人教B版选修23 1.3.1 二项式定理 学案.doc

1.3二项式定理13.1二项式定理 问题1：我们在初中学习了(ab)2a22abb2，试用多项式的乘法推导(ab)3、(ab)4的展开式提示：(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：(ab)3的展开式有4项，每一项的次数是3；(ab)4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3：你能用组合的观点说明(ab)4是如何展开的吗？提示：(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)由多项式的乘法法则知，从每个(ab)中选a或选b相乘即得展开式中的一项若都选a，则得ca4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得ca3b；若有两个选b，其余两个选a，则得ca2b2；若都选b，则得ca0b4.问题4：能用类比方法写出(ab)n(nn)的展开式吗？提示：能，(ab)ncancan1bcbn.1二项式定理公式(ab)ncancan1bcan2b2canrbrcbn(nn)所表示的规律叫做二项式定理2相关概念(1)公式右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式(2)各项的系数c(r0,1,2，n)叫做展开式的二项式系数(3)展开式中的canrbr叫做二项展开式的通项，记作：tr1，它表示展开式的第r1项(4)在二项式定理中，如果设a1，bx，则得到公式(1x)nccxcx2cxrcxn.展开式具有以下特点：(1)项数：共有n1项；(2)二项式系数：依次为c，c，c，c，c；(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；(4)通项tr1canrbr是第r1项，而不是第r项 二项式定理的正用、逆用例1(1)用二项式定理展开5.(2)化简：c(x1)nc(x1)n1c(x1)n2(1)rc(x1)nr(1)nc.思路点拨(1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解精解详析(1)5c(2x)5c(2x)4c532x5120x2.(2)原式c(x1)nc(x1)n1(1)c(x1)n2(1)2c(x1)nr(1)rc(1)n(x1)(1)nxn.一点通1(ab)n的二项展开式有n1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1)各项的次数等于n；(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.2逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢1求4的展开式解：法一：4c(3)4c(3)3c(3)22c(3)3c481x2108x54.法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.2求c9c92c93c94c的值解：原式(92c93c94c95c96c)(c91c92c93c94c95c96c)(c91c)(19)6(169)(10655)12 345.求二项展开式中的特定项或其系数例2(1)(江西高考)5展开式中的常数项为()a80b80c40 d40(2)(浙江高考)设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为a，常数项为b.若b4a，则a的值是_思路点拨求特定项或特定项的系数，可以先写出二项展开式的通项，求出相应的r值后再代入通项求特定项或其系数精解详析(1)设展开式的通项为tr1cr(x2)5r(2)rcx105r，所以当105r0，即r2时，tr1为常数即tr1(2)2c40.故选c.(2)由题意得tr1cx6rr(a)rcx，a(a)2c，b(a)4c.又b4a，(a)4c4(a)2c，解之得a24.又a0，a2.答案(1)c(2)2一点通求二项展开式中的特定项要注意以下几点：(1)求二项展开式中的特定项是二项展开式的通项的应用；(2)二项展开式的通项是指tr1canrbr，如t5t41can4b4，代入时不要代错值；(3)常数项是指不含字母的项；(4)有理项是指字母指数为整数的项3(四川高考)在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为()a30 b20c15 d10解析：只需求(1x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为c15，故选c.答案：c4在20的展开式中，系数是有理数的项共有()a4项 b5项c6项 d7项解析：tr1c(x)20rrr()20rcx20r.系数为有理数，()r与2均为有理数，r能被2整除，且20r能被3整除故r为偶数，20r是3的倍数，0r20，r2,8,14,20.答案：a5在8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)展开式的倒数第3项解：法一：利用二项式的展开式解决(1)8(2x2)8c(2x2)7c(2x2)62c(2x2)53c(2x2)44c(2x2)35c(2x2)26c2x27c8，则第5项的二项式系数为c70，第5项的系数为c241 120.(2)由(1)中8的展开式可知倒数第3项为c(2x2)26112x2.法二：利用二项展开式的通项公式解决(1)t5c(2x2)844c24x，则第5项的二项式系数是c70，第5项的系数是c241 120.(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，t7c(2x2)866112x2.1求展开式的特定项的关键是抓住其通项，求解时，先准确写出通项，再把系数和