苏教版选修22 1.1.2瞬时变化率——导数 学案.docx

1.1.2瞬时变化率导数学习目标1.理解切线的含义.2.理解瞬时速度与瞬时加速度.3.掌握瞬时变化率导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数知识点一曲线上某一点处的切线如图，pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，点p的坐标为(x0，y0)思考1当点pn点p时，试想割线ppn如何变化？答案当点pn趋近于点p时，割线ppn趋近于确定的位置，即曲线上点p处的切线位置思考2割线ppn的斜率是什么？它与切线pt的斜率有何关系答案割线ppn的斜率kn；当pn无限趋近于p时，kn无限趋近于点p处切线的斜率k.梳理(1)设q为曲线c上的不同于p的一点，这时，直线pq称为曲线的割线随着点q沿曲线c向点p运动，割线pq在点p附近越来越逼近曲线c.当点q无限逼近点p时，直线pq最终就成为在点p处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点p处的切线(2)若p(x，f(x)，过点p的一条割线交曲线c于另一点q(xx，f(xx)，则割线pq的斜率为kpq，当x0时，无限趋近于点p(x，f(x)处的切线的斜率知识点二瞬时速度与瞬时加速度瞬时变化率1平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度2瞬时速度一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体位移s(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率3瞬时加速度一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率知识点三导数1导数设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数a，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数a为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)2导数的几何意义导数f(x0)的几何意义就是曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率3导函数(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)在不引起混淆时，导函数f(x)也简称为f(x)的导数(2)f(x)在xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值类型一求曲线上某一点处的切线例1已知曲线yx上的一点a(2，)，用切线斜率定义求：(1)点a处的切线的斜率；(2)点a处的切线方程解(1)yf(2x)f(2)2x(2)x，1.当x无限趋近于零时，无限趋近于，即点a处的切线的斜率是.(2)切线方程为y(x2)，即3x4y40.反思与感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，x无限趋近于0时，无限趋近的常数跟踪训练1(1)已知曲线y2x24x在点p处的切线的斜率为16，则点p坐标为_答案(3,30)解析设点p坐标为(x0，y0)，则4x042x.当x无限趋近于0时，4x042x无限趋近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023243181230.即点p坐标为(3,30)(2)已知曲线y3x2x，求曲线上一点a(1,2)处的切线的斜率及切线方程解设a(1,2)，b(1x,3(1x)2(1x)，则kab53x，当x无限趋近于0时，53x无限趋近于5，所以曲线y3x2x在点a(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y25(x1)，即5xy30.类型二求瞬时速度例2某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度解在1到1t的时间内，物体的平均速度3t，当t无限趋近于0时，无限趋近于3，物体在t1处的瞬时变化率为3.即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.引申探究1若本例中的条件不变，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度1t，当t0时，1t1，物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解设物体在t0时刻的速度为9 m/s.又(2t01)t.当t0时，2t01.则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟(1)求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)求平均速度.求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度跟踪训练2一质点m按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点m在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值解质点m在t2 s时的瞬时速度即为函数在t2 s处的瞬时变化率质点m在t2 s附近的平均变化率为4aat，当t0时，4a8，即a2.类型三求函数在某点处的导数例3已知f(x)x23.(1)求f(x)在x2处的导数；(2)求f(x)在xa处的导数解(1)因为4x，当x无限趋近于0时，4x无限趋近于4，所以f(x)在x2处的导数等于4.(2)因为2ax，当x无限趋近于0时，2ax无限趋近于2a，所以f(x)在xa处的导数等于2a.反思与感悟求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤(1)求函数值的改变量yf(x0x)f(x0)(2)求平均变化率.