人教B版选修41 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 章末小结.doc

对应学生用书p32对应学生用书p32证明四点共圆问题证明点共圆的方法有以下几种：(1)利用到一定点的距离相等的各点在一个圆上；(2)利用同斜边的几个直角三角形的各直角的顶点在一个圆上；(3)如图，只要具备以下条件之一者，a、b、c、d四点共圆：bacbdc；badbcd180；fadbcd；aecebede；afbfcfdf.例1已知四边形abcd为平行四边形，过点a和点b的圆与ad、bc分别交于e、f，求证：c、d、e、f四点共圆证明连接ef，因为四边形abcd为平行四边形，所以bc180.因为四边形abfe内接于圆，所以baef180.所以aefc.所以c、d、e、f四点共圆例2已知：如图，四边形abcd中，12.求证：a、b、c、d四点共圆证明由a、b、d三点可以确定一个圆，设该圆为o.(1)如果点c在o的外部(如图)与圆相交于点e，1aeb，12，2aeb.而aeb2，矛盾，故点c不可能在圆外(2)如果点c在o的内部(如图)延长bc与圆相交于点e，连接ae.则1aeb，而12，2aeb，与2aeb矛盾，点c不可能在圆内，点c只能在圆上.证明线段等积式常用的方法证明命题的一般步骤：(1)弄清题意，辨明题设和结论；(2)用分析法探明证题思路和方法；(3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的已知条件；(4)用综合法有条理地写出证明过程；(5)检查证明过程的合理性1利用相似三角形例3如图，o和o相交于a，b两点，过a作两圆的切线分别交两圆于c，d两点，连结db并延长交o于点e.证明：(1)acbdadab；(2)acae.证明(1)由ac与o相切于a，得cabadb，同理acbdab，所以acbdab.从而，即acbdadab.(2)由ad与o相切于a，得aedbad，又adebda，得eadabd.从而，即aebdadab.结合(1)的结论，得acae.2利用三角形内(外)角平分线的性质例4已知c点在圆o直径be的延长线上，ca切圆o于a点，dc是acb的平分线交ae于点f，交ab于d点(1)求adf的度数；(2)若abac，求acbc.解(1)ac为圆o的切线，beac.又dc是acb的平分线，acddcb.bdcbeacacd，即adfafd，又因为be为圆o的直径，dae90，adf(180dae)45.(2)beac，acbacb，acebca，.又abac，bacb30.在rtabe中，tanbtan 30.3利用面积关系例5rtabc中，o是斜边bc上一点，以o为圆心的半圆与两直角边相切于m、n，如果两直角边分别为a、b，半圆的半径为r.求证：.证明连接ao、om、on.ab、ac与半圆相切于m、n，omab，onac.又设aba，acb，半圆的半径为r，sabcab.又sabcsaobsaocarbrr(ab)abr(ab)则.4利用射影定理例6如图，ab是o直径，过a作切线，过b作割线交o于e，交切线于f，过b再作割线交o于c，交切线于d.求证：bebfbcbd.证明连接ae、ac.ad是切线，baad.ab是直径，aebf，acbd.ab2bebf，ab2bcbd.bebfbcbd.5利用相交弦定理及切割线定理例7如图所示，两圆内切于点t，大圆的弦ab切小圆于点c，ta、tb与小圆分别相交于点e、f，fe的延长线交两圆的公切线tp于点p.求证：(1)；(2)acpfbcpt.证明(1)设小圆的圆心为点o，连接oc.ab切小圆于点c，ocab.132，efab，ocef，.(2)efab，.ab切小圆于点c，ac2aeat，bc2bfbt.，.pt是公切线，ptf90，tf是o的直径，tepf，ptftef，acpfbcpt.平行截割定理的应用构造出平行关系或作恰当的辅助线是解此类问题的关键，利用成比例或一些特殊的图形形状是常用的构造平行关系的方法例8如图，已知梯形abcd中，adbc，bd、ac交于o点，过o的直线分别交ab、cd于e、f，efbc，ad12 cm，bc20 cm，.求ef的长解adbc，efbc，efad.，ad12 cm，bc20 cm，.oead12 (cm)同理：ofbc20(cm)efoeof15(cm)例9已知：在abc中，点d在bc边上，过点c任作一直线与边ab及ad分别交于点f，e.(1)如图(1)，当时，求证：；(2)如图(2)，当时，猜想：与之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由解(1)证明：过点d作dgcf交ab于g点，.又，dc2bdbc.dgfc，.fgbf，.(2)当时，有关等式：.