苏教版选修23 2.3.2 事件的独立性 学案.docx

2018-2019学年苏教版选修2-3 2.3.2 事件的独立性 学案 学习目标1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.知识点一相互独立的概念若事件a，b满足p(a|b)p(a)，则称事件a，b独立事件a，b相互独立的充要条件是p(ab)p(a)p(b)思考互斥事件与相互独立事件有什么区别？答两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响知识点二相互独立事件的概率若事件a1，a2，an(nn且n2)相互独立，则这n个事件同时发生的概率p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)知识点三相互独立的性质相互独立的性质如果事件a与b相互独立，那么a与，与b，与也都相互独立题型一相互独立事件的判断例1从一副不含大、小王的扑克牌(52张)中任抽一张，设a“抽得老k”，b“抽得红牌”，判断事件a与b是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？解由于事件a为“抽得老k”，事件b为“抽得红牌”，故抽得红牌中有可能抽到红桃k或方块k，即有可能抽到老k，故事件a，b有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑它们是否互为独立事件：抽到老k的概率为p(a)，抽到红牌的概率p(b)，故p(a)p(b)，事件ab即为“既抽得老k又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老k或方块老k”，故p(ab)，从而有p(a)p(b)p(ab)，因此a与b互为独立事件.反思与感悟对于事件a，b，在一次试验中，a，b如果不能同时发生，则称a，b互斥.一次试验中，如果a，b两个事件互斥且a，b中必然有一个发生，则称a，b对立，显然a为一个必然事件.a，b互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生.两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.跟踪训练1(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件a：“甲击中目标”，事件b：“乙击中目标”，则事件a与事件b的关系是_.相互独立但不互斥；互斥但不相互独立；相互独立且互斥；既不相互独立也不互斥.(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件a：“出现偶数点”，事件b：“出现3点或6点”，则事件a，b的关系是_.互斥但不相互独立；相互独立但不互斥；互斥且相互独立；既不相互独立也不互斥.答案(1)(2)解析(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件a与b相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件a与b可能同时发生，所以事件a与b不是互斥事件.(2)事件a2,4,6，事件b3,6，事件ab6，基本事件空间1,2,3,4,5,6.所以p(a)，p(b)，p(ab)，即p(ab)p(a)p(b)，因此，事件a与b相互独立.当“出现6点”时，事件a，b同时发生，所以a，b不是互斥事件.题型二相互独立事件同时发生的概率例2甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率.解设“甲射击1次，击中目标”为事件a，“乙射击1次，击中目标”为事件b，则a与b，与b，a与，与为相互独立事件.(1)2人都射中目标的概率为p(ab)p(a)p(b)0.80.90.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件a发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件b发生).根据题意，事件a与b互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为p(a)p(b)p(a)p()p()p(b)0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26.(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为pp(ab)p(a)p(b)0.720.260.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为pp( )p(a)p(b)p()p()p(a)p()p()p(b)0.020.080.180.28.反思与感悟解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若a，b相互独立，则与b，a与，与也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解.跟踪训练2甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和.求(1)两人都能破译的概率；(2)两人都不能破译的概率；(3)恰有一人能破译的概率；(4)至多有一人能破译的概率.解设“甲能破译”为事件a，“乙能破译”为事件b，则a，b相互独立，从而a与，与b，与均相互独立.(1)“两个都能破译”为事件ab，则p(ab)p(a)p(b).(2)“两人都不能破译”为事件 ，则p( )p()p()1p(a)1p(b)(1)(1).(3)“恰有一人能破译”为事件(a)(b)，又a与b互斥，则p(a)(b)p(a)p(b)p(a)p()p()p(b)(1)(1).(4)“至多一人能破译”为事件(a)(b)( )，且a，b， 互斥，故p(a)(b)( )p(a)p(b)p( )p(a)p()p()p(b)p()p()(1)(1)(1)(1).题型三相互独立事件概率的应用例3某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为a，b，c，则a，b，c两两相互独立且p(a)0.9，p(b)0.8，p(c)0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用 表示p( )p()p()p()1p(a)1p(b)1p(c)(10.9)(10.8)(10.85)0.003所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(bc)(ac)(ab)表示.由于事件bc，ac和ab两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为p(bc)p(ac)p(ab)p()p(b)p(c)p(a)p()p(c)p(a)p(b)p()1p(a)p(b)p(c)p(a)1p(b)p(c)p(a)p(b)1p(c)(10.9)0.80.850.9(10.8)0.850.90.8(10.85)0.329，所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.反思与感悟求复杂事件的概率，应先列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示，再理清各事件之间的关系，最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算.跟踪训练3某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：(1)两件产品都是正品的概率；(2)恰有一件是正品的概率；(3)至少有一件正品的概率.解用a表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用b表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用c表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用d表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则c(a)(b)，dc(ab).(1)由题意知，a与b是相互独立事件p(b)1p()10.050.95，p(a)0.96，所以两件都是正品的概率为p(ab)p(a)p(b)0.960.950.912.(2)由于事件a与b互斥，所以恰有一件是正品的概率为p(c)p(a)(b)p(a)p(b)p(a)p()p()p(b)0.960.050.040.950.086.(3)由于事件ab与c互斥，所以p(d)p(ab)(c)p(ab)p(c)0.9120.0860.998.1.坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用a1表示第一次取得白球，a2表示第二次取得白球，则a1和a2_相互独立事件(填“是”、“不是”).答案不是解析p(a1).若a1发生了，p(a2)；若a1不发生，p(a2)，即a1发生的结果对a2发生的结果有影响，a1与a2不是相互独立事件.2.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为，则此密码能译出的概率是_.答案解析用a，b，c分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，则p(a)，p(b)，p(c)，且p()p()p()p().此密码被译出的概率为1.3.甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是_.答案p1(1p2)p2(1p1)解析恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决.这两个事件显然是互斥的.所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1p2)p2(1p1).4.a，b，c三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：a班6 6.5 7 7.5 8b班6 7 8 9 10 11 12c班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5(1)试估计c班的学生人数；(2)从a班和c班抽出的学生中，各随机选取1人，a班选出的人记为甲，c班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率.解(1)c班学生人数约为10010040(人).(2)设事件ai为“甲是现有样本中a班的第i个人”，i1，2，5.事件cj为“乙是现有样本中c班的第j个人”，j1，2，8.由题意可知p(ai)，i1，2，5；p(cj)，j1，2，8.p(aicj)p(ai)p(cj)，i1，2，5，j1，2，8.设事件e为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，ea1c1a1c2a2c1a2c2a2c3a3c1a3c2a3c3a4c1a4c2a4c3a5c1a5c2a5c3a5c4.因此p(e)p(a1c1)p(a1c2)p(a2c1)p(a2c2)p(a2c3)p(a3c1)p(a3c2)p(a3c3)p(a4c1)p(a4c