期末复习讲义专题一.doc

期末专题一：一次函数与四边形1、一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动，快车离乙地的路程y1（km）与行使的时间x（h）之间的函数关系，如图中AB所示；慢车离乙地的路程y2（km）与行使的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段OC所示，根据图象进行以下研究解读信息：（1）甲，乙两地之间的距离为（2）线段AB的解析式为 线段OC的解析式为问题解决：（3）设快，慢车之间的距离为y（km），求y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式， (1)甲，乙两地之间的距离为450km；(2)线段AB的解析式为:y1=450-150x,(0x3)； 线段OC的解析式为:y2=75x ,(0x6)；(3)设快，慢车之间的距离为y（km），求y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式： 由（2）可以得出距离关系式： 0x3时，快慢车都在行驶，y=y1-y2=450-225x，(0x3) 3x6时，快车已到站停止行驶，x=3时快车刚到站，两车距离为225km， y=75x,(3x6) 函数图象： 2、（2013无锡）如图1，菱形ABCD中，A=60，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出（1）求点Q运动的速度；（2）求图2中线段FG的函数关系式；（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由3、如图已知一次函数y=-1/2x=b的图像经过点A(2,3)AB垂直于X轴，垂足为B连接OA设点P为直线y=-1/2x+b上的一点且在第一象限内经过P作x轴的垂线垂足为Q若三角形POQ的面积=5/4三角形AOB的面积求点P的坐标解：y=-0.5x+b过A（2，3），则b=4y-0.5x+4 P在直线y-0.5x+4 上，设P（x, -0.5x+4）且SAOB=23/2=3SPOQ=0.5x(-0.5x+4)=(5/4) ,SAOB=15/4x-8x+15=0解得：x1=3,x2=5故：P(3,2.5)或P(5,1.5)4、（2013天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到ABD（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：一次函数综合题专题：压轴题分析：（1）过点B作BEy轴于点E，作BFx轴于点F依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解（2）由ABD由AOP旋转得到，证明ABDAOPAP=AD，DAB=PAO，DAP=BAO=60，ADP是等边三角形利用勾股定理求出DP在RtBDG中，BGD=90，DBG=60利用三角函数求出BG=BDcos60，DG=BDsin60然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：当P在x轴正半轴上时，即t0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时即t0时，方法同类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t时，方法同综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值解答：解：（1）如图1，过点B作BEy轴于点E，作BFx轴于点F由已知得：BF=OE=2，OF=，点B的坐标是（，2）设直线AB的解析式是y=kx+b（k0），则有解得直线AB的解析式是y=x+4；（2）如图2，ABD由AOP旋转得到，ABDAOP，AP=AD，DAB=PAO，DAP=BAO=60，ADP是等边三角形，DP=AP=如图2，过点D作DHx轴于点H，延长EB交DH于点G，则BGDH方法（一）在RtBDG中，BGD=90，DBG=60BG=BDcos60=DG=BDsin60=OH=EG=，DH=点D的坐标为（，）方法（二）易得AEB=BGD=90，ABE=BDG，ABEBDG，；而AE=2，BD=OP=，BE=2，AB=4，则有，解得BG=，DG=；OH=，DH=；点D的坐标为（，）（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使OPD的面积等于设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：当t0时，如图，BD=OP=t，DG=t，DH=2+tOPD的面积等于，解得，（舍去）点P1的坐标为（，0）当D在x轴上时，根据勾股定理求出BD=OP，当t0时，如图，BD=OP=t，DG=t，GH=BF=2（t）=2+tOPD的面积等于，解得，点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（，0）当t时，如图3，BD=OP=t，DG=t，DH=t2OPD的面积等于，（t）【（2+t）】=，解得（舍去），点P4的坐标为（，0），综上所述，点P的坐标分别为P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、P4（，0） 5、（2013济宁）如图，直线y=x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值考点：一次函数综合题分析：（1）根据直线y=x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EPBO，得出=，据此可以求得点P的运动速度；（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可解答：解：（1）直线y=x+4与坐标轴分别交于点A、B，x=0时，y=4，y=0时，x=8，=，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，EPBO，=，AP=2t，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则OQ=FQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t，83t=t，解得：t=2，如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，OQ=t，PA=2t，OP=82t，QP=t（82t）=3t8，t=3t8，解得：t=4；（3）如图1，当Q在P点的左边时，OQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t，S矩形PEFQ=QPQF=（83t）t=8t3t2，当t=时，S矩形PEFQ的最大值为：=4，如图2，当Q在P点的右边时，OQ=t，PA=2t，QP=t（82t）=3t8，S矩形PEFQ=QPQE=（3t8）t=3t28t，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，0t4，当t=时，S矩形PEFQ的最小，t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：34284=16，综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：166、（2012江苏无锡10分）如图1，AD分别在x轴和y轴上，CDx轴，BCy轴点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示（1）求AB两点的坐标；（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式【答案】解：（1）在图1中，连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2知，当点P到达点A时，DO+OA=6，即DO=6AO=6a，SAOD=4，DOAO=4，即（6a）a4。