人教B版必修四 第二章 平面向量 章末复习 学案.docx

学习目标1.构建本章知识网络，进一步理解向量的有关概念.2.梳理本章知识要点，进一步强化对有关法则、定理的理解和记忆.3.强化应用向量解决问题的意识，提高解决问题的能力.1.向量的运算：设a(x1，y1)，b(x2，y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法ab_减法ab_数乘(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向_；当0时，a的方向与a的方向_；当0时，a0a_向量的数量积运算ab|a|b|cos (为a与b的夹角)，规定0a0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的正射影的数量的积ab_2.两个定理(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么该平面内的_向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a_.基底：把_的向量e1，e2叫做表示这一平面内_向量的一组基底.(2)平行向量基本定理如果ab，则ab，反之，如果ab且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.3.向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab有唯一实数使得_x1y2x2y10ab类型一向量的线性运算例1如图所示，在abc中，p是bn上的一点，若m，则实数m的值为_.反思与感悟平行向量基本定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.跟踪训练1在abc中，e为线段ac的中点，试问在线段ac上是否存在一点d，使得，若存在，说明d点位置；若不存在，说明理由.类型二向量的数量积运算例2已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且|kab|akb|(k0).(1)用k表示数量积ab；(2)求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角的大小.反思与感悟数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.(2)求向量的夹角和模的问题设a(x1，y1)，则|a|；两向量夹角的余弦(0)cos .跟踪训练2已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m).(1)若点a，b，c能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若abc为直角三角形，且a为直角，求实数m的值.类型三向量坐标法在平面几何中的应用例3已知在等腰abc中，bb，cc是两腰上的中线，且bbcc，求顶角a的余弦值的大小.反思与感悟把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.跟踪训练3如图，半径为的扇形aob的圆心角为120，点c在上，且cob30，若，则等于()a. b. c. d.21.在菱形abcd中，若ac2，则等于()a.2 b.2c.|cos a d.与菱形的边长有关2.设四边形abcd为平行四边形，|6，|4.若点m，n满足3，2，则等于()a.20 b.15 c.9 d.63.已知向量a(1，)，b(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于()a.2 b.c.0 d.4.若向量(1，3)，|，0，则|_.5.平面向量a(，1)，b，若存在不同时为0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy，试求函数关系式kf(t).1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.答案精析知识梳理1三角形平行四边形(x1x2，y1y2)三角形(x1x2，y1y2)相同相反(x1，y1)x1x2y1y22(1)不平行的任一a1e1a2e2不共线所有3ba(a0)ab0x1x2y1y20题型探究例1跟踪训练1解假设存在d点，使得.()，所以当点d为ac的三等分点时，.例2解(1)由|kab|akb|，得(kab)23(akb)2，k2a22kabb23a26kab3k2b2，(k23)a28kab(13k2)b20.|a|1，|b|1，k238kab13k20，ab.(2)ab(k)由函数的单调性可知，f(k)(k)在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，当k1时，f(k)minf(1)(11)，此时a与b的夹角的余弦值cos ，60.跟踪训练2解(1)当实数m时满足条件(2).例3解建立如图所示的平面直角坐标系，设a(0，a)，c(c,0)，则b(c,0)，(0，a)，(c，a)，(c,0)，(2c,0)因为bb，cc为ac，ab边上的中线，所以()，同理.因为，所以0，即0，化简得a29c2.又因为cos a，所以顶角a的余弦值为.跟踪训练3a当堂训练1b2.c3.b4.25解由a(，1)，b，