新时代学校高一数学教案——正弦定理.doc

正弦定理江西省余干县新时代学校 胡建新一、教学内容分析 “正弦定理”是普通高中课程标准数学教科书数学（北师大版必修5）第二章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。二、学生学习情况分析高一的学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在上学期的必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，课程标准强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。三、教学设计理念培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。四、教学目标：1让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式。2通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。3通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。4培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。五、教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明。教学难点：正弦定理的猜想提出过程。教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。六、教学步骤：（一）结合实例，激发动机师生活动：教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？ （图1）学生：思考提出测量角A，C 教师：若已知测得， ，要计算A、B两地距离，你有办法解决吗？学生：思考交流，画一个三角形，使得为6cm， ，量得距离约为4.9cm，利用三角形相似性质可知AB约为490m。教师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？师生：共同回忆解直角三角形，直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。教师：引导，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？（图2）学生：思考，交流，得出过作于如图2，把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。解：如图2，过作于在中， 在中， 教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若，能否用、表示呢？教师：引导学生再观察刚才解题过程。学生：发现， 教师：引导，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？学生：发现即然有，那么也有，。教师：引导，我们习惯写成对称形式，因此我们可以发现，是否任意三角形都有这种边角关系呢？【设计意图】：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。（二）数学实验，验证猜想教师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。可以以直角三角形为特例，先在直角三角形中试探一下。教师：如果一般三角形具有某种边角关系，对于特殊的三角形直角三角形也是成立的，因此我们先研究特例，请同学们对直角三角形进行研究，寻找一般三角形的各边及其对角之间有何关系？同学们可以参与小组成员共同研究。（1）学生以小组为单位进行研究；教师观察学生的研究进展情况或参与学生的研究。【设计意图】教师参与学生之间的研究，增进师生之间的思维与情感的交流，并通过教师的指导与观察，及时掌握学生研究的情况，为展示学生的研究结论做准备；同时通过展示研究结论，强化学生学习的动机，增进学生的成功感及学习的信心。（2）展示学生研究的结果。教师：请说出你研究的结论？学生：教师：你是怎样想出来的？学生：因为在直角三角形中，它们的比值都等于斜边。教师：有没有其它的研究结论？（根据实际情况，引导学生进行分析判断结论正确与否，或留课后进一步深入研究。）教师：对一般三角形是否成立呢？众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。教师：这是个好主意。那么对等边三角形是否成立呢？学生：成立。教师：对任意三角形是否成立，现在让我们借助于几何画板做一个数学实验，借助多媒体演示随着三角形任意变换，、值仍然保持相等。我们猜想：=【设计意图】引导学生的思维逐步形成“情境思考”“提出问题”“研究特例”“归纳猜想”“实验探究”“理论探究”“解决问题”的思维方式，进而形成解决问题的能力。（三）证明猜想，得出定理（1）点明课题：正弦定理教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）（2）正弦定理的理论证明探究教师：既然是定理，则需要证明，请同学们与小组成员共同探究正弦定理的证明。探究方案：直角三角形已验证；锐角三角形课堂探究；钝角三角形课后证明。【设计意图】通过分析，确定探究方案。课堂只让学生探究锐角三角形的情形，有助于在不影响探究进程的同时，为探究锐角三角形的情形腾出更多的时间。钝角三角形的情形以课后证明的形式，可使学生巩固课堂的成果。学生：思考得出证明方法，并着重阐述。在锐角三角形中，如图3设，作：，垂足为在中，（图3）在中，同理，在中， 【设计意图】点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础的等量关系，为后续两种方法的提出做铺垫，同时适时对学生作出合情的评价。教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即还有其它证明方法吗？学生：思考得出，分析图形（图4），对于任意ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：，(图4)ABCDEFbac（图7）而由图中可以看出：，=等式中均除以后可得， 即。教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。 在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高，三角形的面积：，能否得到新面积公式学生：得到三角形面积公式教师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、都等于同一个比值，那么它们也相等，这个到底有没有什么特殊几何意义呢？（图5）学生：在前面的检验中，中，恰为外接接圆的直径，即，所以作的外接圆，为圆心，连接并延长交圆于，把一般三角形转化为直角三角形。如图5证明：连续并延长交圆于， 在中，即同理可证：，【设计意图】在证明正弦定理的同时将两边及其夹角的三角形面积公式及一并牵出，使知识的产生自然合理。教师：从刚才的证明过程中, ，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向量来证明正弦定理呢？学生：思考（联系作高的思想）得出：在锐角三角形中，作，则与在方向上的投影相等,即 故，同理可得 师：利用向量在边上的高上的射影相等，证明了正弦定理，方法非常简捷明了！教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。【设计意图】利用向量法来证明几何问题，学生相对比较生疏，不容易马上想出来，教师通过设计一些递进式的问题给予适当的启发引导，将很难想到的方法合理分解，有利于学生理解接受。（四）小结师：本节课我们是从实际问题出发，通过猜想、实验，归纳等思维方法，最后发现了正弦定理，并从不同的角度证明了它。本节课，我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，利用了几何画板进行数学实验。我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。（五）作业1、回顾本节课的整个研究过程，体会知识的发生过程；2、思考：能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理？3、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。【设计意图】为保证学生有充足的时间来完成观察、归纳、猜想、探究和证明，小结的时间花得少且比较简单，这将在下一节课进行完善。七、教学反思为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识