a26a+8=0，解得a=2或a=4。由图2知，DO3，AO3。a=2。A的坐标为（2，0），D点坐标为（0，4）。在图1中，延长CB交x轴于M，由图2，知AB=1165，CB=12111。MB=413。OM=2+46。B点坐标为（6，3）。（2）显然点P一定在AB上设点P（x，y），连PCPO，则S四边形DPBC=SDPC+SPBC=S五边形OABCD=（S矩形OMCDSABM）=9，6（4y）+1（6x）=9，即x+6y=12。同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9。联立，解得x=，y=。P（，）。设直线PD的函数关系式为y=kx+4，将P（，）代入，得=k+4。解得，k=。直线PD的函数关系式为y=x+4。【考点】动点问题，一次函数综合题，矩形的性质，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。（2）设点P（x，y），连PCPO，得出S四边形DPBC和S四边形DPAO的面积，再进行整理，即可得出x与y的关系，联立求出x、y的值，即可得出P点的坐标。再用待定系数法求出设直线PD的函数关系式。（第7题）解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1。四边形ABCD为矩形，B=90。G点的坐标为（3，4）。（2）设直线EF的解析式是y=kx+b，在RtBFG中，BFG=60。AFE=EFG=60。AE=AFtanAFE=2tan60=2。E点的坐标为（0，42）。又F点的坐标是（2，4）， 解得。直线EF的解析式为。（3）存在。M点的坐标为（），（），（ ）。【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=ABAF=1，则在RtBFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标。（2）由题意，可知AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式。（3）分FG为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状： 若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示。过M1点作M1Hx轴于点H，易证M1HN1GBF，M1H=GB=，即yM1=。由直线EF解析式，求出。M1（）。FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示。仿照与相同的办法，可求得M2（）。FG为平行四边形的对角线，如图3所示。过M3作FB延长线的垂线，垂足为H易证M3FHGN3C，则有M3H=CG=4，所以M3的纵坐标为8。代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为。M3（）。综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为：M1（），M2（），M3（ ）。期末专题一：二次函数综合题1、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）由ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；（2）由直线AB经过点A（1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x22x3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；（3）顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（32，154），点D的坐标为（1，4）由S四边形EBFD=SBEF+SDEF即可求得；过点E作aEF交抛物线于点P，设点P（m，m22m3），可得m22m2=52，即可求得点P的坐标，又由过点F作bEF交抛物线于P3，设P3（n，n22n3），可得n22n2=154，求得点P的坐标，则可得使EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标解答：解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（4，5），&1b+c=0&16+4b+c=5，解得：b=2，c=3；（2）如图：直线AB经过点A（1，0），B（4，5），直线AB的解析式为：y=x+1，二次函数y=x22x3，设点E（t，t+1），则F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）=（t32）2+254，当t=32时，EF的最大值为254，点E的坐标为（32，52）；（3）如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD可求出点F的坐标（32，154），点D的坐标为（1，4）S四边形EBFD=SBEF+SDEF=12254（432）+12254（321）=758；如图：）过点E作aEF交抛物线于点P，设点P（m，m22m3）则有：m22m2=52，解得：m1=2262，m2=2+262，P1（2262，52），P2（2+262，52），）过点F作bEF交抛物线于P3，设P3（n，n22n3）则有：n22n2=154，解得：n1=12，n2=32（与点F重合，舍去），P3（12，154），综上所述：所有点P的坐标：P1（2262，52），P2（2+262，52），P3（12，154）能使EFP组成以EF为直角边的直角三角形2、（12分）如图， 已知抛物线（a0）与轴交于点A(1，0)和点B (3，0)，与y轴交于点C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3) 如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标解: (1)由题知: 1 分 解得: 2分 所求抛物线解析式为: 3分 (2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (1, )或P(1, )或P (1, 6) 或P (1, )7分(3)解法：过点E 作EFx 轴于点F , 设E ( a ,-2a3 )( 3 a 0 ) EF=-2a3，BF=a3，OF=a 8 分S四边形BOCE = BFEF + (OC +EF)OF =( a3 )(2a3) + (2a6)（a）9 分=10 分=+ 当a =时，S四边形BOCE 最大, 且最大值为 11 分 此时，点E 坐标为 (，)12分解法：过点E 作EFx 轴于点F， 设E ( x , y ) ( 3 x 0 ) 8分则S四边形BOCE = (3 + y )(x) + ( 3 + x )y 9分 = (