苏教版选修22 1.4 导数在实际生活中的应用 学案.docx

学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 2利用导数解决优化问题的实质是 3解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程类型一面积、容积的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，abcd是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得abcd四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e，f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设aefbx cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积s(cm2)最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积v(cm3)最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值反思与感悟(1)这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应选取合理的边长x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长，这样函数关系式就列出来了(2)这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正，建立x的不等式(组)求定义域跟踪训练1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场如图，圆形广场的圆心为o，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点m.点a为上半圆弧上一点，过点a作l的垂线，垂足为点b.市园林局计划在abm内进行绿化设abm的面积为s(单位：m2)，aon(单位：弧度)(1)将s表示为的函数；(2)当绿化面积s最大时，试确定点a的位置，并求最大面积类型二利润最大问题例2已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为r(x)万元，且r(x)(1)求年利润w(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润收入成本；(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大类型三费用(用材)最省问题例3已知a、b两地相距200 km，一只船从a地逆水行驶到b地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(80)，为使利润最大，应生产 千台3将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为 cm.4某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？1利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用提醒：完成作业1.4答案精析问题导学知识点1优化问题2求函数最值3数学建模题型探究例1解(1)由题意知包装盒的底面边长为x cm，高为(30x) cm，所以包装盒侧面积为s4x(30x)8x(30x)8()28225，当且仅当x30x，即x15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积s(cm2)最大，则x15.(2)包装盒容积v2x2(30x)2x360x2(0x0，得0x20；令v0，得20x30.所以当x20时，包装盒容积v取得最大值，此时包装盒底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为.跟踪训练1解(1)如图，bmaosin 100sin ，abmoaocos 100100cos ，则smbab100sin (100100cos )5 000(sin sin cos )，(0，)(2)s5 000(2cos2 cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1)令s0，得cos 或cos 1(舍去)，此时.当时，s取得最大值，smax3 750 m2，此时ab150 m，即点a到北京路一边l的距离为150 m.例2解(1)当010时，wxr(x)(102.7x)982.7x，w(2)当0x10时，由w8.10，得x9，且当x(0,9)时，w0；当x(9,10)时，w0.当x9时，w取最大值，且wmax8.19931038.6.当x10时，w9898238，当且仅当2.7x，即x时，w38，故当x时，w取最大值38.综合知，当x9时，w取得最大值38.6万元故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元跟踪训练2解(1)因为x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x0)，则y1kv2，当v12时，y1720，720k122，得k5.设全程燃料费为y，由题意，得yy1，y.令y0，得v16，当v016，即v16 km/h时全程燃料费最省，ymin32 000(元)；当v016，即v(8，v0时，y0，即y在(8，v0上为减函数，当vv0时，ymin(元)综上，当v016时，v16 km/h全程燃料费最省，为32 000元；当v016，即vv0时全程燃料费最省，为元跟踪训练3解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为c(x)，再由c(0)8，得k40，因此c(x)，而建造费用为c1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20c(x)c1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6.解得x5，x(舍去)，当0x5时，f(x)0，当5x0，故x5为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元达标检测14263.4解(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)由已知条件，得24k22，于是有k6.所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)根据(