人教A版选修22 2.3数学归纳法 教案.doc

第二章推理与证明- 2.3数学归纳法一、教学目标：知识与技能：使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题过程与方法：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率；通过学习，让学生体会用归纳推理发现规律，再用数学归纳法证明规律。情感、态度与价值： 通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和 学精神；通过数学归纳法的学习，开拓数学视野，体会数学的 学意义。二、教学重点、难点重点：借助具体的实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。难点：1.学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究发现”教学模式四、教学过程（一）温故知新（1）归纳推理概念：-（这种由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称推理）。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理）指出: 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论；结论不一定正确，需要证明。处理方式：共同回忆这些基础知识。问题引入： 思考：对于问题2，我们只能肯定这个猜想对前4项成立，而不敢肯定它对后续的项也成立这个猜想对n=8000时成立吗？我们怎样解决这个问题？这个猜想对n取所有的自然数时成立吗？我们怎样解决这个问题？处理方式：学生回答这两个问题，在教师引导下，共同思考问题并引入新课。通过分析，我们需要学习一种特殊的证明方法，用于证明与正整数有关的问题，那就是我们这节课所要学习的一种新的证明方法-数学归纳法 点明课题2.3数学归纳法。（二）探究新知 1、创设情境引发学生学习数学归纳法的学习欲望你见过多米诺骨牌游戏吗?请欣赏一下那场景!实验：多米诺骨牌游戏（这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下。只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下，而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下最后，不论有多少骨牌，都能全部倒下.）2、详细分析“多米诺骨牌”全部倒下的所蕴含的原理思考：这个游戏中，能使所有“多米诺骨牌”全部倒下的条件是什么？你认为每个条件的作用是什么？可以看出，只要满足以下两个条件，所有“多米诺骨牌”就都能倒下。（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块骨牌倒下一定导致后一块骨牌也倒下。条件（1）的作用是奠基；条件（2）的作用是给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。多米诺骨牌游戏是递推思想的一个模型。事实上，条件（1）、（2）就是数学归纳法原理的雏形 处理方式：在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程学生回答。 3、利用“多米诺骨牌”原理证明关于数列的猜想 分析：多米诺骨牌游戏原理通项公式的证明方法（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时a1=1，猜想成立（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。（2）假设当n=k时猜想成立，即 ，则当n=k+1时猜想也成立，即 。根据（1）和 （2）可知，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。根据（1）和（2）可知，对任意的正整数n，猜想都成立。 学 处理方式：让学生思考后填表；通过课件展示，让学生了解利用“多米诺骨牌”原理证明关于数列的猜想。4、数学归纳法原理：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：学 x只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法别忘了做总结：根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。 5、巩固数学归纳法原理注意：（1）这两个步骤及总结缺一不可。 （2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”。（3）数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。处理方式：结合课件展示，师生共同解决。为了加深学生的印象，教师结合反例进行说明：（1）为了强调第一步-归纳奠基，举反例：例如：“奇数是2的倍数”显然是个假命题，但是如果没有第一步奠基，直接假设“如果奇数k是2的倍数”（这是一个不合实际的假设），却能推出“那么后一个奇数k+2也是2的倍数”（错因是缺少第一步）（2）为了强调第二步-归纳递推，举反例： 例如：“n2+n+11是质数”这个命题对于n=1,2,3,.9都成立，但是你不能说“n2+n+11是质数”正确，因为当n=10时，102+10+11=121=112故结论不成立。（错因是缺少第二步）可以设计题目：判断题：（错误的指出错因）1) 假设“如果奇数k是2的倍数”（这是一个不合实际的假设），却能推出“那么后一个奇数k+2也是2的倍数”，所以“奇数是2的倍数”是真命题。（ ）2）当n=1,2,3时命题“n2+n+11是质数”都成立，所以命题“n2+n+11是质数” 是真命题（ ）目的是：加深学生对数学归纳法的理解。（三）典例解析分析：第1步如何写？第2步中当n=k时的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？点评：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.处理方式：让学生思考，然后结合课件给以说明，目的是让学生熟悉用数学归纳法证明命题的步骤。巩固练习:1.用数学归纳法证明 处理方式：让学生独立完成，找一位同学到黑板上去书写；点评，课件展示答案。2、两个判断题（见课件）处理方式：让学生口答；结合课件点评。处理方式：让学生独立思考并完成，找一位同学到黑板上去书写；点评，课件展示答案。（四）巩固练习（说明：第1题与第2题课堂处理，第3与4题留作作业题）1、 用数学归纳法证明：“”在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ）a1 b. c d.2. 已知:,则等于( )a: b: c: d: 3. 用数学归纳法证明:122334n(n1)课后思考题：设an+ (nn )，求证：an(n1).提示关键：an+1=+(k1) (k1) +(k+1)+(k+1)+(k+)(k+2)五、小结1、数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2、数学归纳法证明命题的