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第3章空间向量与立体几何 选定空间不共面的三个向量作基向量 并用它们表示出指定的向量 是用向量解决立体几何问题的基本要求 解题时应结合已知和所求观察图形 联想相关的运算法则和公式等 就近表示所需向量 再对照目标 将不符合目标要求的向量作新的调整 如此反复 直到所有向量都符合目标要求 向量的线性运算 分析 由于a b c三个向量不共面 所以 a b c 构成空间的一个基底 由空间向量的基本定理可知空间任一向量均可由 a b c 表示 共线向量 共面向量 利用空间向量的共线定理 共面定理可以解决立体几何中的线线 线面 面面平行问题 及三点共线 四点共面的问题 基向量法 所谓基向量法 就是选择合适的基向量处理数学问题的方法 用基向量法求解较复杂的立体几何问题时 首先应恰当地选取基向量 然后将其他相关向量用基向量表示 最后再利用向量间的关系解题 这种方法多用于四面体和平行六面体 用向量法解决平行与垂直问题 可以不添加辅助线 不作辅助面 将几何问题代数化 能很方便地解决问题 不过要注意直线的方向向量与平面的法向量的求法 用向量法解决平行与垂直问题 分析 本题给出的几何体是立方体 垂直 特点明显 因此 建立空间直角坐标系 运用空间向量的坐标运算来解答 角这一几何量在本质上是对直线与平面位置关系的定量分析 其中转化的思想非常重要 三种空间角都可以化为平面角来计算 因此可进一步转化为空间向量的夹角求解 利用空间向量求空间角 已知单位正方体abcd a1b1c1d1 e f分别是棱b1c1和c1d1的中点 试求 1 ad1与ef所成角的大小 2 af与平面beb1所成角的余弦值 3 二面角c1 db b1的正切值 分析 法一 分析相应关系 用几何法求解 法二 坐标系法 确定点坐标 向量坐标 结论 解 法一 1 如图 连结b1d1 e f分别是b1c1和c1d1的中点 ef b1d1 则ad1与ef所成的角等于ad1与b1d1所成的角 ad1b1即为所求 由正方体的性质得 ad1b1为等边三角形 a
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