苏教版选修22 2.3 数学归纳法 第2课时 课件（28张）.pptx

第2课时用数学归纳法证明不等式 第2章2 3数学归纳法 学习目标1 学会用数学归纳法证明不等式的过程 2 体会变形和放缩法在证明过程中的应用 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 一般地 对于某些与有关的数学命题 我们有数学归纳法公理 如果 1 当n取第一个值时结论正确 2 假设当 时成立 证明当时结论也正确 那么 命题对于从n0开始的所有正整数n都成立 正整数 n0 n k 1 n k k n 且k n0 题型探究 证明 类型一利用数学归纳法证明不等式 故左边 右边 不等式成立 假设当n k k 2 k n 时 命题成立 则当n k 1时 方法一 分析法 只需证 3k 2 3k 3 3k 1 3k 3 3k 1 3k 2 3 3k 1 3k 2 0 只需证 9k2 15k 6 9k2 12k 3 9k2 9k 2 27k2 27k 6 0 只需证9k 5 0 显然成立 所以当n k 1时 不等式也成立 方法二 放缩法 所以当n k 1时 不等式也成立 由 可知 原不等式对一切n 2 n n 均成立 用数学归纳法证明不等式的四个关键点 1 验证第一个n的值时 要注意n0不一定为1 若n k k为正整数 则n0 k 1 2 证明不等式的第二步中 从n k到n k 1的推导过程中 一定要用到归纳假设 不应用归纳假设的证明不是数学归纳法 因为缺少归纳假设 反思与感悟 3 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较 以免出现判断失误 最后猜出从某个n值开始都成立的结论 常用数学归纳法证明 4 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k时成立得n k 1时成立 主要方法有比较法 分析法 综合法 放缩法等 跟踪训练1在数列 an 中 已知a1 a a 2 an 1 n n 用数学归纳法证明 an 2 n n 证明 证明 当n 1时 a1 a 2 命题成立 当n k 1时 命题也成立 由 得 对任意正整数n 都有an 2 假设当n k k n 时 命题成立 即ak 2 类型二猜想并证明不等式 解答 所以取a 25 当n 1时 已证结论正确 即当n k 1时 结论也成立 故a的最大值为25 1 通过观察 判断 猜想出结论 这是探索的关键 2 在用数学归纳法证明命题时 注意验证起始值 反思与感悟 跟踪训练2设数列 an 满足an 1 nan 1 n 1 2 3 1 当a1 2时 求a2 a3 a4 并由此猜想出an的一个通项公式 解答 由此猜想an的一个通项公式为an n 1 n 1 n n 2 当a1 3时 证明对所有的n 1 n n 有an n 2 证明 当n 1时 a1 3 1 2 不等式成立 假设当n k k 1 n n 时 不等式成立 即ak k 2 那么当n k 1时 ak 1 ak ak k 1 k 2 k 2 k 1 k 3 即当n k 1时 ak 1 k 1 2 由 可知 对任意的n 1 n n 都有an n 2 证明 当堂训练 答案 2 3 4 1 2 设f x 是定义在正整数集上的函数 且f x 满足当f k k2成立时 总可推出f k 1 k 1 2成立 那么 下列命题成立的是 填序号 若f 3 9成立 则当k 1时 均有f k k2成立 若f 5 25成立 则当k 5时 均有f k k2成立 若f 7 49成立 则当k 8时 均有f k k2成立 若f 4 25成立 则当k 4时 均有f k k2成立 答案 2 3 4 1 解析 解析若f 4 25 则f 4 42 由条件可知 当k 4时 f k k2 故 正确 3 以下是用数学归纳法证明有 n n 时 2n n2 的过程 证明 1 当n 1时 21 12 不等式显然成立 2 假设当n k k n 时不等式成立 即2k k2 那么 当n k 1时 2k 1 2 2k 2k 2k k2 k2 k2 2k 1 k 1 2 即当n k 1时不等式也成立 根据 1 和 2 可知对任意n n 不等式都成立 其中错误的步骤为 填序号 2 3 4 1 答案 解析 2 解析在2k 1 2 2k 2k 2k k2 k2 k2 2k 1中用了k2 2k 1 这是一个不确定的结论 如k 2时 k2 2k 1 2 3 4 1 答案 解析 成立 那么当n k 1时 只需证明 即可 2 3 4 1 规律与方法 1 n k 1时式子的项数 特别是寻找n k与n k 1的关系时 项数发生什么变化容易被弄错 因此对n k与n k 1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障 2 假设n k k 1 时命题成立 利用这