人教A版选修22 第一章 导数及其应用 小结与复习 学案.doc

第一章导数及其应用-小结与复习 - 学 案一、学习目标1、进一步理导数的概念，掌握导数在研究函数单调性及极值和最值中的应用，完善学生对数的认识。 2、理解导数和定积分中体现的数学思想“以直代曲”；二、自主学习（1）.知识框图（2）课前小测1若函数yx22bx6在(2,8)内是增函数，则()ab0 bb2答案a2已知yasin xsin 3x在x处有极值，则() aa2 ba2ca da0答案b3设函数g(x)x(x21)，则g(x)在区间0,1上的最小值为()a1 b0 c d.答案c解析g(x)x3x，由g(x)3x210，解得x1，x2(舍去)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g(x)0g(x)0极小值0所以当x时，g(x)有最小值g.4.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为()答案d解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象5若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f(x)0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的 条件答案充分不必要解析对于导数存在的函数f(x)，若f(x)0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f(x)0，如f(x)x3在r上是单调递减的，但f(x)0.三、合作探究题型一函数与其导函数之间的关系例1对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是 答案2n12解析由ky|x22n1(n2)，得切线方程为y2n2n1(n2)(x2)，令x0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0(n1)2n，所以2n，则数列的前n项和sn2n12.反思与感悟找切点，求斜率是求切线方程的关键跟踪训练1如图，曲线yf(x)上任一点p的切线pq交x轴于q，过p作pt垂直于x轴于t，若ptq的面积为，则y与y的关系满足()ayy byy cyy2 dy2y答案d解析sptqy|qt|，|qt|，q(x，0)，根据导数的几何意义，kpqyy2y.故选d.题型二利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图象关于原点成中心对称(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x1,5时，求函数的最值解函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，f(x)f(x)，得ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x2b0恒成立，解得a1，b0；(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24，令f(x)0，得4x0，得x4.f(x)的递减区间为(4,4)，递增区间为(，4)和(4，)，f(x)极大f(4)128，f(x)极小f(4)128.(3)由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，对f(4)128，f(1)47，f(5)115，所以函数的最大值为47，最小值为128.小结(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f(x)0得增区间，解f(x)0得减区间(2)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得跟踪训练2已知函数yax3bx2，当x1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在1,1的最值解y3ax22bx，当x1时，y|x13a2b0，y|x1ab3，即，a6，b9.(2)y6x39x2，y18x218x，令y0，得x0，或x1，y极小值y|x00.(3)由(1)知，函数yf(x)6x39x2，又f(1)15，f(0)0，f(1)3，所以函数的最大值为15，最小值为0.题型三导数的综合应用例3已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集r上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由解(1)f(x)3x2a，因为f(x)在r上是增函数，所以f(x)0在r上恒成立即3x2a0在r上恒成立即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在r上单调递增，符合题意所以a的取值范围是(，0(2)假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，则f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x23，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上单调递减，即a3符合题意，所以存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，且a的取值范围是3，)反思与感悟在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f(x)能恒等于0，则由f(x)0(或f(x)0)恒成立解出的参数的取值范围来确定跟踪训练3(1)若函数f(x)4x3ax3的单调递减区间是，则实数a的值是多少？(2)若函数f(x)4x3ax3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？解(1)f(x)12x2a，f(x)的单调递减区间为，x为f(x)0的两个根，a3.(2)若f(x)在上为单调增函数，则f(x)0在上恒成立，即12x2a0在上恒成立，a12x2在上恒成立，a(12x2)min0.当a0时，f(x)12x20恒成立(只有x0时f(x)0)a0符合题意若f(x)在上为单调减函数，则f(x)0在上恒成立，即12x2a0在上恒成立，a12x2在上恒成立，a(12x2)max3.当a3时，f(x)12x233(4x21)0恒成立(且只有x时f(x)0)因此，a的取值范围为a0或a3.四、自主小测1若函数yx3x2mx1是r上的单调函数，则实数m的取值范围是()a. b.c. d.2设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()3设f(x)、g(x)是定义在r上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b) bf(x)g(a)f(a)g(x)cf(x)g(b)f(b)g(x) df(x)g(x)f(a)g(