证明：过d作dgcf交ab于g点.又，.dgfc，.fgbf.一、选择题1.如图，acb90，cdab于点d，以bd为直径的圆与bc交于点e，则()acecbaddbbcecbadabcadabcd2dceebcd2解析：在rtabc中，acb90，cdab，cd2addb.又cd是圆的切线，故cd2cecb.cecbaddb.答案：a2.如图，直线pb、pd分别交o于a，b和c，d，pa4，ab2，cd5，那么线段pc的长是()a3b.c10 d1解析：pa4，ab2，pb6，设pcx，x(x5)46.x25x240.x13，x28(舍去)，即pc3.答案：a3如图所示，abc内接于圆o，过点a的切线交bc的延长线于点p，d为ab的中点，dp交ac于点m，若bp8，am4，ac6，则pa()a4 b3 c. d5 解析：由题意mcacam642.又d为ab的中点，adbd.过点c作cnab交pd于n，pc4.pa2pcpb32，pa4 .答案：a4如图，两个等圆o和o外切，过o作o的两条切线oa，ob，a，b是切点，则aob等于()a90b60c45d30解析：连接oo，oa.oa为o的切线，oao90.又o与o为等圆且外切，oo2oa.sinaoo，aoo30.又由切线长定理知aob2aoo60.答案：b二、填空题5如图，eb、ec是o的两条切线，b、c是切点，a、d是o上两点，如果e46，dcf32，则a的大小为_解析：因为eceb，所以ebcecb67，又dcf32，所以bcd180673281.所以a180bcd99.答案：996如图，在圆o中，直径ab与弦cd垂直，垂足为e，efdb，垂足为f，若ab6，ae1，则dfdb_.解析：由相交弦定理可知ed2aeeb155，又易知ebd与fed相似，得dfdbed25.答案：57.如图，圆o的半径为1，a，b，c是圆周上的三点，满足abc30，过点a作圆o的切线与oc的延长线交于点p，则pa_.解析：连接oa.op为o的切线，oaap.又abc30，aoc60.在rtaop中，oa1，paoatan 60 .答案：8.如图，pa、pb分别切o于a、b两点，在劣弧上任取一点c，过c作o的切线分别交pa、pb于d、e两点(1)若pa5，则pde的周长为_；(2)若apb50，则doe_.解析：(1)由切线长定理知，dcda，eceb，papb，pde周长为pdpedepddcpecepddapeebpapb2pa10.(2)连接oc，因为da，dc与圆o相切，所以aodcod.同理，coeboe.doeaob(180apb)65.答案：1065三、解答题9如图，ab是o的直径，弦bd、ca的延长线相交于点e，ef垂直ba的延长线于点f.求证：(1)aedafd；(2)ab2bebdaeac.证明：(1)连接ad.因为ab为圆的直径，所以adb90.又efab，efa90，则a、d、e、f四点共圆，deadfa.(2)由(1)知，bdbebabf.连接bc，显然abcaef，即abafaeac，bebdaeacbabfabafab(bfaf)ab2.10如图，已知在o中，p是弦ab的中点，过点p作半径oa的垂线分别交o于c，d两点，垂足是点e.求证：pcpdaeao.证明：连接op，p为ab的中点，opab，appb.peoa，ap2aeao.pdpcpapbap2，pdpcaeao.11.如图，d，e分别为abc边ab，ac的中点，直线de交abc的外接圆于f，g两点，若cfab，证明：(1)cdbc；(2)bcdgbd.证明：(1)因为d，e分别为ab，ac的中点，所以debc.又已知cfab，故四边形bcfd是平行四边形，所以cfbdad.而cfad，连接af，所以四边形adcf是平行四边形，故cdaf.因为cfab，所以bcaf，故cdbc.(2)因为fgbc，故gbcf.由(1)可知bdcf，所以gbbd，所以bgdbdg.由bccd知cbdcdb，又因为dgbefcdbc，所以bcdgbd.对应学生用书p45(时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图，ab与圆o相切于点b，过点a作圆o的割线交圆o于c，d两点，bcad，ab2ac2，则圆o的直径等于()a. b2 c3 d4解析：由切割线定理知ab2acad，即221ad，解得ad4，所以cdadac3，连接bd，因为bcad，所以bd为圆o的直径，又因为bc2ab2ac23，所以bd 2 .答案：b2在o的直径cb的延长线上取一点a，ap与o相切于点p上apb30，ap，则cp等于()a. bc.1 d1解析：连接cp，bp，则pcb30，cpb90.于是pbc60，pba120，a30pcb，cppa.