(3)令x无限趋近于0，求得导数跟踪训练3(1)设f(x)ax4，若f(1)2，则a_.答案2解析a，f(1)a，即a2.(2)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h，原油的温度(单位：)为f(x)x27x15(0x8)求函数yf(x)在x6处的导数f(6)，并解释它的实际意义解当x从6变到6x时，函数值从f(6)变到f(6x)，函数值y关于x的平均变化率为5x.当x0时，平均变化率趋近于5，所以f(6)5，导数f(6)5表示当x6时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过1 h时间，原油温度将升高5 .1一个做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则此物体在t2时的瞬时速度为_答案1解析由于s3(2t)(2t)2(3222)3t4t(t)2t(t)2，所以1t.当t无限趋近于0时，无限趋近于常数1.故物体在t2时的瞬时速度为1.2已知曲线yf(x)2x2上一点a(2,8)，则点a处的切线斜率为_答案8解析因为82x，当x0时，82x趋近于8.即k8.3函数yx在x1处的导数是_答案0解析函数yf(x)x，yf(1x)f(1)1x11，当x0时，0，即yx在x1处的导数为0.4设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则f(x0)的值为_答案a解析由导数定义，得abx，故当x0时，其值趋近于a，故f(x0)a.5如果一个物体的运动方程s(t)试求该物体在t1和t4时的瞬时速度解当t1时，s(t)t22，则2t，当t无限趋近于0时，2t无限趋近于2，所以v(1)2；t43，)，s(t)293(t3)23t218t56，3t6，当t无限趋近于0时，3t66，即6，所以v(4)6.1平均变化率和瞬时变化率的关系平均变化率，当x无限趋近于0时，它所趋近于的一个常数就是函数在xx0处的瞬时变化率即有：x无限趋近于0是指自变量间隔x越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0.即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致无限趋近于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率2求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度的解题步骤(1)计算y.(2)求.(3)当x0时，无限趋近于哪个常数课时作业一、填空题1函数f(x)x2在x3处的导数等于_答案6解析6x，当x0时，得f(3)6.2若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则a_，b_.答案11解析ax，当x0时，a.切线xy10的斜率为1，a1.点(0，b)在直线xy10上，b1.3已知曲线yx22上一点p，则过点p的切线的倾斜角为_答案45解析yx22，xx.故当x0时，其值无限趋近于x，y|x11.点p处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45.4设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a_.答案1解析2aax，当x0时，2a，可令2a2，a1.5已知曲线yx3上一点p(2，)，则该曲线在点p处切线的斜率为_答案4解析由yx3，得3x23xx(x)2，当x0时，其值无限趋近于x2.故yx2，y|x2224，结合导数的几何意义知，曲线在点p处切线的斜率为4.6在曲线yx2上切线倾斜角为的点的坐标为_答案(，)解析2xx，当x0时，其值趋近于2x.令2xtan 1，得x，y2，所求点的坐标为.7已知曲线yf(x)2x24x在点p处的切线斜率为16，则点p坐标为_答案(3,30)解析设点p(x0,2x4x0)，则2x4x04，当x0时，其值无限趋近于44x0.令4x0416，得x03，p(3,30)8.如图，函数yf(x)的图象在点p处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.答案2解析点p在切线上，f(5)583，f(5)k1，f(5)f(5)312.9已知函数f(x)的图象在点m(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_.答案3解析由在点m处的切线方程是yx2，得f(1)12，f(1).f(1)f(1)3.10若抛物线yx2xc上一点p的横坐标是2，抛物线过点p的切线恰好过坐标原点，则c的值为_答案4解析设在点p处切线的斜率为k，5x，当x0时，5，k5，切线方程为y5x.点p的纵坐标为y5(2)10，将p(2,10)代入yx2xc，得c4.二、解答题11已知质点运动方程是s(t)gt22t1(g是重力加速度，常量)，求质点在t4 s时的瞬时速度(其中s的单位是m，t的单位是s)解gt4g2.当t0时，4g2，s(4)4g2，即v(4)4g2，质点在t4 s时的瞬时速度为(4g2) m/s.12求曲线yf(x)x3x3在点(1,3)处的切线方程解因为点(1,3)在曲线上，且f(x)在x1处可导，(x)23x2，当x0时，(x)23x22，故f(1)2.故所求切线方程为y32(x1)，即2xy10.13已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积解(1)x3，当x0时，3，直线l1的斜率k13，直线l1的方程为y3(x1)，即y3x3.设直线l2过曲线yx2x2上的点p(x0，xx02)，则直线l2的方程为y(xx02)(2x01)(xx0)l1l2，3(2x01)1，解得x0.直线l2的方程为yx.(2)解方程组得又直线l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，(，0)，所求三角形的面积为s|(1).三、探究与拓展14设p为曲线c：yx22x3上的点，且曲线c在点p处的切线倾斜角的范围为，则点p横坐标的取值范围为_答案解析x2x2.故当x0时，其值无限趋近于2x2.可设点p横坐标为x0，则曲线c在点p处的切线斜率为2x02.由已