苏教版选修22 2.2.2 间接证明 课件（39张）.pptx

2 2 2间接证明 第2章2 2直接证明与间接证明 学习目标1 了解反证法是间接证明的一种基本方法 2 理解反证法的思考过程 会用反证法证明数学问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一间接证明 阅读下列证明过程 若a2 b2 c2 则a b c不可能都是奇数 证明 假设a b c都是奇数 则a2 b2 c2都是奇数 a2 b2为偶数 a2 b2 c2 这与已知矛盾 a b c不可能都是奇数 请问上述证法是直接证明吗 为什么 答案 答案不是直接证明 因为这种证明既不是直接从条件出发 也不是从结论出发 间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立 像这种的方法通常称为间接证明 就是一种常用的间接证明方法 间接证明还有 等 梳理 不是直接证明 反证法 同一法 枚举法 知识点二反证法 答案 王戎小时候 爱和小朋友在路上玩耍 一天 他们发现路边的一棵树上结满了李子 小朋友一哄而上 去摘李子 独有王戎没动 等到小朋友们摘了李子一尝 原来是苦的 他们都问王戎 你怎么知道李子是苦的呢 王戎说 假如李子不苦的话 早被路人摘光了 而这树上却结满了李子 所以李子一定是苦的 思考1 本故事中王戎运用了什么论证思想 答案运用了反证法思想 思考2 反证法解题的实质是什么 答案否定结论 导出矛盾 从而证明原结论正确 答案 梳理 1 反证法证明过程反证法证明时 要从开始 经过 导致 从而达到 即肯定原命题 用反证法证明命题 若p则q 的过程可以用下图表示 否定结论 正确的推理 逻辑矛盾 否定结论q p且q 为假 新的否定 2 反证法证明命题的步骤 假设不成立 即假定原结论的反面为真 归谬 从和出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 存真 由 断定反设不真 从而肯定原结论成立 命题的结论 反设 已知条件 矛盾结果 反设 题型探究 例1设 an 是公比为q的等比数列 设q 1 证明 数列 an 1 不是等比数列 证明 类型一用反证法证明否定性命题 证明假设 an 1 是等比数列 则对任意的k n ak 1 1 2 ak 1 ak 2 1 a1 0 2qk qk 1 qk 1 q 0 q2 2q 1 0 q 1 这与已知矛盾 假设不成立 故 an 1 不是等比数列 1 用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题称为否定性命题 此类问题的正面比较模糊 而反面比较具体 适合使用反证法 2 用反证法证明数学命题的步骤 反思与感悟 证明 a b c成等比数列 b2 ac a c 从而a b c 这与已知a b c不成等差数列相矛盾 假设不成立 例2a b c 0 2 求证 2 a b 2 b c 2 c a不能都大于1 类型二用反证法证明 至多 至少 类问题 证明 证明假设 2 a b 2 b c 2 c a都大于1 因为a b c 0 2 所以2 a 0 2 b 0 2 c 0 即3 3 矛盾 所以 2 a b 2 b c 2 c a不能都大于1 引申探究已知a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a不能都大于 证明 a b c都是小于1的正数 1 a 1 b 1 c都是正数 应用反证法常见的 结论词 与 反设词 当命题中出现 至多 至少 等词语时 直接证明不易入手且讨论较复杂 这时 可用反证法证明 证明时常见的 结论词 与 反设词 如下 反思与感悟 跟踪训练2已知a b c d r 且a b c d 1 ac bd 1 求证 a b c d中至少有一个是负数 证明 证明假设a b c d都不是负数 即a 0 b 0 c 0 d 0 a b c d 1 b 1 a 0 d 1 c 0 ac bd ac 1 a 1 c 2ac a c 1 ac a ac c 1 a c 1 c a 1 1 a c 1 0 c a 1 0 a c 1 c a 1 1 1 即ac bd 1 与ac bd 1相矛盾 假设不成立 a b c d中至少有一个是负数 例3求证 方程2x 3有且只有一个根 证明 类型三用反证法证明惟一性命题 证明 2x 3 x log23 这说明方程2x 3有根 下面用反证法证明方程2x 3的根是惟一的 假设方程2x 3至少有两个根b1 b2 b1 b2 则 3 3 两式相除得 1 b1 b2 0 则b1 b2 这与b1 b2矛盾 假设不成立 从而原命题得证 用反证法证明惟一性命题的一般思路 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和惟一性 当证明结论以 有且只有 只有一个 惟一存在 等形式出现的命题时 可先证 存在性 由于假设 惟一性 结论不成立易导出矛盾 因此可用反证法证其惟一性 反思与感悟 跟踪训练3若函数f x 在区间 a b 上是增函数 求证 方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实根 证明 证明假设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个实根 设 为其中的两个实根 因为 不妨设 又因为函数f x 在 a b 上是增函数 所以f f 这与假设f 0 f 矛盾 所以方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实根 当堂训练 1 证明 在 abc中至多有一个直角或钝角 第一步的假设应是 答案 2 3 4 5 1 三角形中至少有两个直角或钝角 2 用反证法证明 在三角形中至少有一个内角不小于60 应先假设这个三角形中 答案 2 3 4 5 1 每一个内角都小于60 3 a b 的反面应是 2 3 4 5 1 答案 a b或a b 4 用反证法证明 在同一平面内 若a c b c 则a b 时 应假设 2 3 4 5 1 答案 a与b相交 5 求证 过一点只有一条直线与已知平面垂直 已知 平面 和一点p 求证 过点p与 垂直的直线只有一条 2 3 4 5 1 证明 2 3 4 5 1 证明如图所示 不论点p在 内还是在 外 设pa 垂足为a 或p 假设过点p不止有一条直线与 垂直 如还有另一条直线pb 设pa pb确定的平面为 且 a 于是在平面 内过点p有两条直线pa pb垂直于a 这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾 假设不成立 原命题成立 规律与方法 用反证法证题需把握三点 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能 要逐一论证 缺少任何一种可能 证明都是不全面