人教B版选修21 3.2.4 二面角及其度量 课件（9张）.ppt

二面角的求法 总结 例 如图 直四棱柱abcd a1b1c1d1 底面abcd是菱形 ad aa1 dab 600 f为棱aa1的中点 求 平面bfd1与平面abcd所成的二面角的大小 a1 d1 c1 b1 a d c b f a1 d1 c1 c b1 b d a p f 如图 延长d1f交da的延长线于点p 连接pb 则直线pb就是平面bfd1与平面abcd的交线 f是aa1的中点 可得a也是pd的中点 ap ab 又 dab 600 且底面abcd是菱形 可得正三角形abd 故 dba 600 p abp 300 dbp 900 即pb db 又因为是直棱柱 dd1 pb pb 面dd1b 故 dbd1就是二面角d1 pb d的平面角 显然bd ad dd1 dbd1 450 即为所求 解毕 解法一 a1 d1 c1 b1 f a d c b p e 解法二 如图 延长d1f交da的延长线于点p 连接pb 则直线pb就是平面bfd1与平面abcd的交线 因为是直棱柱 所以aa1 底面abcd 过a做ae pb 垂足为e 连接ef 由三垂线定理可知 ef pb aef即为二面角d1 pb d的平面角 同解法一可知 等腰 apb p 300 rt apb中 可求得ae 1 设四棱柱的棱长为2 又af 1 aef 450 即为所求 思考 这种解法同解法一有什么异同 解法三 法向量法 建系如图 设这个四棱柱各棱长均为2 则d 0 0 0 d1 0 0 2 b 1 0 f 1 1 2 0 1 1 2 显然 就是平面abcd的法向量 再设平面bdd1的一个法向量为向量 x0 y0 z0 则 且 2x0 0y0 z0 0且x0 y0 2z0 0令x0 1可得z0 2 y0 即 1 2 设所求二面角的平面角为 则cos 所以所求二面角大小为450解毕 a1 d1 c1 b1 a b c d x y z f 解法四 a1 d1 c1 b1 f c b d a 如图 由题意可知 这是一个直四棱柱 bfd1在底面上的射影三角形就是 abd 故由射影面积关系可得cos abd b 1 是所求二面角的平面角 以下求面积略 点评 这种解法叫做 射影面积法 在选择和填空题中有时候用起来会很好 二面角的几种主要常用的求法 1 垂面法 见例一和例二的解法一 2 三垂线法 见例二的解法二 3 射影面积法 见例二的解法三 4 法向量夹角法 见例二的解法四 其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的方法 也称为直接法 射影面积法和法向量法是没有找出平面角而求之的方法 也称之为间接法 试一试 例2 如图 在三棱锥s abc中 sa 平面abc ab bc de垂直平分sc 分别交ac sc于d e 且sa ab a bc a 求 平面bde和平面bdc所成的二面角的大小 s a e c b d 请同学们将刚才的例一用其他方法试一下 分析 1 根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直 2 利用已得的垂直关系找出二面角的平面角 解 如图 sa 平面abc sa ab sa ac sa bd 于是sb a又bc a sb bc e为sc的中点 be sc又de sc故sc 平面bde可得bd sc又bd sa bd 平面sac cde为平面bde和平面bdc所成二面