答案：a3点p为o的弦ab上一点，且ap9，pb4，连接po，作pcop交圆于点c，则pc等于()a4 b6c8 d9解析：延长cp交o于点d，则op垂直平分弦cd，且cppdappb36pc236，pc6.答案：b4如图，已知o是abc的外接圆，i是abc的内切圆，a80，则bic等于()a80 b100c120 d130解析：a80，abcacb100.ibcabc，icbacb，ibcicb(abcacb)50，bic18050130.答案：d5.如图，在o中，弦ab与cd相交于p点，b30，apd80，则a()a40 b50c70 d110解析：易知ad，又apdbd，b30，apd80，dapdb803050.a50.答案：b6如图所示，pc切o于a，po的延长线交o于b，bc切o于b，若accp12，则poob等于()a21 b11c12 d14解析：连接oa，则oapc，paopbc，即，又oaob，accp12，设acx，则cp2x，caxbc，2，poob21.答案：a7在等腰abc中，abac，bac120，bc6 cm，则其外接圆的直径为()a. cm b2 cmc4 cm d6 cm解析：作bc边上的中线ad，则adbc，延长ad交abc外接圆于e，连接ce.aebc，ae平分bc，ae为abc外接圆的直径，ace90.在rtacd中，cadbac60，cdbc3 cm，ac2(cm)在rtace中，ae4(cm)即abc外接圆的直径为4 cm.答案：c8.如图所示，在o中，弦ab与半径oc相交于点m，且ommc，am1.5，bm4，则oc等于()a2 bc2 d2 解析：延长co交o于d，则dm3cm，cmmdmamb，所以1.543cm2，cm ，oc2 .答案：d9(天津高考)如图，abc是圆的内接三角形，bac的平分线交圆于点d，交bc于点e，过点b的圆的切线与ad的延长线交于点f.在上述条件下，给出下列四个结论：bd平分cbf；fb2fdfa；aecebede；afbdabbf.则所有正确结论的序号是()a bc d解析：因为badfbd，dbcdac，又ae平分bac，即baddac，所以fbddbc，所以bd平分cbf，结论正确；易证abfbdf，所以，所以abbfafbd，结论正确；由切割线定理，得bf2afdf，结论正确；由相交弦定理，得aedebece，结论错误选d.答案：d10如图，在abc中，c90，ac8 cm，ab10 cm，点p由c出发以每秒2 cm的速度沿线段ca向点a运动(不运动至a点)，o的圆心在bp上，且o分别与ab、ac相切，当点p运动2 s时，o的半径是()a. cm b cmc. cm d2 cm解析：pc224 cm，p是ac的中点，bc6 cm，bp2 cm.连接od，d为切点，odac，则odbc，即.设半径od3k，dp2k，opk，ob2k.ae、ad为o的切线，aeadappd42k，be10(42k)62k.在rtboe中，ob2be2oe2，(2k)2(62k)2(3k)2，解得k.故半径od3k.答案：a二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填写在题中的横线上)11.如图，在abcd中，bc24，e、f为bd的三等分点，则bm_，dn_.解析：，bmbc12，dnbm6.答案：12612(湖南高考)如图，已知ab，bc是o的两条弦，aobc，ab，bc2，则o的半径等于_解析：设ao，bc的交点为d，由已知可得d为bc的中点，则在直角三角形abd中，ad1，设圆的半径为r，延长ao交圆o于点e，由圆的相交弦定理可知bdcdadde，即()22r1，解得r.答案：13如图，o中的弦ab与直径cd相交于p，m为dc延长线上一点，mn为o的切线，n为切点，若ap8，pb6，pd4，mc6，则mn的长为_解析：由相交弦定理得：cppdappb，cp12，又由切割线定理得：mn2mcmd622，所以，mn2.答案：214如图，圆o上一点c在直径ab上的射影为d，点d在半径oc上的射影为e.若ab3ad，则的值为_解析：连接ac，bc，则acbc.ab3ad，adab，bdab，odab.又ab是圆o的直径，oc是圆o的半径，ocab.在abc中，根据射影定理有：cd2adbdab2.在ocd中，根据射影定理有：od2oeoc，cd2ceoc，可得oeab，ceab，8.答案：8三、解答题(本大题共4个小题，共50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)如图所示，已知边长为12的正三角形abc，debc，sbcdsbac49，求ec的长解：如图，过d作dfbc，过a作agbc，sbcdbcdf，sbacbcag.因为sbcdsbac49，所以dfag49.因为bdfbag，所以bdbad