)求参数范围的方法根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围(2)求最值问题的方法几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等跟踪训练3如图，过抛物线y2x上一点a(4，2)作倾斜角互补的两条直线ab，ac交抛物线于b，c两点，求证：直线bc的斜率是定值证明设kabk (k0)，直线ab，ac的倾斜角互补，kack(k0)，ab的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.a(4,2)，b(xb，yb)是上述方程组的解4xb，即xb，设c(xc，yc)，以k代换xb中的k，得xc，kbc.直线bc的斜率为定值.1过点(0，2)的直线l与抛物线y28x交于a，b两点，若线段ab中点的横坐标为2，则|ab|等于()a2b.c5d.答案c解析由题意知直线l的斜率存在，设a(x1，y1)，b(x1，y2)，直线l：ykx2，x1x24，y1y2k(x1x2)44k4，ab的中点m(2,2k2)，k，k2k20，k2或k1，当k1时，直线l与拋物线相切，不满足题意，舍去，l：y2x2.由得x23x10，x1x21，|ab|5.2若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()am1bm1或0m1c0mm，则1，若5m，则必有公共点，m1且m5.3抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点坐标为()a(1,2) b(0,0)c.d(1,4)答案c解析因为y4x2与y4x5不相交，设与y4x5平行的直线方程为y4xm.由得4x24xm0.(*)设此直线与抛物线相切，有0，即1616m0，m1.将m1代入(*)式，得x，y1，所求点的坐标为.4过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于a，b两点，o为坐标原点，则oab的面积为_答案解析由已知可得直线方程为y2x2，联立方程得方程组解得a(0，2)，b.saob|of|yayb|.5过点a(6,1)作直线l与双曲线1相交于两点b、c，且a为线段bc的中点，则直线l的方程为_答案3x2y160解析设b(x1，y1)，c(x2，y2)，则，0.即kbc，直线l的方程是y1(x6)即3x2y160，经验证符合题意1解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切2与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系3在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、均值不等式等使问题获解同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件一、选择题1已知双曲线c：x2y21，f是其右焦点，过f的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于()a1b1c1d2答案c解析结合题意，f(，0)，且渐近线为yx，欲使直线l与其右支有唯一交点，只需其斜率与渐近线斜率相等2已知双曲线x21，过p(2,1)点作一直线交双曲线于a，b两点，并使p为ab的中点，则直线ab的斜率为()a3b4c5d6答案d解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则由x1与x1得kab6.3对于抛物线c：y24x，我们称满足y4x0的点m(x0，y0)在抛物线的内部，若点m(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y2(xx0)与拋物线c()a恰有一个公共点b恰有两个公共点c可能有一个公共点也可能有两个公共点d没有公共点答案d解析c与l联立得y0y2，即y22y0y4x00，4y16x0，由题意y4x0，0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为yx，而kbf.1，整理得b2ac.c2a2ac0.两边同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)，故选d.6直线yx3与抛物线y24x交于a，b两点，过a，b两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为p，q，则梯形apqb的面积为()a48b56c64d72答案a解析由得x210x90，解得或|ap|10，|bq|2，|pq|8，梯形apqb的面积为s(|ap|bq|)|pq|(102)848.7已知椭圆c：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆c有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为()a.1b.1c.1d.1答案d解析椭圆的离心率为，a2b.椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，a24b220.椭圆c的方程为1.8已知椭圆1(ab0)被抛物线y24x的准线截得的弦长为3，以坐标原点为圆心，以椭圆的长半轴为半径的圆与直线yx2相切，则椭圆的离心率为()a.b.c.d.答案a解析由题意得抛物线准线x1，且被截得的弦长为3，故椭圆过点，将该点代入椭圆方程，得1，又点(0,0)到xy20的距离为a，即a，由得a2，代入得b.故c1，所以其离心率e.二、填空题9椭圆y21的左、右焦点分别为f1，f2，点p为椭圆上一动点，若f1pf2为钝角，则点p的横坐标的取值范围是_答案解析设椭圆上一点p的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y)f1pf2为钝角，0，即x23y20，(*)y21，代入(*)式得x2310，x22，x2.解得x1)的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线c过坐标原点；曲线c关于坐标原点对称；若点p在曲线c上，则f1pf2的面积不大于a2.其中所有正确结论的序号是_答案解析设曲线c上任一点p(x，y)，由|pf1|pf2|a2，可得a2 (a1)，将原点(0,0)代入，等式不成立，故不正确点p(x，y)在曲线c上，点p关于原点的对称点为p(x，y)，将p代入曲线c的方程，等式成立，故正确设f1pf2，则sf1pf2|pf1|pf2|sina2sina2，故正确三、解答题12已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，其中左焦点为f(2,0)(1)求椭圆c的方程；(2)若直线yxm与椭圆c交于不同的两点a，b且线段ab的中点m在圆x2y21上，求m的值解(1)由题意，得解得椭圆c的方程为1.(2)设点a，b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段ab的中点为m(x0，y0)，由消去y得，3x24mx2m280，968m20，2m2，x0，y0x0m，点m(x0，y0)在圆x2y21上，221，m.13已知直线l：yk(x1)与抛物线y2x交于a，b两点，o为坐标原点(1)若oab的面积为，求k的值；(2)求证：以弦ab为直径的圆必过原点.(1)解设a(x1，y1)，b(x2，y2)，原点o到直线ab的距离为d，联立得化简整理得k2x2(2k21)xk20，由题意知k0，由根与系数的关系得，x1x2，x1x21.由弦长公式，得|ab|x1x2|，由点到直线距离公式得d，得soab|ab|d，解得k.(2)证明koa，kob，koakob.yx1，yx2，x1x2(y1y2)2，koakob，由得ky2yk0，y1y21，即koakob1，oaob，以弦ab为直径的圆必过原点四、探究与拓展14有一动圆p恒过定点f(a,0)(a0)且与y轴相交于点a，b，若abp为正三角形，则点p的轨迹为()a直线b圆c椭圆d双曲线答案d解析设p(x，y)，动圆p的半径为r，由于abp为正三角形p到y轴的距离dr，即|x|r.而r|pf|，|x|.整理得(x3a)23y212a2，即1.点p的轨迹为双曲线15在平面直角坐标系xoy中，f1，f2分别为椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，b为短轴的一个端点，e为椭圆c上的一点，满足，且ef1f2的周长为2(1)(1)求椭圆c的方程；(2)设点m是线段of2上的一点，过点f2且与x轴不垂直的直线l交椭圆c于p，q两点，若mpq是以m为顶点的等腰三角形，求点m到直线l的距离的取值范围解(1)由已知得f1(c,0)，不妨设b(0，b)，则(c,0)，(0，b)，所以，即e.又点e在