人教B版选修41 1.1.1　相似三角形判定定理 学案.doc

_1.1相似三角形11.1相似三角形判定定理读教材填要点1相似三角形的定义及相关概念如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形设相似三角形对应边的比值为k，则k叫做相似比(或相似系数)2相似三角形判定定理(1)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似(2)判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似(3)判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似小问题大思维1两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等2如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？提示：不一定只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似相似三角形的判定例1如图，若o是abc内任一点，d，e，f分别是oa，ob，oc的靠近o的三等分点求证：defabc.思路点拨本题考查相似三角形判定定理2的应用解答此题需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件利用三等分点找出对应边成比例即可精解详析d，e，f分别是oa，ob，oc靠近点o的三等分点，deab，efbc，fdca.由三角形相似的判定定理得defabc.在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多1已知abc中，bfac于点f，ceab于点e，bf和ce相交于点p，求证：(1)bpecpf；(2)efpbcp.证明：(1)bfac于点f，ceab于点e，bfcceb.又cpfbpe，cpfbpe.(2)由(1)得cpfbpe，.又epfbpc，efpbcp.例2如图所示，abccdb90，aca，bcb，求当bd与a，b之间满足怎样的关系时，abc与cdb相似？思路点拨由于abc与cdb相似且都是直角三角形，因此，只要对应边成比例即可而斜边肯定是三角形的最大边，所以ac一定与bc对应，这里要注意分类讨论的运用精解详析abccdb90，斜边ac与bc为对应边，以下分两种情况讨论当时，abccdb，即.bd时，abccdb.当时，abcbdc，即.当bd时，abcbdc.故当bd或bd时，abc与cdb相似(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用(2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似2如图，bd、ce是abc的高求证：adeabc.证明：bd、ce是abc的高，aecadb90.又aa，aecadb.又aa，adeabc.相似三角形的应用例3如图，已知在abc中，abac，ad是bc边上的中线，cfba，bf交ad于点p，交ac于点e.求证：bp2pepf.思路点拨本题考查相似三角形的判定及其应用，解答本题需要注意ad是等腰abc底边上的高，所以pbpc，从而将所求证的结论转化为pc2pepf.进而可以证明pcepfc来解决问题精解详析连接pc，在abc中，因为abac，d为bc中点，所以ad垂直平分bc.所以pbpc，12.因为abac，所以abcacb，所以abc1acb2，即34.因为cfab，所以3f，所以4f.又因为epccpf，所以pcepfc，所以，所以pc2pepf.因为pcpb，所以pb2pepf.(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边(2)要说明线段的乘积式abcd，或平方式a2bc，一般都是证明比例式或，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式3如图所示，正方形abcd的边长为1，p是cd边的中点，点q在线段bc上，当adp与qcp相似时，求bq的值解：由题知dc90，当adppcq时，cq，bq1.当adpqcp时，cq1，bq0.综上可知，当adp与qcp相似时，bq0或.一、选择题1如图，锐角三角形abc的高cd和be相交于点o，图中与odb相似的三角形的个数是()a1b2c3 d4解析：beac，cdab，odb，abe，adc，oce都是直角三角形又dboeba，aa，dobeoc，odbaebadc，odboec.与odb相似的三角形有3个答案：c2rtabc中，cd是斜边ab上的高，图形中共有x个三角形与abc相似，则x的值为()a1 b2c3 d4解析：由题意知，acd与cbd与abc相似，故x2.答案：b3三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是()a直角三角形 b等腰三角形c等腰直角三角形 d等腰三角形或直角三角形解析：等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似答案：d4如图所示，aod90，oaobbccd，则下列结论正确的是()adabocaboabodacbacbdadoacabd解析：设oaobbccda，则aba，bd2a.，.，且abcdba.bacbda.答案：c二、填空题5如图，已知abc，def均为正三角形，d，e分别在ab，bc上，与dbe相似的三角形的个数为_解析：在dbe与ech中，bc60，bdebed120，bedceh120，bdeceh.dbeech.同理可证adg和fhg也都和bed相似答案：36如图所示，在abc中，点d在线段bc上，bacadc，ac8，bc16，那么cd_.解析：先根据已知条件和隐含条件证明abcdac.再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段答案：47如图，bd，aebc，acd90，且ab6，ac4，ad12，则ae_.解析：acdaeb90，bd，abeadc，.又ac4，ad12，ab6，ae2.答案：28如图，在abc中，debc，efcd，若bc3，de2，df1，则ab的长为_解析：debc，efcd，fdedbc，dfebdc.fdedbc，即bd.由，得2.af2，ab.答案：三、解答题9如图，已知：d是abc内的一点，在abc外取一点e，使cbeabd，bcebad.求证：abcdbe.证明：cbeabd，bcebad，abdcbe，abcdbe.，即，abcdbe.10如图，已知abcd中，g是dc延长线上一点，ag分别交bd和bc于e，f两点证明：afadagbf.证明：因为四边形abcd为平行四边形，所以abdc，adbc.所以abfgcf，gcfgda.所以abfgda.从而有，即afadagbf.11如图，m为线段ab的中点，ae与bd交于点c，dmeab.且dm交ac于f，me交bc于g，(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接fg，如果45，ab