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2 6 3曲线的交点 第2章圆锥曲线与方程 学习导航 第2章圆锥曲线与方程 2 直线与圆锥曲线的交点问题 k为何值时 直线y kx 2和曲线2x2 3y2 6有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 链接教材p61例1 方法归纳 直线与圆锥曲线的公共点问题 往往解由直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组并消去x 或y 后 得到一个形式上为一元二次的方程 这个方程是否为二次方程要看二次项的系数是否为零 有时需讨论 是二次方程时还要判断 与 0 的大小关系 1 直线l y kx 1 抛物线c y2 4x 当k为何值时 l与c分别相切 相交 相离 1 当k 0时 是一元二次方程 2k 4 2 4k2 16 1 k 当 0时 即k 1时 l与c相切 当 0时 即k 1且k 0时 l与c相交 当 0时 即k 1时 l与c相离 2 当k 0时 直线l y 1与曲线c y2 4x相交 综上所述 当k 1时 l与c相交 当k 1时 l与c相切 当k 1时 l与c相离 直线与圆锥曲线位置关系的应用 方法归纳 本题通过对图形的观察分析 将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题 解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立 消去y或x得到关于x或y的一元二次方程 则 1 直线与椭圆相交 0 2 直线与椭圆相切 0 3 直线与椭圆相离 0 所以判定直线与椭圆的位置关系 方程及其判别式是最基本的工具 直线与圆锥曲线相交弦问题 方法归纳 处理直线与圆锥曲线相交的关系问题的通法是通过解直线与圆锥曲线构成的方程 利用根与系数的关系或中点坐标公式解决 涉及弦的中点 还可使用点差法 设出弦的两端点坐标 代入曲线方程 两式相减即得弦的中点与斜率的关系 3 已知直线y ax 1与双曲线3x2 y2 1交于a b两点 若以ab为直径的圆过坐标原点 求实数a的值及弦长ab 名师点评 这是一类 探索性 或 存在性 问题 解决这类问题的思路是 先假设存在 然后利用已知条件求解 若求不出 则说明不存在 若求出 则也不一定存在 还需看是否符合题意 本例中涉及到直线与双曲线相交 必须满足联立方程后整理出来的方程的判别式 0 结果发
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