人教B版选修21 空间向量在立体几何中的综合应用 课时作业.docx

第7课时空间向量在立体几何中的综合应用基础达标(水平一 )1.若ab=cd+ce,则直线ab与平面cde的位置关系是().a.相交b.平行c.在平面内d.平行或在平面内【解析】ab=cd+ce,ab,cd,ce共面,则ab与平面cde的位置关系是平行或在平面内.【答案】d2.设直线l与平面相交,且l的方向向量为l,的法向量为n,若l与n所成的角为23,则l与所成的角为().a.23b.3c.6d.56【解析】设所求的线面角为,则与的关系为=2-(为锐角)或=-2(为钝角).故l与所成的角为23-2=6.【答案】c3.如图,在边长为a的正三角形abc中,adbc,沿ad将abc折起,若折起后b,c两点间的距离为a2,则二面角b-ad-c的大小为().a.30b.45c.60d.90【解析】由题意可知折叠后二面角b-ad-c的大小即为bdc的大小,而bdc是正三角形,故所求角为60.【答案】c4.在下列命题中:若a,b为共面向量,则a,b所在的直线平行;若向量a,b所在的直线是异面直线,则a,b一定不共面;平面的法向量不唯一,但它们都是平行的;平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量.其中正确命题个数是().a.1b.2c.3d.4【解析】是错误的,共面向量所在的直线不一定平行,只要能平移到一个平面内就可以.【答案】b5.将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角a-bd-c,有如下四个结论:acbd;acd是等边三角形;ab与平面bcd所成的角为60;ab与cd所成的角为60.其中正确结论的序号是.【解析】取bd的中点o,连接ao,co,则aobd,cobd.aoco=o,bd平面aoc,acbd.故正确.ac=2ao=ad=cd,acd是等边三角形.故正确.易知abd是ab与平面bcd所成的角,应为45.故错误.ac=ab+bd+dc(设ab=a),a2=a2+2a2+a2+2a2a-22+2a2a-22+2a2cos,cos=12,ab与cd所成的角为60.故正确.【答案】6.在直三棱柱abc-a1b1c1中,abc=90,bac=30,且bc=1,aa1=6,m为cc1的中点,则cos的值为.【解析】以b为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点a1(3,0,6),m0,1,62,a(3,0,0),b1(0,0,6),所以a1m=-3,1,-62,ab1=(-3,0,6),所以a1mab1=-3,1,-62(-3,0,6)=0,所以a1mab1,cos=0.【答案】07.如图,在四棱锥p-abcd中,pd底面abcd,底面abcd为正方形,pd=dc,e,f分别是ab,pb的中点.(1)求证:efcd.(2)在平面pad内求一点g,使gf平面pcb,并证明你的结论.(3)求直线db与平面def所成角的正弦值.【解析】以da,dc,dp所在直线分别为x轴,y轴, 轴建立空间直角坐标系(如图),设ad=a,则点d(0,0,0),a(a,0,0),b(a,a,0),c(0,a,0),ea,a2,0,fa2,a2,a2,p(0,0,a).(1)efdc=-a2,0,a2(0,a,0)=0,efdc.(2)设点g(x,0, ),则fg=x-a2,-a2,z-a2,fgcb=x-a2,-a2,z-a2(a,0,0)=ax-a2=0,x=a2,fgcp=x-a2,-a2,z-a2(0,-a,a)=a22+az-a2=0, =0.点g的坐标为a2,0,0,即g为ad的中点.(3)设平面def的法向量为n=(x,y, ).则ndf=0,nde=0,即a2(x+y+z)=0,ax+a2y=0,取x=1,则y=-2, =1,n=(1,-2,1).cos=bdn|bd n|=a2a6=36,直线db与平面def所成角的正弦值为36.拓展提升(水平二)8.如图,在长方体abcd-a1b1c1d1中,ad=aa1=1,ab=2,e是棱ab的中点,则点e到平面acd1的距离为().a.12b.22c.13d.16【解析】如图,以d为坐标原点,直线da,dc,dd1分别为x轴,y轴, 轴建立空间直角坐标系,则点d1(0,0,1),e(1,1,0),a(1,0,0),c(0,2,0),所以d1e=(1,1,-1),ac=(-1,2,0),ad1=(-1,0,1).设平面acd1的法向量为n=(a,b,c),则nac=0,nad1=0,即-a+2b=0,-a+c=0,得a=2b,a=c,令a=2,则n=(2,1,2).所以点e到平面acd1的距离为d=|d1en|n|=13.【答案】c9.如图,已知平面abcd平面abef,四边形abcd是正方形,四边形abef是矩形,且af=12ad=a,g是ef的中点,则gb与平面agc所成角的正弦值为().a.66b.33c.63d.23【解析】如图,以a为原点建立空间直角坐标系,则点a(0,0,0),b(0,2a,0),c(0,2a,2a),g(a,a,0),f(a,0,0),所以ag=(a,a,0),ac=(0,2a,2a),bg=(a,-a,0),设平面agc的一个法向量为n1=(x1,y1,1),则由agn1=0,acn1=0得ax1+ay1=0,2ay1+2a=0,即x1=1,y1=-1,所以n1=(1,-1,1).设gb与平面agc所成的角为,则sin =|bgn1|bg n1|=2a2a3=63.【答案】c10.在空间直角坐标系中,定义:平面的一般方程为ax+by+c +d=0(a,b,c,dr,且a,b,c不同时为0),点p(x0,y0, 0)到平面的距离为d=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2.则在底面边长与高都为2的正四棱锥中,底面中心到侧面的距离为.【解析】如图,以底面中心o为原点建立空间直角坐标系,则点a(1,1,0),b(-1,1,0),p(0,0,2),设平面pab的方程为ax+by+c +d=0,将以上三个坐标代入方程,解得a=0,b=-d,c=-12d,-dy-12d +d=0,即2y+ -2=0,d=|20+10-2|02+22+12=255.【答案】25511.如图,四边形abcd是边长为3的正方形,且de平面abcd,afde,de=3af,be与平面abcd所成的角为60.(1)求证:ac平面bde.(2)求二面角f-be-d的余弦值.(3)设点m是线段bd上一个动点,试确定点m的位置,使得am平面bef,并证明你的结论.【解析】(1)因为de平面abcd,所以deac.又因为abcd是正方形,所以acbd.又因为bdde=d,所以ac平面bde.(2)因为da,dc,de两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系d-xy .因为be与平面abcd所成的角为60,即dbe=60,所以eddb=3.由ad=3可知de=36,af=6.则点a(3,0,0),f(3,0,6),e(0,0,36),b(3,3,0),c(0,3,0),所以bf=(0,-3,6),ef=(3,0,-26),设平面bef的法向量为n=(x,y, ),则nbf=0,nef=0,即-3y+6z=0,3x-26z=0,令 =6,则n=(4,2,6).又因为ac平面bed,所以ca为平面bde的一个法向量,ca=(3,-3,0),所以cos=nca|n ca|=6