人教B版选修21 直线与平面的夹角、二面角及其度量 学业分层测评.doc

3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()a120b60c30 d以上均错【解析】设直线l与平面所成的角为，则sin |cos 120|.又090，30.【答案】c2若直线l与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()a. bc. d【解析】由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为.【答案】d3正方形abcd所在平面外一点p，pa平面abcd，若paab，则平面pab与平面pcd的夹角为() 【导学号：15460079】a30 b45c60 d90【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设paab1.则a(0,0,0)，d(0,1,0)，p(0,0,1)于是(0,1,0)取pd中点为e，则e，易知是平面pab的法向量，是平面pcd的法向量，cos，平面pab与平面pcd的夹角为45.【答案】b4如图3231，在空间直角坐标系dxyz中，四棱柱abcda1b1c1d1为长方体，aa1ab2ad，点e，f分别为c1d1，a1b的中点，则二面角b1a1be的余弦值为()图3231a bc. d【解析】设ad1，则a1(1,0,2)，b(1,2,0)，因为e，f分别为c1d1，a1b的中点，所以e(0,1,2)，f(1,1,1)，所以(1,1,0)，(0,2，2)，设m(x，y，z)是平面a1be的法向量，则所以所以取x1，则yz1，所以平面a1be的一个法向量为m(1,1,1)，又da平面a1b1b，所以(1,0,0)是平面a1b1b的一个法向量，所以cosm，又二面角b1a1be为锐二面角，所以二面角b1a1be的余弦值为，故选c.【答案】c5正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为ab，c1d1的中点，则a1b1与平面a1ef夹角的正弦值为()a. bc. d【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则a1(1,0,1)，e，f，b1(1,1,1)(0,1,0)，设平面a1ef的法向量n(x，y，z)，则即令y2，则n(1,2,1)，cosn，即线面角的正弦值为.【答案】b二、填空题6等腰rtabc的斜边ab在平面内，若ac与成30角，则斜边上的中线cm与平面所成的角为_【解析】作co，o为垂足，连接ao，mo，则cao30，cmo为cm与所成的角在rtaoc中，设co1，则ac2.在等腰rtabc中，由ac2得cm.在rtcmo中，sincmo，所以cmo45.【答案】457在空间直角坐标系oxyz中，已知a(1，2,0)，b(2,1，)，则向量与平面xoz的法向量的夹角的正弦值为_【解析】设平面xoz的法向量为n(0，t,0)(t0)，(1,3, )，所以cosn，因为n，0，所以sinn，.【答案】8已知点e，f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则平面aef与平面abc所成的二面角的正切值等于_【解析】如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，平面abc的法向量为n1(0,0,1)，平面aef的法向量为n2(x，y，z)所以a(1,0,0)，e，f，所以，则即取x1，则y1，z3.故n2(1，1,3)所以cosn1，n2.所以平面aef与平面abc所成的二面角的平面角满足cos ，sin ，所以tan .【答案】三、解答题9.如图3232所示，在四面体abcd中，o，e分别是bd，bc的中点，cacbcdbd2，abad.图3232(1)求证：ao平面bcd；(2)求异面直线ab与cd所成角的余弦值【解】(1)证明：连接oc，由题意知bodo，abad，aobd.又bodo，bccd，cobd.在aoc中，由已知可得ao1，co，又ac2，ao2co2ac2，aoc90，即aooc.bdoco，ao平面bcd.(2)以o为坐标原点建立空间直角坐标系，则b(1,0,0)，d(1,0,0)，c(0, ，0)，a(0,0,1)，e，(1,0,1)，(1，0)，cos，.异面直线ab与cd所成角的余弦值为.10四棱锥pabcd的底面是正方形，pd底面abcd，点e在棱pb上(1)求证：平面aec平面pdb；(2)当pdab且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成的角的大小【解】如图，以d为原点建立空间直角坐标系dxyz，设aba，pdh，则a(a,0,0)，b(a，a,0)，c(0，a,0)，d(0,0,0)，p(0,0，h)，(1)(a，a,0)，(0,0，h)，(a，a,0)，0，0，acdp，acdb，又dpdbd，ac平面pdb，又ac平面aec，平面aec平面pdb.(2)当pdab且e为pb的中点时，p(0,0，a)，e，设acbdo，o，连接oe，由(1)知ac平面pdb于o，aeo为ae与平面pdb所成的角，cosaeo，aeo45，即ae与平面pdb所成的角的大小为45.能力提升1已知在长方体abcda1b1c1d1中，abbc1，aa12，e是侧棱bb1的中点，则直线ae与平面a1ed1所成角的大小为()a60 b90c45 d以上都不对【解析】以点d为原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图由题意知，a1(1,0,2)，e(1,1,1)，d1(0,0,2)，a(1,0,0)，所以(0,1，1)，(1,1，1)，(0，1，1)设平面a1ed1的一个法向量为n(x，y，z)，则得令z1，得y1，x0，所以n(0,1,1)，cosn，1.所以n，180.所以直线ae与平面a1ed1所成的角为90.【答案】b2.在三棱柱abca1b1c1中，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()图3233a. bc. d【解析】不妨设cacc12cb2，则(2,2,1)，(0，2,1)，所以cos，.因为直线bc1与直线ab1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为.【答案】a3在空间中，已知平面过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xoy的夹角为45，则a_. 【导学号：15460080】【解析】平面xoy的法向量为n(0,0,1)，设平面的法向量为u(x，y，z)，则即3x4yaz，取z1，则u.而cosn，u，又a0，a.【答案】4.如图3234，在直三棱柱a1b1c1abc中，abac，abac2，a1a4，点d是bc的中点图3234(1)求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值；(2)求平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值【解】(1)以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，d(1,1,0)，a1(0,0,4)，c1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4). 因为cos，所以异面直线a1b与c1d所成角的余弦值为.(2)设平面adc1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)